1、考研数学三（微积分）模拟试卷 179 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x) 在(，)内连续，且 f(x)0，则( )（A）a0， b0（B） a0，b0（C） a0，b0（D）a0 ，b02 设 f(x)在 xa 的邻域内有定义，且 f (a)与 f (a)都存在，则( )（A）f(x)在 xa 处不连续（B） f(x)在 xa 处连续（C） f(x)在 xa 处可导（D）f(x)在 xa 处连续可导3 设函数 f(x)在(，)内连续，其导数的图形如下页图，则 f(x)有( )（A）两个极大值点，两个极小值点，一个拐点（B）两个极大值点，两
2、个极小值点，两个拐点（C）三个极大值点，两个极小值点，两个拐点（D）两个极大值点，三个极小值点，两个拐点4 设 un(1) nln ，则( ) 二、填空题5 _6 设 f(x)在 x0 处连续，且 1，则曲线 yf(x)在(2 ，f(2)处的切线方程为_7 设 0yetdt 0xxy 确定函数 yy(x)，则 _8 _9 设连续非负函数 f(x)满足 f(x)f(x)1，则 _10 已知 f(x) ，则 f(n)(3)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 f(x)连续，f(0)0，f(0)0，F(x) 0xtf(t2x 2)dt，且当 x0 时，F(x) x n， 求
3、n 及 f(0)12 设 f(x)a 1ln(1x)a 2ln(12x)a nln(1nx)，其中 a1，a 2，a n 为常数，且 对一切 x 有f(x)e x1证明：a 12a 2na n113 设 f(x) 求 f(x)的极值14 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶连续可导证明：存在 (a，b)，使得15 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)f(0)f(1)f(1) 0证明：方程 f(x)f(x)0 在(0，1)内有根16 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)f(1) 0证明：存在 (0，1)，使得 f() 17 设 f(x)连续， 0xtf(xt)dt1c
4、osx，求 f(x)dx18 设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)0证明： abf2(x)dx abf(x)2dx19 设 uf(x， y，xyz) ，函数 zz(x，y) 由 exyz xyz(xyzt)dt 确定，其中 f 连续可偏导，h 连续，求 20 已知二元函数 f(x，y)满足 且f(x,y)g(u,v) ，若 u 2v 2，求 a，b21 设 f(x)在a，b上连续，证明： abf(x)dxxbf(y)dy abf(x)dx222 证明：(1)设 an0，且na n有界，则级数 an2 收敛；(2) n2ank0，则级数 an 收敛23 将函数 f(x)arctan 展开
5、成 x 的幂级数24 设 yy(x) 二阶可导，且 y0，xx(y) 是 yy(x)的反函数(1)将 xx(y)所满足的微分方程 0 变换为 yy(x)所满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)0，y(0) 的解25 一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长 1 8m，运动开始时链条一边下垂 8m，另一边下垂 10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间 ?考研数学三（微积分）模拟试卷 179 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x) 在( ，)内连续，所以 a0，又因为f(x)0，所以 b0，选
6、(C)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f (a)存在，所以 存在，于是 f(x)f(a)，即 f(x)在 xa 处右连续，同理由 f (a)存在可得 f(x)在 xa 处左连续，故 f(x)在xa 处连续，选(B)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 设当 x0 时，f(x)与 x 轴的两个交点为 (x1，0)，(x 2，0)，其中x1x 2；当 x0 时， f(x)与 x 轴的两个交点为(x 3，0)，(x 4，0)，其中 x3x 4 当xx 1 时，f(x)0，当 x(x1，x 2)时，f(x)0，则 xx 1 为 f(x)的极大值 点；当x(x
7、2，0)时，f(x)0，则 xx 2 为 f(x)的极小值点；当 x(0，x 3)时， f(x) 0，则x0 为 f(x)的极大值点；当 x(x3，x 4)时，f(x)0，则 xx 3x 为 f(x)的极小值点；当 xx 4 时，f(x)0，则 xx 4 为 f(x)的极大值点，即 f(x) 有三个极大值点，两个极小值点，又 f(x)有两个零点，根据一阶导数在两个零点两 侧的增减性可得，yf(x)有两个拐点，选(C)【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 (x2)【试题解析】 f(
8、2) ，则曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 y (x2)【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 0yetdt 0xcostdtxy 两边对 x 求导得【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 F(x) 0xtf(t2x 2)dt 0xf(t2x 2)d(t2x 2) x 20f(u)du 0x2 f(u)du，则 n22，n4，且f(0)1，于是f(0)4【知识
9、模块】 微积分12 【正确答案】 当 x0 时，由f(x)e x1得 而a 12a 2na n，且 1，根据极限保号性得 a12a 2na n1【知识模块】 微积分13 【正确答案】 因为 f (0)f (0)，所以 f(x)在 x0 处不可导于是 f(x)令 f(x)0 得 x1 或 x 当 x1 时，f(x)0；当1x0 时，f(x)0；当 0x 时，f(x)0；当 x 时，f(x)0故 x1 为极小点，极小值 f(1)1 ；x0 为极大点，极大值 f(0)1；x 为极小点，极小值【知识模块】 微积分14 【正确答案】 因为 f(x)在(a ，b)内二阶可导，所以有两式相加得 f(a)f(
10、b) 2f f(1)f( 2)因为 f(x)在(a，b)内连续，所以 f(x)在 1， 1上连续，从而 f(x)在 1， 2上取到最小值 m 和最大值 M，故m M，由介值定理，存在 1， 2 (a，b)，使得f()，故 f(a)f(b)2f【知识模块】 微积分15 【正确答案】 令 (x)e x f(x)f(x) 因为 (0)(1)0，所以由罗尔定理，存在 c(0，1)使得 (c) 0， 而 (x)e x f(x) f(x)且 ex 0，所以方程 f(c)f(c)0 在(0，1)内有根【知识模块】 微积分16 【正确答案】 令 (x)(x1) 2f(x)，显然 (x)在0，1上可导由 f(0
11、)f(1)0，根据罗尔定理，存在 c(0，1)，使得 f(c)0，再由 (c)(1)0，根据罗尔定理，存在 (c，1) (0，1) ，使得 ()0，而 (x)2(x1)f(x)(x1)2f(x)，所以 2(1)f() (1) 2f()0，整理得 f() 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 由 0xtf(xt)dt x0(xu)f(u)( du) 0x(xu)f(u)dux 0xf(u)du 0xuf(u)du，得 x0xf(u)du 0xuf(u)du1cosx ，两边求导得 0xf(u)dusinx，令x f(x)dx1【知识模块】 微积分18 【正确答案】 由 f(a)0，得 f(x)
12、f(a)f(x) axf(t)dt，由柯西不等式得 f2(x)( axf(t)dt)2ax12dtaxf2(t)dt(xa) abf2(x)dx 积分得 abf2(x)dxab(xa)dx abf2(x)dx abf2(x)dx【知识模块】 微积分19 【正确答案】 xyzh(xyzt)dt zxyh(u)d(u) xyzh(u)du，【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 令 F(x) axf(t)dt，则 abf(x)dxxbf(y)dy abf(x)F(b)F(x)dx F(b)abf(x)dx abf(x)F(x)dxF 2(b) abF(x)d
13、F(x)F 2(b) abf(x)dx2【知识模块】 微积分22 【正确答案】 (1)因为na n有界，所以存在 M0，使得 0na nM，即0 ，而级数 (2)取 0ank 0，所以存在 N0，当 nN 时，【知识模块】 微积分23 【正确答案】 f(0) (1) nx2n(1x1) ，由逐项可积性得 f(x)f(0) 0xf(x)dx ，所以 f(x) x2n1 (1x1)【知识模块】 微积分24 【正确答案】 代入原方程得y y sinx，特征方程为 r210，特征根为 r1，2 1，因为 i 不是特征值，所以设特解为 y*acosxbsinx，代入方程得 a0，b sinx，于是方程的通解为 yC 1exC 2ex sinx，由初始条件得 C11，C 21，满足初始条件的特解为 ye xe x sinx【知识模块】 微积分25 【正确答案】 设链条的线密度为 ，取 x 轴正向为垂直向下，设 t 时刻链条下垂 x(t)m，则下垂那段的长度为(10x)m ，另一段长度为(8x)m ，此时链条受到的重力为(10 x)g (8 x)g 2(x 1)g 链条的总重量为 18，由牛顿第二定理Fma 得 ，且 x(0)0，x(0) 0，解得 x(t) ，当链条滑过整个钉子时，x8，【知识模块】 微积分
