1、考研数学三（微积分）模拟试卷 181 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0 使得( )（A）对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)（B）对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)（C）当 x(0，)时，f(x)为单调增函数（D）当 x(0，)时，f(x) 是单调减函数2 f(x) 则 f(x)在 x0 处( )（A）不连续（B）连续不可导（C）可导但 f(x)在 x0 处不连续（D）可导且 f(x)在 x0 处连续3 设 F(x) xx2 esintsintdt，则 F(x)( )（A）为正常数（B）为负
2、常数（C）为零（D）取值与 x 有关4 设 y(x)是微分方程 y (x1)yx 2ye x 满足初始条件 y(0)0，y(0)1 的解，则 ( )（A）等于 1（B）等于 2（C）等于 0（D）不存在二、填空题5 设 atetdt，则 a_6 设 f(x) 在 x0 处连续，则 a_7 设 f(x) 在 x1 处可微，则 a_，b_8 _9 设 f(x)的一个原函数为 xf(x)dx_10 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 a0， x10，且定义 xn1 (n1，2，)，证明： xn 存在并求其值12 设函数 f(x)可导且 0f(x) (k0)，对任意的 xn，
3、作 xn1 f(x n)(n0， 1，2，) ，证明： xn 存在且满足方程 f(x)x13 设函数 f(x)在 x1 的某邻域内有定义，且满足f(x)2e x(x1) 2，研究函数f(x) 在 x1 处的可导件14 设 f(x)在 a，a(a0)上有四阶连续的导数， 存在(1)写出 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式；(2)证明：存在 1， 2a,a ，使得15 设 f(x)在0，)内二阶可导，f(0) 2，f(0)1，f(x)0证明：f(x) 0 在(0，) 内有且仅有一个根16 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)f(b)0，f(x)dx0证明： (1)存在
4、 c(a， b)，使得 f(c)0； (2)存在 i(a，b)(i1，2)，且 i2，使得 f(1)f( i)0(i1，2)； (3)存在 (a，b)，使得 f()f() ； (4)存在 (a，b)，使得f() 3f()2f()017 设 f(x)在0，)上连续，非负，且以 T 为周期，证明：18 设 f(x)在a，b上连续可导，证明： f(x) abf(x)dx abf(x)dx19 求二元函数 zf(x ，y)x 2y(4xy)在由 x 轴、y 轴及 xy6 所围成的闭区域 D 上的最小值和最大值20 已知 f(x， y) 设 D 为由 x0、y0 及 xyt 所围成的区域，求 F(t)
5、f(x,y)dxdy21 设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb 证明：dxdy(ba) 222 设u n，c n为正项数列，证明：(1)若对一切正整数 n 满足 cnunc n1 un1 0，且 un 也发散；(2)若对一切正整数 n 满足 cn c n1 a(a0)，且 un 也收敛23 证明：S(x) 满足微分方程 y(4)y 0 并求和函数 S(x)24 设函数 f(x)(x0)可微，且 f(x)0将曲线 yf(x)，x1，xa(a1)及 x 轴所围成平面图形绕 x 轴旋转一周得旋转体体积为 a2f(a)f(1)若 f(1) ，求：(1)f(x)；(2)f
6、(x)的极值25 设非负函数 f(x)当 x0 时连续可微，且 f(0)1由 yf(x) ，x 轴，y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线围成的图形的面积与 yf(x)在0，x上弧的长度相等，求f(x)考研数学三（微积分）模拟试卷 181 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(0) 0，所以 0，根据极限的保号性，存在0，当 x(0，)时，有 0，即 f(x)f(0)，选(A)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 显然 f(x)在 x0 处连续，因为，所以f(x)在 x0 处可导，当 x0 时，
7、f(x) arctan ，当 x0 时，f(x)arctan ，f(0) ，所以 f(x)在 x0 处连续，选 (D)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 A【试题解析】 由周期函数的平移性质，F(x) xx2 esintsintdt，再由对称区间积分性 质得 F(x) 0(esinte sintsint)dt 0(esinte sint )sintdt， 又(e sinte sint )sint 连续、非负、不恒为零，所以 F(x)0，选(A) 【知识模块】 微积分4 【正确答案】 A【试题解析】 微分方程 y(x1)yx 2ye x 中，令 x0，则 y(0)2，【知识模块】 微积分二、填
8、空题5 【正确答案】 2【试题解析】 e a， atetdt atd(et)te t a aetdtae ae a，由 eaae ae a 得 a2【知识模块】 微积分6 【正确答案】 【试题解析】 ，因为函数f(x)在 x0 处连续，所以 a 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 a 2，b 1【试题解析】 因为 f(x)在 x1 处可微，所以 f(x)在 x1 处连续，于是 f(10)f(1)1(10)ab，即 ab1由 f(x)在 x1 处可微得 a2，所以 a2，b 1【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】
9、微积分10 【正确答案】 2(1ln2)【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 因为正数的算术平均数不小于几何平均数，所以有 xn1 (n1，2，)，从而 xn1 x n 0(n2，3，)，故x nn2 单调减少，再由 xn0(n2，3，)，则 xn 存在，令 xnA ，等式 xn1 两边令 n得 A ，解得 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 x n1 x nf(x n)f(x n1 )f( n)(xnx n1 )，因为 f(x)0，所以xn1 x n 与 xnx n1 同号，故x n单调 x n f(xn1 )f(x n)
10、 xnxn1 f(x)dxf(x n) xnxn1 f(x)dxf(x n) dxf(x n)k ，即xn有界，于是 xn 存在，根据 f(x)的可导性得 f(x)处处连续，等式 xn1 f(x n)两边令 n，得 ，原命题得证【知识模块】 微积分13 【正确答案】 把 x1 代入不等式中，得 f(1)2e当 x1 时，不等式两边同除以x1，得【知识模块】 微积分14 【正确答案】 (1)由 存在，得 f(0)0， f(0)0，f(0) 0，则 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式为 f(x) x4 其中 介于 0 与 x 之间(2)上式两边积分得 aaf(x)dx a af(4)()x4d
11、x因为 f(4)(x)在a ，a上为连续函数，所以 f(4)(x)在 a，a上取到最大值 M 和最小值 m，于是有 mx4f(4)Mx4，两边在a，a上积分得 a5a af(4)()x4dx a5，从而 a af(4)()x4dx a af(x)dx ，于是 m a af(x)dxM，根据介值定理，存在 1a ，a，使得 f(4)(1) a af(x)dx，或 a5f(4)(1)60 a af(x)dx再由积分中值定理，存在 2a，a ，使得 a5f(4)(1)60 a af(x)dx120af( 2)，即 a4f(4)(1)120f( 2)【知识模块】 微积分15 【正确答案】 因为 f(x
12、)0，所以 f(x)单调不减，当 x0 时，f(x)f(0)1当x0 时，f(x)f(0)f()x，从而 f(x)f(0)x，因为 f(0)x，所以f(x)由 f(x)在0 ，) 上连续，且 f(0)20， f(x) ，则f(x)0 在(0，)内至少有一个根，又由 f(x)10，得方程的根是唯一的【知识模块】 微积分16 【正确答案】 (1)令 F(x) axf(t)dt，则 F(x)在a ，b 上连续，在(a ，b)内可导，且F(x)f(x)故存在 c(a， b)，使得 abf(x)dxF(b) F(a)F(c)(b a)f(c)(ba)0，即 f(c) 0(2)令 h(x)e xf(x)，
13、因为 h(a)h(c)h(b)0，所以由罗尔定理，存在 1(a，c)， 2(c，b)，使得 h(1)h( 2)0，而 h(x)e xf(x)f(x) 且 ex0，所以 f(i)f( i)0(i1，2)(3)令 (x)e x f(x)f(x)，( 1)( 2)0，由罗尔定理，存在 (1， 2) (a，b)，使得 ()0，而 (x)e x f(x)f(x)且ex 0，所以 f()f() (4)令 g(x)e x f(x)，g(a)g(c)g(b)0，由罗尔定理，存在 1(a， c)， 2(c，b)，使得 g(1)g( 2)0，而 g(x)e x f(x)f(x)且ex 0，所以 f(1)f( 1)
14、 0，f( 2)f( 2)0令 (x)e 2x f(x)f(x) ，( 1)( 2)0，由罗尔定理，存在 (1， 2) (a， b)，使得 ()0，而 (x)e 2x f(x) 3f(x)2f(x)且 e2x 0，所以 f() 3f()2f()0【知识模块】 微积分17 【正确答案】 对充分大的 x，存在自然数 n，使得 nTx(n1)T ，因为 f(x)0，所以 0nTf(t)dt0xf(t)dt0(n1)T f(t)dt 即 n0Tf(t)dt0xf(t)dt(n1) 0Tf(t)dt，由【知识模块】 微积分18 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上连续，所以f(x)在a，b上连续，令
15、f(c) f(x)根据积分中值定理， f(x)dxf() ，其中a， b由积分基本定理，f(c)f() cf(x)dx，取绝对值得f(c) f() c)f(x)dxf() abf(x)dx，即abf(x)dx abf(x)dx【知识模块】 微积分19 【正确答案】 (1)求 f(x，y)在区域 D 的边界上的最值，在 L1：y0(0x6)上，z0；在 L2：x0(0y6)上，z 0；在 L3：y6x(0x6)上，z2x 2(6x)2 312x 2由 6x 224x0 得 x4，因为 f(0，6)0，f(6，0)0，f(4 ，2)64，所以 f(x，y)在 L3 上最小值为64，最大值为 0(2
16、)在区域 D 内，由得驻点为(2，1)，因为 ACB 2 0 且 A0，所以(2，1)为 f(x，y)的极大值点，极大值为 f(2，1)4，故 zf(x，y)在 D 上的最小值为 mf(4，2)64，最大值为 Mf(2，1)4【知识模块】 微积分20 【正确答案】 当 t0 时，F(t)0；当 0t1 时，F(t) ；当1t2 时，F(t) f(x，y)dxdy1 (2t) 2；当 t2 时，F(t)1【知识模块】 微积分21 【正确答案】 因为积分区域关于直线 yx 对称，【知识模块】 微积分22 【正确答案】 显然 为正项级数(1)因为对所有 n 满足cnunc n1 un1 0，于是 c
17、nuncn1 un1 cnunc 1u10，从而 unc1u1也发散(2)因为对所有 n 满足cn c n1 a，则 cnunc n1 un1 aun1 ，则 cnun(cn1 a)u n1 ，所以，于是 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 显然级数的收敛域为(，)，显然 S(x)满足微分方程 y(4)y0y (4)y0 的通解为yC 1exC 2ex C 3cosxC 4sinx，由 S(0)1，S(0)S(0) S(0) 0 得，C 10，故和函数为 S(x) 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 (1)由题设知， 1af2(x)dx a2f(a)f(1)，两边对 a 求导，得3f2(a)2af(a)a 2f(a) ，【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分
