1、考研数学三（微积分）模拟试卷 192 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0 使得( )（A）对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)（B）对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)（C）当 x(0，)时，f(x)为单调增函数（D）当 x(0，)时，f(x) 是单调减函数2 28设 f(x)在 x=a 的邻域内有定义，且 f+(a)与 f (a)都存在，则( )（A）f(x)在 x=a 处不连续（B） f(x)在 x=a 处连续（C） f(x)在 x=a 处可导（D）f(x)在 x=a 处连续可导3 曲线 的
2、渐近线的条数为( )（A）0 条（B） 1 条（C） 2 条（D）3 条4 设 y(x)是微分方程 y+(x1)y+x 2y=ex 满足初始条件 y(0)=0，y(0)=1 的解，则( )（A）等于 1（B）等于 2（C）等于 0（D）不存在二、填空题5 =_6 =_7 设 F(x)=0x(x2t 2)f(t)dt，其中 f(x)在 x=0 处连续，且当 x0 时，F(x)x 2，则f0)=_8 =_9 在区间1，1上的最大值为_10 设 f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx ，ty)=t 3f(x，y) ，且 fx(1，2)=1，f y(1，2)=4，则f(1，2)_11 设 则 0f(x)
3、dx=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设 f(x)在1，+)内可导，f(x)0 且 =a0，令 an= 1nf(x)dx证明：a n收敛且 0 f(1)13 求极限14 求 f(x)的间断点并分类15 设 f(x)Ca，b，在(a ，b)内可导，f(a)=f(b)=1证明：存在 ， (a，b)，使得 2e2 =(ea+eb)f()+f()16 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(0)=f(1)=f(1)=0证明：方程 f(x)f(x)=0在(0， 1)内有根17 设 f(x)二阶连续可导，且 f(x)0，又 f(x+h)=f(x)+f(x+h)h(00
4、18 设 F(x)为 f(x)的原函数，且当 x0 时，f(x)F(x)= 又 F(0)=1，F(x) 0，求 f(x)。19 设 f(x)在( ，+)上有定义，且对任意的 x，y ( ，+)有f(x)f(y) x y证明： abf(x)dx(ba)f(a) (ba) 219 设 u=u(x，y，z)连续可偏导，令20 若 证明：u 仅为 与 的函数21 若 证明：u 仅为 r 的函数22 设 且 D：x 2+y22x，求 f(x，y)dxdy23 证明：用二重积分证明24 求幂级数 的收敛域25 设 u00，且发散26 飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为 v0(ms
5、) ，飞机与地面的摩擦系数为 ，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为 kx(kg.s2m 2)，在垂直方向的比例系数为ky(kg.s2m 2)设飞机的质量为 m(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间考研数学三（微积分）模拟试卷 192 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(0) 0，所以 根据极限的保号性，存在0，当 x(0，)时，有 即 f(x)f(0)，选 A【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f+(a)存在，所以即 f(x)在 x=a 处右连续
6、，同理由 f (a)存在可得 f(x)在 x=处左连续，故 f(x)在 x=a 处连续，选 B【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 无水平渐近线；由有两条铅直渐近线；由有一条斜渐近线 y=x，选D【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 A【试题解析】 微分方程 y+(x1)y+x 2y=ex 中，令 x=0，则 y(0)=2，于是选A【知识模块】 常微分方程与差分方程二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 0xsin(xt) 2dt x0sinu2(du)=sinu 2du，则【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数
7、、极限、连续7 【正确答案】 【试题解析】 F(x)=x 20xf(t)dt 0xt2f(t)dt，F(x)=2x 0xf(t)dt，因为当 x0 时，F(x)x 2，所以【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 ln3【试题解析】 令时，I(x)0，当为 I(x)在1，1上的最小值点，又故I(x)在1， 1上的最大值为 ln3【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 3【试题解析】 f(tx，ty)=t 3f(x，y)两边对 t 求导数得 xfx(6tx，ty)+yf y(tx，ty)=3t2f(x，y)，取 t=1，x=
8、1，y=2 得 fx(1，2)+2f y(1，2)=3f(1 ，2)，故 f(1，2)=3.【知识模块】 多元函数微分学11 【正确答案】 2【试题解析】 0f(x)dx=0dx0x =0sintdt=2【知识模块】 重积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 因为 f(x)0，所以 f(x)单调减少又因为 an+1a n=f(n+1) nn+1f(x)dx=f(n+1)f()0(n，n+1)所以a n单调减少因为 an= f(k)f(x)dx+f(n) ，而 kk+1f(k)f(x)dx0(k=1，2，n1)且所以存在 X0，当 xX 时，f(x)0由 f(x
9、)单调递减得f(x)0(x 1，+) ，故 anf(n)0，所以 存在由 an=f(1)+f(2) 12f(x)dx+f(n) n1 nf(x)dx，而 f(k) k1 kf(x)dx0(k=2，3，n)，所以 anf(1)，从而 0 f(1)【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 x=k(k=0，1，2，) 及 x=1 为 f(x)的间断点因为 f(00)f(0+0)，所以=0 为跳跃间断点；由得 x=02 为可去间断点；当x=k(k=1，3，4，)时，由 得 x=k(k=1，3，4，) 为第二类间断点；由 得 x=1 为第二类间断
10、点【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 令 (x)=exf(x)，由微分中值定理，存在 (a，b)，使得再由 f(a)=f(b)=1，得 =ef()+f()，从而 =(ea+eb)ef()+f()，令 (x)=e2x，由微分中值定理，存在 (a，b) ，使得 即 2e2=(ea+eb)ef()+f()，或 2e2 =(ea+eb)f()+f()【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 令 (x)=ex f(x)+f(x) 因为 (0)=(1)=0，所以由罗尔定理，存在 c(0，1)使得 (c)=0， 而 (x)=ex f(x)一 f(x)且 ex 0，所以方程 f(c)f(c
11、)=0 在(0，1) 内有根【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 由泰勒公式得 f(x+h)=f(x)+f(x)h+ 其中 介于 x 与 x+h之间由已知条件得两边同除以 h，得【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 两边积分得由 F(0)=1，F(x) 0，得【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 因为(ba)f(a)= abf(a)dx 所以 abf(x)dx(ba)f(a)= abf(x)f(a)dx abf(x)f(a)dx ab(xa)dx=【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 因为所以 u是不含 r 的函数，即 u 仅
12、为 与 的函数【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 因为从而=t(r2cos2cossin)+t(r2sin2cossin)+t(r 2sincos)=0，故 u 仅是 r 的函数，即 u 不含 与 【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 令【知识模块】 重积分23 【正确答案】 令 D1=(x，y)x 2+y2R2，x0，y0， S=(z， Y)0zR，0YR， D 2=(x，y)x 2+y22R2，x0，Y0 (x，y)=e(x2+y2) ，因为 (x，y)=e (x2+y2) 0 且 D1 D2，于是令 R+同时注意到 0R ex2 dx0，根据夹逼定理得 0+ex2 dx=【知识模块】 重积分24 【正确答案】 幂级数 的收敛半径为 当发散，所以幂级数当发散，所以【知识模块】 级数25 【正确答案】 当 q1 时，取 所以存在N0，当 nN 时，而 收敛当 ql 时，取所以存在 N0，当 nN 时，所以有发散【知识模块】 级数26 【正确答案】 水平方向的空气阻力 Rx=kxv2，垂直方向的空气阻力 Ry=kyv2，摩擦力为 w=(mgR y)，由牛顿第二定律，有 记B=g，显然 A0，故有分离变量得又当 t=0 时，所以当 v=0 时，【知识模块】 常微分方程与差分方程
