1、考研数学三（微积分）模拟试卷 188 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)连续可导，g(z)在 x0 的邻域内连续，且 g(0)1，f(x)sin2x 0xg(xt)dt ，则 ( )（A）x0 为 f(x)的极大值点（B） x0 为 f(x)的极小值点（C） (0，f(0)为 yf(x)的拐点（D）x0 非极值点，(0，f(0)非 yf(x)的拐点2 设 f(x)二阶连续可导，且 1，则( )（A）f(0)是 f(x)的极小值（B） f(0)是 f(x)的极大值（C） (0，f(0)是曲线 y f(x)的拐点（D）x0 是 f(x)的驻点
2、但不是极值点3 对二元函数 zf(x ，y)，下列结论正确的是( )（A）zf(x，y)可微的充分必要条件是 zf(x，y)有一阶连续的偏导数（B）若 zf(x，y)可微，则 zf(x，y)的偏导数连续（C）若 zf(x，y)偏导数连续，则 zf(x，y)一定可微（D）若 z f(x，y)的偏导数不连续，则 zf(x，y)一定不可微二、填空题4 设 f(x)连续，且 f(1)1，则 _5 设 f(x)在 x1 处一阶连续可导，且 f(1)2，则_6 设xf(x)dxarcsinxC，则 _7 _8 设 f(u)连续，则 0xduu1vf(u2v 2)dv_9 设 y(x)为微分方程 y 4y4
3、y0 满足初始条件 y(0)1，y(0)2 的特解，则 01y(z)dx_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设 f(0)6，且 11 求 f(x) 的间断点并判断其类型12 确定 a，b ，使得 x(abcosx)sinx，当 x0 时为阶数尽可能高的无穷小13 设 f(x)二阶可导，f(0)f(1)0 且 f(x)1证明：存在 (0，1)，使得f()814 设 f(x)在0，)内可导且 f(0)1，f(x) f(x)(x0)证明：f(x) e x(x0)15 设函数 f(x) 其中 g(x)二阶连续可导，且 g(0)1(1)确定常数 a，使得 f(x)在 x0 处连续
4、；(2)求 f(x)；(3)讨论 f(x)在 x0 处的连续性16 17 设 f(x)在a，b上连续且单调增加，证明： abxf(x)dx abf(x)dx18 设点 A(1，0，0) ，B(0 ，1，1)，线段 AB 绕 x 轴一周所得旋转曲面为 S(1)求旋转曲面的方程；(2)求曲面 S 介于平面 z0 与 z1 之间的体积19 设 uu(x ，y) 由方程组 uf(x ，y，z，t)，g(y，z ，t)0，h(z ，t)0 确定，其中 f，g ，h 连续可偏导且 20 计算 ，2(x 2y 2)dxdy21 设 0an (1) nan2 中，哪个级数一定收敛?22 求函数 f(x)ln(
5、1x2x 2)的幂级数，并求出该幂级数的收敛域23 设有微分方程 y2y(x)，其中 (x) ，在( ，)求连续函数y(x)，使其在 (，1)及(1，)内都满足所给的方程，且满足条件 y(0)024 设 yy(x) 是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 ，又此曲线上的点(0，1) 处的切线方程为 yx1，求该曲线方程，并求函数 y(x)的极值考研数学三（微积分）模拟试卷 188 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由 0xg(xt)dt g(u)du 得 f(x)sin2x 0xg(u)du，f(0)0，所
6、以 x0 为 f(x)的极大值点，选(A) 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)二阶连续可导，且 1，所以 f(x)0，即f(0)0又 10，由极限的保号性，存在 0，当 0x 时，有0，即当 x(，0)时，f(x)0，当 x(0，)时，f(x)0，所以(0，f(0)为曲线 yf(x)的拐点，选(C)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 因为若函数 f(x，y)一阶连续可偏导，则 f(x，y)一定可微，反之则不对，所以若函数 f(x，y) 偏导数不连续不一定不可微，选(C)【知识模块】 微积分二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】
7、 微积分5 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 4【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 xf(x 21)【试题解析】 u1vf(u2v 2)dv u1f(u2v 2)d(u2v 2) f(t)dt，则0xvf(u2v 2)dv 0xdu0u21 f(t)dt f(t)dt， 0xduu1(u2v 2)dvxf(x 21)【知识模块】 微积分9 【正确答案】 (e21)【试题解析】 y4y4y0 的通解为 y(C 1C 2x)e2x，由初始条件 y(0)1，y(0) 2 得 C11，C 20，则 y
8、e 2x，于是 01y(x)dx(e21) 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 由 0 得 f(0)0，f(0)0，【知识模块】 微积分11 【正确答案】 f(x)的间断点为 x0，1，2，及 x1当 x0 时，f(00) ，f(00)sin1，则 x0 为函数 f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点当 x1 时， ，则 x1 为 f(x)的第一类间断点中的可去间断点当 xk(k2，3，)时， f(x)，则xk(k 2，3，) 为函数 f(x)的第二类间断点当 x1 时，因为 limf(x)不存在，所以 x1 为 f(x)的第二类间断点【知识
9、模块】 微积分12 【正确答案】 令 yx(abcosx)sinx ，y1 bsin2x(abcosx)cosx， ybsin2x sin2x(a bcosx)sinx asinx2bsin2x，yacosx 4bcos2x，显然 y(0)0，y(0)0，所以令 y(0)y(0)0 得 故当 时，x(a bcosx)sinx 为阶数尽可能高的无穷小【知识模块】 微积分13 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上二阶可导，所以 f(x)在0，1上连续且 f(0)f(1)0， f(x)1，由闭区间上连续函数最值定理知，f(x) 在0，1取到最小值且最小值在(0，1) 内达到，即存在 c(0，1)
10、，使得 f(c)1，再由费马定理知 f(c)0，根据泰勒公式 f(0) f(c) f(c)(0 c) (0c) 2， 1(0，c)f(1)f(c)f(c)(1c) (1c) 2， 2(0，1)整理得当 c(0， 时，f( 1) 8，取 1；当 c( ，1)时，f( 2) 8，取 2所以存在 (0，1)，使得 f()8【知识模块】 微积分14 【正确答案】 令 (x)e x f(x)，则 (x)在0，)内可导， 又 (0)1，(x)e x f(x)f(x)0(x0)，所以当 x0 时，(x)(0)1，所以 有 f(x)e x(x0)【知识模块】 微积分15 【正确答案】 当 ag(0)时， f(
11、x)在 x0 处连续因为 f(x)f(0)，所以 f(x)在 x0 处连续【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 因为 f(x)在a， b上单调增加，所以 ab(x)dx0，【知识模块】 微积分18 【正确答案】 (1) 1，1，1，直线 AB 的方程为 设对任意的 M(x，y，z)S，过 M 垂直于 z 轴的截口为圆，其与直线 AB 及 z 轴的交点为 M0(x0，y 0，z) ，T(0，0，z)，由MTM 0T，得 x2y 2x 02y 02，因为 M0 在直线 AB 上，所以有，从而 代入 x2y 2x 02y 02；中得曲面方程为S：x 2y 2
12、(1z) 2z 2，即 S：x 2y 22z 22z 1(2) 对任意的 z0，1，垂直于 z 轴的截口圆面积为 A(z)(x 2y 2)(x 2y 2)(2z 22z1)于是 V 01A(z)dz 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 方程组由五个变量三个方程构成，故确定了三个二元函数，其中x，y 为自变量，由 uf(x，y，z ，t)，g(y，z，t)0，h(z ，t)0，得三个方程两边对 y 求偏导得【知识模块】 微积分20 【正确答案】 令 2(x 2y 2)，解得 x2y 2 ，【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 f(x)ln(1x2x
13、2)ln(x1)(12x)ln(1 x)ln(12x)，因为ln(1x) (1x1)，【知识模块】 微积分23 【正确答案】 当 x1 时，y2y2 的通解为 yC 1e2x1，由 y(0)0 得C11， ye 2x1；当 x1 时，y2y0 的通解为 yC 2e2x，根据给定的条件，y(10)C 2e2y(10)e 21，解得 C21e 2 ，y(1e 2 )e2x，补充定义 y(1)e 21，则得在 (，)内连续且满足微分方程的函数【知识模块】 微积分24 【正确答案】 因为曲线是上凸的，所以 y0，由题设得令y p， y (1p 2) arctanpC 1x因为曲线 yy(x)在点(0,1)处的切线方程为 yx1，所以 yx1，所以 p x0 1，从而 ytan( x)，积分得 ylncos( x) C 2因为曲线过点(0,1)所以 C21 ，所求曲线为 ylncos 因为 cos( x)1，所以当x 时函数取得极大值 1 【知识模块】 微积分
