1、考研数学三（微积分）模拟试卷 175 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设常数 k0，则级数 ( )（A）发散（B）绝对收敛（C）条件收敛（D）敛散性与 k 有关2 设 uf(x y，xz) 有二阶连续的偏导数，则 ( )（A）f 2xf 11(xz)f 12xzf 22（B） xf12 xzf22（C） f2xf 12xzf 22（D）xzf 223 设函数 f(x)在0，a上连续，在(0，a) 内二阶可导，且 f(0)0，f(x)0，则在(0 ，a上( ) （A）单调增加（B）单调减少（C）恒等于零（D）非单调函数4 设 f(x) 0x dt，g
2、(x) 0xsin2(xt)dt，则当 x0 时，g(x)是 f(x)的( ) （A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶但非等价的无穷小（D）等价无穷小二、填空题5 设函数 f(x)在0,1 上连续，且 f(x)0，则 _6 设 f(u)可导，yf(x 2)在 x01 处取得增量x005 时，函数增量y 的线性部分为 015，则 f(1)_7 _(其中 a 为常数) 8 (x2xyx)dxdy _，其中 D 由直线 yx，y2x 及 x1 围成9 设连续函数 f(x)满足 f(x) ，则 f(x)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求 11 设 f(x)连续，且 e 3
3、，且 f(0)存在，求 f(0)12 设 0，求 a，b， c，d 的值13 (1)设 yy(x)由方程 ey6xyx 210 确定，求 y(0) (2)设 yy(x) 是由exyxy2 0 确定的隐函数，求 y(0)14 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得 15 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)f(b)0，证明：(1)存在 (a，b)，使得 f()2f()(2)存在 (a，b) ，使得 f()f() 016 求 17 求x 2arctanxdx18 求 19 设 f(x)在区间a，b上阶连续可导，证明：存在 (
4、a，b)，使得 abf(x)dx(ba)ff()20 设 f(x，y) ，讨论函数 f(x，y)在点(0，0)处的连续性与可偏导性21 设某工厂生产甲乙两种产品，产量分别为 x 件和 y 件，利润函数为 L(x，y)6xx 216y4y 22(万元) 已知生产这两种产品时，每件产品都要消耗原料 2 000kg，现有该原料 12 000kg，问两种产品各生产多少时总利润最大？最大利润是多少？22 计算 dx2dy，其中 D(x，y)x 2y 21，x0，y0) 23 求幂级数 的收敛域24 求微分方程 y2dx(2xyy 2)dy0 的通解25 设 f(x)在0，1上连续且满足 f(0)1，f(
5、x)f(x)a(x 1)yf(x) ，x0，x1，y0 围成的平面区域绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求f(x)考研数学三（微积分）模拟试卷 175 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 f 1zf 2， xf 12f 2 xzf22，选(C)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 ，令 h(x)xf(x)f(x) ，h(0)0，h(x)xf(x)0(0xa)，由得 h(x)0(0xa),于是 0(xa)，故 在(0，a上为单调减函数，选(B)【知识模
6、块】 微积分4 【正确答案】 A【试题解析】 由 又 g(x) 0xsin2(xt)dt x0sin2u(-du) 0xsin2udu， 故g(x)是 f(x)的高阶无穷小，选(A)【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 【试题解析】 由 dy2xf(x 2)x 得 dy x1 2f(1)00501f(1)，因为y 的线性部分为 dy，由 01f(1)015 得 f(1) 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 (x2xyx)dxdy 01dx2x(x2 xyx)dy 0
7、1 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 2e 2xe x【试题解析】 02x dt2 0xf(t)dt，则 f(x) 02xf dte x 可化为 f(x)2 0xf(t)dte x，两边求导数得 f(x)2f(x)e x，解得 f(x) (e x C)e2xCe 2xe x，因为 f(0)1，所以 f(0)C11，C 2，于是 f(x)2e 2xe x【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 所以 a，b，c ，d 满足的条件是 a2d，c1，b 取任意常数【知识
8、模块】 微积分13 【正确答案】 (1)将 x0 代入得 y0，e y6xyx 210 两边对 x 求导得 ey2x0，将 x0，y0 代入得 y(0)0e y 2x0 两边再对 x 求导得ey 20 ，将 x0， y0，y(0) 0 代入得 y(0)2(2)当 x0 时，y1，e xyx y20 两边对 x 求导得 exy(yxy)1y0，解得 y(0)0；e xy(yxy) 1y 0 两边对 x 求导得 exy(yxy) 2e xy(2yxy)y0，解得 y(0)1【知识模块】 微积分14 【正确答案】 令 (x)f(b)lnx f(x)lnx f(x)lna,(a)(b)f(b)lna由
9、罗尔定理，存在 (a,b)，使得 ()0而 (x) f(x)lnxf(x)lna，所以 f(b)f()f()(lnlna)0，即 f()【知识模块】 微积分15 【正确答案】 (1)令 (x)e x2 f(x)，因为 f(a)f(b)0，所以 (a)(b)0， 由罗尔定理，存在 (a，6)，使得 ()0， 而 (x)e x2 f(x)2xf(x) 且ex2 0，故 f()2f() (2) 令 (x)xf(x)，因为 f(a)f(b) 0，所以 (a)(b)0， 由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()0， 而 (x)xf(x)f(x)，故f()f()0【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【
10、知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 令 F(x) axf(t)dt，则 F(x)在a ，b 上三阶连续可导，取x0 ，由泰勒公式得 F(a)F(x 0)F(x 0)(ax 0) (ax 0)3， 1(a,x0)，F(b)F(x 0)F(x 0)(bx 0) (bx 0)3， 2(x0,b)，两式相减得 F(b)F(a) F(x 0)(ba) F(1)F( 2)，即 abf(x)dx(b a)f f(1)f( 2)，因为 f(x)在a，b上连续，所以存在 ， 2 (a，b)，使得 f() f(1)f( 2)，从而a
11、bf(x)dx(ba) 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 因为 ，所以 f(x，y)不存在，故函数 f(x，y)在点(0 ，0)处不连续因为 ，所以函数 f(x，y)在点(0 ，0)处对 x，y 都可偏导【知识模块】 微积分21 【正确答案】 根据题意，即求函数 L(x，y)6x x 216y4y 22 在0xy6 下的最大值L(x，y)的唯一驻点为(3，2)，令 F(x，y，)6xx 216y4y 22(xy6)， ，根据题意，x，y 只能取正整数，故(x，y)的可能取值为 L(4，2)22，L(3，3)19，L(3 ，2)23，故当 x3，y2时利凋最大，最大利润为 23 万元【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由极坐标法得【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 由 y2dx(2xyy 2)dy0 得 ，令 u ，所以原方程的通解为 y2(y3x)C 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 由 f(x)f(x)a(x1) 得 f(x)a(x1) Ce xax，由 f(0)1得 C 1，故 f(x)e xaxV(a) 01f2(x)dx ，由 V(a)(2 )得a3，因为 V(a) 0，所以当 a3 时，旋转体的体积最小，故 f(x)e x3x【知识模块】 微积分
