1、考研数学三（微积分）模拟试卷 196 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=a 处可导，且 f(a)0，则f(x)在 x=a 处( )（A）可导（B）不可导（C）不一定可导（D）不连续2 设 f(x)可导，则下列正确的是( )3 设 F(x)=xx+2xesintsintdt，则 F(x)( )（A）为正常数（B）为负常数（C）为零（D）取值与 x 有关4 设 则 f(x，y)在(0，0)处( ) （A）连续但不可偏导（B）可偏导但不连续（C）可微（D）一阶连续可偏导二、填空题5 设 = atetdt，则 a=_6 当 x0 时， 1
2、cos 2x1，则 a=_7 设 f(x)二阶连续可导，且=_8 设 =_9 =_10 设 D 为 xOy 面，则 f(y)f(x+y)dxdy=_11 设级数 条件收敛，则 p 的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 求13 设函数 f(x)可导且 (k0)，对任意的 xn，作 xn+1=f(xn)(n=0，1，2，)，证明： 存在且满足方程 f(x)=x14 设 求 f(x)的极值15 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶可导，f(a)=f(6)=0，且 f+(a)0证明：存在 (a，b)，使得 f()016 设函数 y=f(x)二阶可导，f(x)
3、0，且与 x=(y)互为反函数，求 (y)16 设 S(x)=0xcostdt17 证明：当 nx(n+1) 时，2nS(x)2(n+1) ；18 19 设 f(x)在a，b上连续且单调减少证明：当 0k1 时， 0kf(x)dx01f(x)dx.20 求椭圆 所围成的公共部分的面积21 设函数 f(x，y，z) 一阶连续可偏导且满足 f(tx，ty，tz)=t kf(x，y，z)证明：22 计算23 证明：(1)设 an0，且na n有界，则级数 收敛；(2)若收敛24 求幂级数24 设函数 f(x)满足 xf(x)2f(x)=x，且由曲线 y=f(x)，x=1 及 x 轴(x0)所围成的平
4、面图形为 D若 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：25 曲线 y=f(x)；26 曲线在原点处的切线与曲线及直线 x=1 所围成的平面图形的面积27 某湖泊水量为 V，每年排入湖泊中内含污染物 A 的污水量为 流入湖泊内不含 A 的水量为 设 1999 年底湖中 A 的含量为 5m0，超过国家规定指标为了治理污染，从 2000 年初开始，限定排入湖中含 A 污水的浓度不超过 问至多经过多少年，湖中污染物 A 的含量降到 m0 以内(设湖中 A 的浓度是均匀的)?考研数学三（微积分）模拟试卷 196 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答
5、案】 A【试题解析】 不妨设 f(a)0，因为 f(x)在 x=a 处可导，所以 f(x)在 x=a 处连续，于是存在 0，当xa 时，有 f(x)0，于是=f(a)，即f(x)在 x=a 处可导，同理当 f(a)0 时，f(x)在 x=a 处也可导，选 A【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 令 f(x)=x，显然 A 不对，同理 B 也不对；令 f(x)=x2，D 不对；若 ，则对任意的 M 0，存在 X00，当 xX0 时，有 f(x)M，于是当 xX0 时，f(x)f(X 0)=f()(xX 0)，其中 (X0，x)，即 f(x)f(X0)+M(xX 0)，根据
6、极限的保号性，有 ，选 C【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 A【试题解析】 由周期函数的平移性质，F(x)= xx+2esintsintdt= esintsintdt，冉由对称区间积分性质得 F(x)=0(esinte sint sint)dt=0(esinte sint )sintdt，又(e sinte sint )sint 连续、非负、不恒为零，所以 F(x)0，选 A【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 =0=f(0，0)，所以 f(x，y)在(0，0)处连续；因为所以 fx(0，0)=0 根据对称性，f y(0， 0)=0，即 f(x，y)在
7、(0，0)处可偏导；由得f(x，y)在(0，0)处可微；当 (x，y)(0，0)时，因为 不存在，所以fx(x，y)在点(0，0)处不连续，同理 fy(x，y)在点(0，0)处也不连续，选 C【知识模块】 多元函数微分学二、填空题5 【正确答案】 2【试题解析】 atetdt= atd(et)=tet a aetdt=aeae a 由 ea=aeae a 得 a=2【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 3【试题解析】 因为 cos2x1=(cosx+1)(cosx1)x 2，且 1cos 2x1，所以 a=3【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 e 2【试题解析】 由 得
8、f(0)=0，f(0)=0，则【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 【试题解析】 由【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 在 D1=(x，y) x+ ，0y1上，f(y)=y；在D2：0x+y1 上，f(x+y)=x+y，则在 D0=D1D2=(x，y) yx1 y，0y1)上，f(y)f(x+y)=y(x+y)，所以【知识模块】 重积分11 【正确答案】 【试题解析】 因为【知识模块】 级数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 x n
9、+1x n=f(xn)f(x n1 )=f(n)(xn xn1 )，因为 f(x)0，所以 xn+1 xn 与 xnx n1 同号，故X n单调 x n= f(x n 1)=f(x n)+xnxn1 f(x)dxf(x n)+ xnxn1 f(x)dxf(x n)+ dx=f(x n)+k，即x n有界，于是 存在，根据 f(x)的可导性得 f(x)处处连续，等式 xn+1=f(xn)两边令n，得 原命题得证【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 因为 f (0)f+(0)，所以 f(x)在 x=0 处不可导于是令 f(x)=0 得 x=1 或 当 x1 时，f(x)0；当1x0 时
10、，f(x) 0；当 0x 时，f(x) 0；当 时，f(x)0故 x=1 为极小值点，极小值 f(1)=1 x=0 为极大值点，极大值f(0)=1；【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 因为 所以存在 0，当0xa 时，有 从而 f(x) f(a)，于是存在 c(a，b)，使得f(c)f(a)=0由微分中值定理，存在 1(a，c)， 2(c，b)，使得再由微分中值定理及 f(x)的二阶可导性，存在 (1， 2) (a，b)，使得【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 因为函数的一阶导数与其反函数的一阶导数互为倒数，所以【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数积分学1
11、7 【正确答案】 当 nx(n+1)n 时， 0ncostdt 0xcostdt 0(n+1)costdt， 0ncostdt=n 0costdt= =2n， 0(n+1) costdt=2(n+1)，则 2nS(x)【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 由 nT(n+1)，得【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 0kf(x)dxk 01f(x)dx=0kf(x)dxk 0kf(x)dx+k1f(x)dx =(1k) 0kf(x)dxk k1f(x)dx=k(1k)f( 1)f( 2) 其中 10，k， 1k，1因为 0k1 且f(x)单调减少， 所以 0kf(x)dxk
12、01f(x)dx=k(1k)f( 1)f( 2)0，故 0kf(x)dxk01f(x)dx【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 根据对称性，所求面积为第一象限围成面积的 4 倍，先求第一象限的面积则第一象限围成的面积为【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 令 u=tx， v=ty，w=tz ，f(tx ，ty，tz)=t kf(x，y，z)两边对 t 求导得 当 t=1时，有【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 令【知识模块】 重积分23 【正确答案】 (1)因为na n有界，所以存在 M0，使得 0na nM，即而级数 收敛(2)取所以存在 N0，当 nN 时，
13、收敛【知识模块】 级数24 【正确答案】 由 得收敛半径 R=+，该幂级数的收敛区间为(， +)，令=x2ex+xex+ex=(x2+x+1)ex(x+)【知识模块】 级数【知识模块】 常微分方程与差分方程25 【正确答案】 由 xf(x)2f(x)= x= =1=f(x)=x+cx 2设平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V，则因为 为 V(c)的最小值点，且曲线方程为【知识模块】 常微分方程与差分方程26 【正确答案】 在原点处的切线方程为 y=x，则【知识模块】 常微分方程与差分方程27 【正确答案】 设从 2000 年初开始，第 t 年湖中污染物 A 的总量为 m，则浓度为 任取时间元素t，t+dt，排入湖中污染物 A 的含量为流出湖的污染物 A 的含量为 则在此时间元素内污染物 A 的改变量为于是 令 m=m0，得 t=6ln3，即至多经过 7 年，湖中污染物 A的含量不超过 m0【知识模块】 常微分方程与差分方程
