1、考研数学三（微积分）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 与 B 均为 n,阶矩阵，且 A 与 B 合同，则( )（A）A 与 B 有相同的特征值（B） det A=det（C） A 与 B 相似（D）r(A)=r(B)2 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=3x12+cx22+x32-2x1x2+2x1x3-2x2x3 的秩为 2，则 c 的值为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）33 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+4x22+3x32-4x1x2+2x1x3+8x2x3 的秩等于( )。（A）0（B） 1（C
2、） 2（D）34 A，B 是两个事件，则下列关系正确的是( ) （A）(A-B)+B=A（B） AB+(A-B)=A（C） (A+B)-B=A （D）(AB+A)-B=A 5 设 n 元二次型 f(x1，x 2，,x n)=XTAX，其中 AT=A如果该二次型通过可逆线性变换 X=CY 可化为 f(y1， y2，y n)=YTBY，则以下结论不正确的是 ( )（A）A 与 B 合同（B） A 与 B 等价（C） A 与 B 相似（D）r(A)=r(B) 二、填空题6 当 k=_时，向量 =(1，k，5)能由向量 1=(1，-3，2)， 2=(2，-1，1)线性表示7 已知 =(3， 5，7，9
3、) ，=(-1，5，2，0)，x 满足 2+3x=，则 x=_.8 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+5x22+x32+2x1x2+2ax2x3 为正定二次型，则 a 的取值范围_.9 设 n 阶实对称矩阵 A 满足条件 A2+6A+8E=O，且 A+tE 是正定矩阵，则 t 的取值范围为_10 已知 1=(1，1，2，2，1)， 2=(0，2，1，5，-1)， 3=(2，0，3，-1，3)，4=(1， 1，0， 4，-1)， 则 r(1， 2， 3， 4)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设向量组 1， 2， s 线性无关，作线性组合1=1+1s， 2
4、=2+2s， s-1=s-1+s-1s，则向量组 1， 2， s-1 线性无关，其中 s2， i 为任意实数11 一串钥匙，共有 10 把，其中有 4 把能打开门，因开门者忘记哪些能打开门，便逐把试开，求下列事件的概率：12 第 3 把钥匙才打开门13 最多试 3 把钥匙就能打开门13 商店收进甲厂生产的产品 30 箱，乙厂生产的同种产品 20 箱，甲厂产品每箱装100 个，废品率为 006，乙厂产品每箱 120 个，废品率为 00514 任取一箱，从中任取一个产品，求其为废品的概率15 若将所有产品开箱混装，任取一个其为废品的概率15 四名乒乓球运动员1，2，3，4 参加单打比赛，在第一轮中
5、，1 与 2 比赛，3 与 4 比赛然后第一轮中的两名胜者相互比赛决出冠亚军，两名败者也相互比赛决出第三名和第四名于是比赛的一种最终可能结果可以记作 1324(表示 1 胜2，3 胜 4，然后 1 胜 3，2 胜 4)16 写出比赛所有可能结果构成的样本空间 ；17 设事件 A 表示运动员 1 获得冠军，写出 A 中所包含的所有可能结果；18 设事件 B 表示运动员 1 进入冠亚军决赛，写出 B 中所包含的所有可能结果；考研数学三（微积分）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【知识模块
6、】 微积分3 【正确答案】 D【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【知识模块】 微积分二、填空题6 【正确答案】 -8【知识模块】 微积分7 【正确答案】 (-7/3 ，-5/3 ，-4,-6)【知识模块】 微积分8 【正确答案】 -24【知识模块】 微积分10 【正确答案】 3【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 证明 设存在 k 1， k 2， k s-1，使得 k11+k22+ks-1s-1=，即k1(1+1s)+k2(2+2s)+ks-1(s-1+s-1s)=，展开整理得： k11+k22+
7、ks-1s-1+(k11+k22+ks-1s-1)s=， 由题设， 1， 2， s 线性无关，所以 k1=k2=ks-1=k11+k22+ks-1s-1=0， 故 1， 2， s-1 线性无关【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分12 【正确答案】 P(第 3 把钥匙才打开门)=(654)/(1098)=1/6【知识模块】 微积分13 【正确答案】 P(最多试 3 把钥匙就能打开门)=P(第 1 把钥匙就打开门)+P( 第 2 把钥匙才打开门)+P(第 3 把钥匙才打开门)=4/10+(64)/(109)+1/6=5/6【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分14 【正确答案】 0.056【
8、知识模块】 微积分15 【正确答案】 将所有产品开箱混装，则共有产品 10030+12020=5 400 个，废品数为 10000630+12000520=300 个，则P(B)=300/5 400=1/18【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分16 【正确答案】 =1324，1342，3124，3142，1423，1432，4123，4132，2314，2341，3214，3241，2413，2431，4213，4231；【知识模块】 微积分17 【正确答案】 A=1324，1342，1423，1432 ；【知识模块】 微积分18 【正确答案】 B=1324，1342，3124，3142，1423，1432，4123，4132 ；【知识模块】 微积分
