1、考研数学三（微积分）模拟试卷 199 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=0 处二阶可导，f(0)=0 且 则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点2 设 f(x)二阶连续可导， 则( )（A）fx)是 f(x)的极小值（B） f(2)是 f(x)的极大值（C） (2，f(2)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(2)不是函数 f(x)的极值，(2，f(2)也不是曲线 y
2、=f(x)的拐点3 设 f(x)在 R 上是以 T 为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是( )（A） axf(t)dt（B） x xf(t)dt（C） x 0f(t)dt x0f(t)dt（D） x xtf(t)dt4 设 其中 D：x 2+y2a2，则 a 为( )（A）1（B） 2（C）（D）5 设幂级数 an(x2) n 在 x=6 处条件收敛，则幂级数 的收敛半径为( ) （A）2（B） 4（C）（D）无法确定二、填空题6 设 ，则 a_7 设 在 x=0 处连续，则a=_，b=_8 设 f(x)满足 f(x)=f(x+2)，f(0)=0，又在(1，1)内 f(x)=x，则
3、=_9 设 f(x)为连续函数，且满足 01f(xt)dt=f(x)+xsinx，则 f(x)=_10 =_11 设 y=y(x)满足 y= x+o(x)，且有 y(1)=1，则 02y(x)dx=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设 f(0)=6，且13 设 f(x)在0，1上有定义，且 exf(x)与 ef(x) 在0，1上单调增加证明：f(x)在0，1上连续14 求15 设 求 y16 设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(a)=f(b)=0证明：存在 (a，b)，使得17 设 f(x)二阶可导， 且 f(x)0证明：当 x0 时，f(x)x17 设 fn(x)
4、=x+x2+xn(n2)18 证明方程 fn(x)=1 有唯一的正根 xn；19 求20 就 k 的不同取值情况，确定方程 x33x+k=0 根的个数21 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1，证明：对任意的a0，b0，存在 ， (0，1)，使得22 设 f(x)在0，+)上连续，非负，且以 T 为周期，证明：23 设 f(x)在0，1 上连续，且 f(1)=f(0)=1证明： 01f2(x)dx124 设 u=f(x， y，xyz)，函数 z=z(x，y)由 exyz=xyzh(xy+zt)dt 确定，其中 f 连续可偏导，h 连续，求25 设函数
5、 z=f(u)，方程 u=(u)+yxP(t)dt 确定 u 为 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，(u)连续，且 (u)1，求26 设半径为 R 的球面 S 的球心在定球面 x2+y2+z2=a2(a0)上，问 R 取何值时，球面 S 在定球面内的面积最大?26 设 f(x)是连续函数27 求初值问题 的解，其中 a0；28 若f(x)k，证明：当 x0 时，有29 利用变换 x=arctant 将方程 化为y 关于 t 的方程，并求原方程的通解30 一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长 18 m，运动开始时链条一边下垂 8 m，另一边下垂 10 m，问整个链条滑过
6、钉子需要多长时间?考研数学三（微积分）模拟试卷 199 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 得 f(0)+f(0)=0，于是 f(0)=0再由=f(0)+f(0)=2，得 f(0)=20，故 f(0)为 f(x)的极小值，选 B【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 A【试题解析】 由则存在0，当 0 x2 时，有 即当 x(2，2)时，f(x)0；当x(2，2+)时，f(x)0，于是 x=2 为 f(x)的极小值点，选 A【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 设 (x)= xxtf(t)d
7、t=20xtf(t)dt，(x+T)=2 0x+Ttf(t)dt=20xtf(t)dt+2xx+Ttf(t)dt(x)，选 D【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 B【试题解析】 由解得 a=2，选 B【知识模块】 重积分5 【正确答案】 A【试题解析】 因为 在 x=6 处条件收敛，所以级数 的收敛半径为 R=4，又因为级数的收敛半径为R=4，于是 的收敛半径为 R=2，选 A【知识模块】 级数二、填空题6 【正确答案】 ln2【试题解析】 由 e3a=8，得a=ln2【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 a=1，b=1【试题解析】 =a+4b，f(0)=3 ，因为 f(x
8、)在 x=0处连续，所以 a+4b=3=2b+1，解得 a=1，b=1【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 【试题解析】 因为在(1，1)内 f(z)=x，所以在(1，1)内由 f(0)=0 得【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 cosxxsinx+C【试题解析】 由 01f(xt)dt=f(x)+xsinx，得 01f(xt)d(xt)=xf(x)+x2sinx，即 0xf(t)dt=xf(x)+x2sinx，两边求导得 f(x)=2sinx xcosx，积分得 f(x)=cosxxsinx+C【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 4【试题解析】 【知识模块】
9、一元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 由 得函数 y=y(x)可微且因为y(1)=1，所以 C=0，于是【知识模块】 常微分方程与差分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 由 得 f(0)=0，f(0)=0，【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 对任意的 x00，1 ，因为 exf(x)与 ef(x) 在0 ，1上单调增加，所以当 xx 0 时，有 故 f(x0)f(x)ex0x f(x0)，令 xx 0 ，由夹逼定理得 f(x00)=f(x 0)；当 xx 0 时，有 故 ex0x f(x0)f(x)f(x0)，令 xx 0+，由夹逼
10、定理得 f(x0+0)=f(x0)，故 f(x00)=f(x 0+0)=f(x0)，即f(x)在 x=x0 处连续，由 x0 的任意性得 f(x)在0，1上连续【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 当x1 时， 当 x1 时，y=1；当x1 时，y=1；由 得 y在 x= 1 处不连续，故 y(1)不存在；由得 y+(1)=1，因为 y (1)y+(1)，所以 y 在 x=1 处不可导，故【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 由泰勒公式得两式相减得 f(b)=f(a)= f(1)f( 2)，取绝对值得f(b)f(a)f(
11、1)+ f( 2)(1)当f( 1)f( 2)时，取 =1，则有(2)当f( 1)f( 2)时，取 =2，则有【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 由 得 f(0)=0，f(0)=1，又由 f(x)0 且 x0，所以f(x)f(0)+f(0)x=x【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 令 n(x)=fn(x)1，因为 n(0)=10， n(1)=n10，所以n(x) 在(0，1) (0，+)内有一个零点，即方程 fn(x)=1 在(0，+)内有一个根因为 n(x)=1+2x+nxn1 0，所以 n(x)在(0，+)内单调增加，所以 n(x)在(0
12、，+) 内的零点唯一，所以方程 fn(x)=1 在(0 ，+)内有唯一正根，记为 xn【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 由 fn(xn)f n+1(xn+1)=0，得(x nx n+1)+(xn2x n+12)+(xnnx n+1n)=xn+1n+10，从而 xnx n+1，所以x n)n=1单调减少，又 xn0(n=1，2，)，故显然 Axnx1=1，由 xn+xn2+xnn=1，得【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 令 f(x)=x33x+k， 由f(x)=3x23=0，得驻点为 x1=1，x 2=1，f(x)=6x，由 f(1)= 6，f(1)=6 ，得x1=1
13、 ，x 2=1 分别为 f(x)的极大值点和极小值点，极大值和极小值分别为 f(1)=2+k，f(1)=k2(1)当 k2 时，方程只有一个根； (2)当志=2 时，方程有两个根，其中一个为 x=1，另一个位于(1，+)内；(3)当2k2 时，方程有三个根，分别位于(，1)，(1，1)，(1，+)内；(4)当 k=2 时，方程有两个根，一个位于( ，1) 内，另一个为 x=1；(5)当 k2 时，方程只有一个根【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上连续，f(0)=0，f(1)=1，且所以由端点介值定理，存在 c(0，1)，使得由微分中值定理，存在 (0，c)
14、， (c，1)，使得【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 对充分大的 x，存在自然数 n，使得 nTx(n+1)T ，因为 f(x)0，所以 0nTf(t)dt0xf(t)dt0(n+1)Tf(t)dt，即 n0Tf(t)dt0Xf(t)dt(n+1)0Tf(t)dt，由注意到当 x+时，n+ ，且 由夹逼定理得【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 由 1=f(1)f(0)= 01f(x)dx， 得 12=1=01f(x)dx)20112dxf2(x)dx=01f2(x)dx，即 01f2(x)dx1【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 xyzh(xy+zt)dt
15、 zxyh(u)d(u)= xyzh(u)du，两边对 x 求偏导得=xf1yf 2【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 z=f(u)两边对 x 及 y 求偏导，得方程 u=(u)+yxP(t)dt 两边对 x 及 y 求偏导，得【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 设球面 S：x 2+y2+(xa) 2=R2，由 得球面 S 在定球内的部分在 xOy 面上的投影区域为 Dxy：x 2+y2 (4a2R 2)，球面S 在定球内的方程为 S：因为 时球面 S 在定球内的面积最大【知识模块】 重积分【知识模块】 常微分方程与差分方程27 【正确答案】 y+ay=f(x)的通解为
16、 y=0xf(t)eatdt+Ce-ax，由 y(0)=0 得 C=0，所以y=eax 0xf(t)eatdt【知识模块】 常微分方程与差分方程28 【正确答案】 当 x0 时，y=e ax 0xf(t)eatdte ax 0xf(t)e atdtkeax 0xat2dt【知识模块】 常微分方程与差分方程29 【正确答案】 代入整理得 的特征方程为2+22+1=0，特征值为 1=2=1，则 的通解为 y=(C1+C2t)et +t2，故原方程通解为 y=(C1+C2tanx)etanx +tanx2【知识模块】 常微分方程与差分方程30 【正确答案】 设链条的线密度为 ，取 x 轴正向为垂直向下，设 t 时刻链条下垂 x(t)m，则下垂那段的长度为(10+x)m，另一段长度为(8x)m，此时链条受到的重力为 (10+x)g(8x)g=2(x+1)g链条的总重量为 18，由牛顿第二定理F=ma 得 且 x(0)=0，x(0)=0，解得当链条滑过整个钉子时，x=8，由【知识模块】 常微分方程与差分方程
