1、考研数学三（微积分）模拟试卷 202 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=0xdt0ttln(1+u2)du，g(x)= 0sinx2(1cost)dt，则当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但非等价的无穷小2 f(x)g(x)在 x0 处可导，则下列说法正确的是 ( )（A）f(x)，g(x) 在 x0 处都可导（B） f(x)在 x0 处可导，g(x)在 x0 处不可导（C） f(x)在 x0 处不可导，g(x) 在 x0 处可导（D）f(x)，g(x) 在 x0 处都可
2、能不可导3 设函数 f(x)满足关系 f(x)+f2(x)=x，且 f(0)=0，则( )（A）f(0)是 f(x)的极小值（B） f(0)是 f(x)的极大值（C） (0，f(0)是 y=f(x)的拐点（D）(0 ，f(0) 不是 y=f(x)的拐点二、填空题4 设 f(x)连续，x(0)=0，f(0)=1，则 =_5 设 y=y(x)由 yexy+xcosx1=0 确定，求 dy x=0=_6 _7 设 则 a=_8 微分方程 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 求10 求 的间断点并判断其类型11 设 求 a，b 的值11 设 f(x)在(1，1)内二阶连续可
3、导，且 f(x)0证明：12 对(1，1)内任一点 x0，存在唯一的 (x)E(0， 1)，使得f(x)=f(0)+xf(x)x；13 14 证明：当 x0 时，(x 21)lnx(x1) 215 设 f(x)二阶连续可导且 f(0)=f(0)=0，f(x)0曲线 y=f(x)上任一点(x，f(x)(x0)处作切线，此切线在 x 轴上的截距为 u，求16 设 f(x)连续，且 f(x)=20xf(xt)dt+e x，求 f(x)17 设 f(x)在a，b上连续可导，证明：18 设 f(x)在a，b上连续，且对任意的 t0，1 及任意的 x1，x 2a，b满足： ftx1+(1t)x 2tf(x
4、1)+(1t)f(x 2)证明：19 某厂家生产的一种产品同时在两个市场上销售，售价分别为 p1，p 2，销售量分别为 q1，q 2，需求函数分别为 q1=2402p 1，q 2=10005p 2，总成本函数为C=35+40(q1+q2)，问厂家如何确定两个市场的销售价格，能使其获得总利润最大?最大利润为多少?20 设 f(x)连续，且 f(0)=1，令 F(t)= f(x2+y2)dx dy(t0)，求 F(0)21 设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb 证明：22 设 中，哪个级数一定收敛?23 设 f(x)在区间a，b上满足 af(x)b，且有f(x) q
5、 1，令 un=f(un1 )(n=1，2，)，u 0a，b，证明：级数 绝对收敛23 设 f(x)的一个原函数为 F(x)，且 F(x)为方程 xy+y=ex 的满足 的解24 求 F(x)关于 x 的幂级数；25 求 的和26 设 求f(x)27 设曲线 L1 与 L2 皆过点(1，1) ，曲线 L1 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2，曲线 L1 在点(x ， y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2，求两曲线所围成区域的面积28 设函数 f(x)二阶连续可导，f(0)=1 且有 f(x)+30xf(t)dt+2x01f(tx)dt+ex =0，求f(x)考研数学三（微积分）
6、模拟试卷 202 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 得 m=6且 g(x) x6，故 x0 时，f(x) 是 g(x)的低阶无穷小，选 A【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 D【试题解析】 令 显然 f(x)，g(x)在每点都不连续，当然也不可导，但 f(x)g(x)1 在任何一点都可导，选 D【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(0)=0 得 f(0)=0，f(x)=1 2f(x)f(x) ，f(0)=1 0，由极限保号性，存在 0，当 0x 时，f(x)0，再由 f(0)=0
7、，得故(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点，选 C【知识模块】 一元函数微分学二、填空题4 【正确答案】 0【试题解析】 0xlncos(xt)dt= 0xlncos(xt)d(xt)=一 x0lncosudu=0xlncosudu，【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 2dx【试题解析】 当 x=0 时，y=1，将 yexy+xcosx1=0 两边对 x 求导得将 x=0，y=1 代入上式得故 dy x=0=2dx【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 ln2【试题解析】 故a=ln2【知识模块】 一元函数积分学
8、8 【正确答案】 lnx+C【试题解析】 【知识模块】 常微分方程与差分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 f(x)的间断点为 x=0，1，2， 及 x=1当 x=0 时，则 x=0 为函数 f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点当 x=1 时 ，则x=1 为 f(x)的第一类间断点中的可去间断点当 x=k(k=2，3，)时，则 x=k(k=2，3，) 为函数 f(x)的第二类间断点当 x=1 时，因为 不存在，所以 x=1 为 f(x)的第二类间断点【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 ln(1+
9、x)(ax+bx 2)=x +o(x2)(ax+bx 2)=(1a)x(b+ )x2+o(x2)由 得 0x2et2 dtx 2，于是故 a=1，b=2【知识模块】 函数、极限、连续【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 对任意 x(1，1) ，根据微分中值定理，得f(x)=f(0)+xf(x)x，其中 0(x)1因为 f(x)C(1，1)且 f(x)0，所以 f(x)在(1，1)内保号，不妨设 f(x)0，则 f(x)在(1 ，1) 内单调增加，又由于 x0，所以 (x)是唯一的【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 由泰勒公式，得 f(x)=f(0)+f(0)x+ x2，其
10、中 介于 0 与 x 之间，而 f(x)=f(0)+xf(x)x，所以有令 x0，再由二阶导数的连续性及非零性，得【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 令 (x)=(x21)lnx (x1) 2，(1)=0(x)=2x lnxx+2 (1)=0(x)=21nx+1+ (1)=20故 x=1 为 (x)的极小值点，由其唯一性得其也为最小值点，而最小值为 (1)=2v0，故 (x)0(x0)由故 x=1 为 (x)的极小值点，也为最小值点，而最小值为 (1)=0，所以 x0 时，(x)0，即(x 21)lnx(x1)2【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 曲线 y=f(x)在点
11、(x，f(x)处的切线方程为 Yf(x)=f(x)(Xx)，令Y=0 得 由泰勒公式得 f(u)= f (1)u2 其中 1 介于 0 与 u 之间，f(x)= f (2)x2 其中 2 介于 0 与 x 之间，于是【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 0xf(xt)dt 0xf(u)(du)= 0xf(u)du，则 f(x)=(exe 2dx dx+C)e2dx =Ce2x ex，因为 f(0)=1，所以 C=2，故 f(x)=2e2xe x【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上连续，所以f(x)在a，b上连续，令根据积分中值定理， abf(x)
12、dx=f()，其中a， b由积分基本定理，f(c)=f()+ cf(x)dx，取绝对值得f(c) f()+ cf(x)dxf()+ abf(x)dx，即【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 因为 abf(x)dx (ba) 01fat+(1t)bdt(ba)f(a)01tdt+f(b)01(1t)dt= 所以【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 p 1=1205q1，p 2=20020q 2，收入函数为 R=p1q1+p2q2，总利润函数为 L=RC=(1205q 1)q1+(20020q 2)q235+40(q 1+q2)，由得 q1=8，q 2=4，从而 p1=80，p
13、 2=120，L(8 ，4)=605 ，由实际问题的意义知，当 1p=80，p 2=120 时，厂家获得的利润最大，最大利润为605【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 由 F(t)=02d0trf(r2)dr=20trf(r2)dr=0t2f(u)du，得 F(t)=2tf(t2)，F(0)=0，【知识模块】 重积分21 【正确答案】 因为积分区域关于直线 y=x 对称，【知识模块】 重积分22 【正确答案】 (1) nan 不一定收敛，如发散； 不一定收敛，如不一定收敛，如一定收敛由一定收敛【知识模块】 级数23 【正确答案】 由u n+1u n=f(u n)f(u n1 ) =
14、f( 1) u nu n1 qu nu n1 q 2u n1 u n2 q nu 1u 0且绝对收敛【知识模块】 级数【知识模块】 级数24 【正确答案】 由 xy+y=ex 得 解得因为 所以 C=1，于是【知识模块】 级数25 【正确答案】 【知识模块】 级数26 【正确答案】 由 得 f(1)=0，f (1)=2，令或 rf(r)+f(r)=0，解得 rf(r)=C1，由 f(1)=2 得 C1=2，于是 f(r)=lnr2+C2，由 f(1)=0 得 C2=0，所以 f(x)=lnx2【知识模块】 常微分方程与差分方程27 【正确答案】 对曲线 L1，由题意得 解得 y=x(2x+C1
15、)，因为曲线L1 过点(1 ，1)，所以 C1=1，故 L1：y=2x 2x对曲线 L2，由题意得因为曲线 L2 过点 (1，1)，所以 C1=1，故由 得两条曲线的交点为 及(1，1)，故两条曲线所围成区域的面积为【知识模块】 常微分方程与差分方程28 【正确答案】 因为 x01f(tx)dt=0xf(u)du，所以 f(x)+30xf(t)dt+2x01f(tx)dt+ex =0可化为 f(x)+30xf(t)dt+20xf(t)dt+ex =0，两边对 x 求导得 f(x)+3f(x)+2f(x)=ex ，由2+3+2=0 得 1=1， 2=2，则方程 f(x)+3f(x)+2f(x)=0 的通解为C1ex +C2e2x 令 f(x)+3f(x)+2f(x)=ex 的一个特解为 y0=axex ，代入得 a=1，则原方程的通解为 f(x)=C1ex +C2e2x +xex 由 f(0)=1，f(0)=1 得 C1=0，C 2=1，故原方程的解为 f(x)=e2x +xex 【知识模块】 常微分方程与差分方程
