1、考研数学三（微积分）模拟试卷 160 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 级数 ( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性不确定2 双纽线(x 2y 2)2x 2y 2 所围成的区域面积可表示为( )3 设 f(x0)f(x 0)0，f(x 0)0，则下列正确的是( ) （A）f(x 0)是 f(x)的极大值（B） f(x0)是 f(x)的极大值（C） f(x0)是 f(x)的极小值（D）(x 0，f(x 0)是 yf(x)的拐点4 f(x)在 一 1，1上连续，则 x0 是函数 g(x) 的( )（A）可去间断点（B）跳跃间断点（C）连
2、续点（D）第二类间断点二、填空题5 _6 y ，则 y_7 _8 设 zf(x，y)x 2arctan _9 设 (1) n1 an2， a2n1 5，则 _ 10 设 f(x)连续，且 01f(x)xf(xt)dt 1，则 f(x)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 12 (其中 ai0(i1，2，n)13 讨论函数 f(x) (x0)的连续性14 设 f(x)连续，f(0)0，f(0) 1，求 a af(xa)dx a af(xa)dx15 设 f(x)在0，1上二阶连续可导且 f(0)f(1) ，又f(x)M ，证明：f(x) 16 求 yf(x) 的渐近线17 求
3、 18 求 0ncosxdx19 计算 01 exdx20 曲线 y(x1)(x 2)和 x 轴围成平面图形，求此平面图形绕 y 轴一周所成的旋转体的体积21 设 zz(x， y)由 xyzye zxy 确定，求 及 dz22 计算 I ydxdy，其中 D 由曲线 1 及 x 轴和 y 轴围成，其中a0，b023 判断级数 的敛散性24 求幂级数 的收敛域，并求其和函数25 求微分方程 y2x(y) 20 满足初始条件 y(0)1，y(0)1 的特解考研数学三（微积分）模拟试卷 160 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】
4、【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 双纽线(x 2y 2)2x 2y 2 的极坐标形式为 r2cos2，再根据对称性，有 ，选(A) 【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x0)0，所以存在 0，当 0x 0 时， 0，从而当 x(x0, 0)时，f(x)0；当 x(x0，x 0)时，f(x)0，即(x 0f(x0)是 yf(x)的拐点，选(D) 【知识模块】 微积分4 【正确答案】 A【试题解析】 显然 x0 为 g(x)的间断点，因为 f(0)，所以 x0 为 g(x)的可去间断点，选(A) 【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 e【试
5、题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 cotxsec 12 【试题解析】 ylntanx ln(x21) ，ycotx sec 12 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 8【试题解析】 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 e x【试题解析】 由 01f(x)xf(xt)dt 1 得 01f(x)dt 01f(xt)d(xt)1，整理得 f(x) 01f(u)du1，两边对 x 求导得 f(x)f(x) 0，解得 f(x)Ce x ，因为 f(0)1，所以 C1，故 f(x)e
6、 x 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 当 x(0，e) 时，f(x) 当 x e 时，f(e)1，当 xe 时，f(x) lnx故 f(x) 因为 f(e0)f(e)f(e0)1，所以 f(x)在 x0 处处连续【知识模块】 微积分14 【正确答案】 a af(xa)dx a af(xa)dx a af(xa)d(x a) a af(xa)d(xa) 02af(x)dx 2a 0f(x)dx 02af(x)dx 02a f(x)dx，又由 ln(1a)a (
7、a2)得 aln(1a) ，于是 a af(xa) a af(xa)dx8f(o)8【知识模块】 微积分15 【正确答案】 由泰勒公式得 f(0)f(x) f(x)(0x) (0x) 2,(0,x)，f(1)f(x)f(x)(1x) (1x) 2， (x，1)，两式相减得 f(x) f()x2f()(1x) 2，取绝对值得 f(x) x2(1x) 2，因为 x2x，(1x) 21x，所以x2(1 x)21，故f(x) 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 因为 ，所以 yf(x)没有水平渐近线，由 得x0 为铅直渐近线，由 得 x2 为铅直渐近线， 得 yx3 为斜渐近线【知识模块】 微积分
8、17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 0ncosx dxn 0cosxdx cosxdx2n【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 取x，xdx 1，2 ，dv2x(x1)(x2)dx 2x(x1)(x2)dx，V 12dy2 12(x33x 22x)dx 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 方程 xyzye zxy 0 两边对 x 求偏导得 方程xyzye zxy 0 两边对 y 求偏导得【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 令 yp，则 y x 2C 1，由 y(0)1 得 C11，于是 y，yarctanxC 2，再由 y(0)1 得 C21，所以 yarctanx 1【知识模块】 微积分
