1、考研数学三（微积分）模拟试卷 203 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设a n与b n为两个数列，下列说法正确的是( )（A）若a n与b n都发散，则a nbn一定发散（B）若 an与b n都无界，则a nbn一定无界（C）若 an无界且（D）若 an 为无穷大，且 则 bn 一定是无穷小2 f(x)在 x0 处可导，则f(x)在 x0 处( )（A）可导（B）不可导（C）连续但不一定可导（D）不连续3 下列说法正确的是( ) （A）设 f(x)在 x0 二阶可导，则 f(x)在 x=x0 处连续（B） f(x)在a，b 上的最大值一定是其极大值
2、（C） f(x)在(a，b) 内的极大值一定是其最大值（D）若 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点二、填空题4 设 f(x)连续，且 f(1)=1，则 =_5 设 0yetdt+0xcostdt=xy 确定函数 y=y(x)，则=_6 _7 设 f(x)=0xecostdt求 0f(x)cosxdx8 以 y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 求10 设 求 f(x)的间断点并指出其类型11 确定 a，b ，使得 x
3、(a+bcosx)sinx ，当 x0 时为阶数尽可能高的无穷小11 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，f(0)=0， f(1)=0证明：12 存在 使得 f()=；13 对任意的 k(，+) ，存在 (0，)，使得 f()kf()=114 当 x0 时，证明：15 求16 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(x)0证明： 01f(x2)dx17 设 f(x)Ca，b，在(a ，b)内二阶可导，且 f(x)0，(x)是区间a ，b上的非负连续函数，且 ab(x)dx=1证明： abf(x)(x)dxfabx(x)dx18 求二元函数 z=f(x，y)=x 2y(4xy)在由
4、 x 轴、 y 轴及 x+y=6 所同围成的闭区域D 上的最小值和最大值19 设二元函数 f(x，y)=xy(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续证明：函数 f(x，y)在点(0 ，0)处可微的充分必要条件是 (0，0)=0 20 计算二重积分21 设 f(x)为连续函数，计算 其中 D 是由y=x3， y=1， x=1 围成的区域22 若正项级数 收敛22 设 (n=1，2，；a n0，b n0)，证明：23 若级数 收敛；24 若级数 发散25 设 f(x)在( ，+)内一阶连续可导，且发散.26 设函数 f(x)在0，+)内可导，f(0)=1，且 f(x)+f(x)
5、0xf(t)dt=0(1)求 f(x)；(2)证明：当 x0 时，e x f(x)127 用变量代换 x=sint 将方程 化为 y 关于 t 的方程，并求微分方程的通解28 高度为 h(t)(t 为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足已知体积减少的速度与侧面积所成比例系数为 09，问高度为 130 的雪堆全部融化需要多少时间(其中长度单位是 cm，时间单位为 h)?考研数学三（微积分）模拟试卷 203 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 A 不对，如 an=2+(1) n，b n=2(1) n，显然a n与b n都发散，但
6、 anbn=3，显然a nbn收敛；B，C 都不对，如 an=n1+(1) n，b n=n 1(1) n，显然a n与b n都无界，但 anbn=0，显然a nbn有界且 ；正确答案为D【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)在 x0 处可导得f(x) 在 x0 处连续，但f(x) 在 x0 处不一定可导，如 f(x)=x 在 x=0 处可导，但f(x) = x在 x=0 处不可导，选 C【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 令 不存在，所以 A 不对；若最大值在端点取到则不是极大值，所以 B 不对；C 显然不对，选D【知识模块】 一
7、元函数微分学二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 【试题解析】 0yetdt+0xcostdt=xy 两边对 x 求导得【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 e 1 e【试题解析】 0f(x)cosxdx=0f(x)d(sinx)=f(x)sinx 0 0f(x)sinxdx = 0ecosxsinxdx=ecosx 0=e1 e 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 y3y+4y2y=0【试题解析】 特征值为 1=1， 2,3=1i，特征方程为( 1)(1+i)(1
8、i)=0，即33 2 +42=0，所求方程为 y3y+4y2y=0【知识模块】 常微分方程与差分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 首先其次 f(x)的间断点为 x=k(k=0，1，)，因为 ，所以 x=0 为函数 f(x)的第一类间断点中的可去间断点，x=k(k=1，)为函数 f(x)的第二类间断点【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 令 y=x(a+bcosx)sinx，y=1+bsin 2x(a+bcosx)cosx，y=bsin2x+sin2x+(a+bcosx)sinx=asinx+2b
9、sin2x，y=acosx+4bcos2x ，显然 y(0)=0，y(0)=0，所以令 y(0)=y(0)=0 得 故当时，x(a+bcosx)sinx 为阶数尽可能高的无穷小【知识模块】 函数、极限、连续【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 令 (x)=f(x)X，(x)在0，1上连续， (1)=1 0，由零点定理，存在 使得 ()=0，即 f()=【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 设 F(x)=ekx (x)，显然 F(x)在0，上连续，在(0，)内可导，且F(0)=F()= 0，由罗尔定理，存在 (0，)，使得 F()=0，整理得 f()kf()=1【知识模块】
10、一元函数微分学14 【正确答案】 令 f(x)=( +1)ln(1+x)2arctanx，f(0)=0所以 从而 f(x)0(x0)由得 f(x)f(0)=0(x0)，即【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 由泰勒公式，得【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 因为 f(x)0，所以有 f(x)f(x0)+f(x0)(xx 0) 取 x0=abx(x)dx，因为 (x)0，所以 a(x)x(x)b(x)，又 ab(x)dx=1， 于是有 aabx(x)dx=x0b 把 x0=abx(x)dx 代入 f(x)f(x0)+f(x0)
11、(xx 0)中，再由 (x)0，得 f(x)(x)f(x 0)(x)+f(x0)x(x)x 0(x)， 上述不等式两边再在区间a，b上积分，得 abf(x)(x)dxfabx(x)dx【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 (1)求 f(x，y)在区域 D 的边界上的最值， 在 L1：y=0(0x6) 上，z=0； 在 L2： x=0(0Y6)上，z=0；在 L3：Y=6x(0x6)上，z=2x 2(6x)=2x3 12x2，由 =6x2 24x=0 得 x=4，因为 f(0，6)=0，f(6，0)=0，f(4 ，2)=64，所以 f(x，y) 在 L【知识模块】 多元函数微分学19
12、【正确答案】 (必要性)设 f(x，y)在点(0，0)处可微，则 fx(0，0)，f y(0，0)存在因为所以(0，0)=0(充分性)若 (0，0)=0 ，则 fx(0，0)=0，f y(0，0)=0因为即f(x，y)在点(0，0)处可微【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 【知识模块】 重积分21 【正确答案】 设 f(x)的一个原函数为 F(x)，则【知识模块】 重积分22 【正确答案】 因为 当 x0 时，ln(1+x)x，于是为正项级数，而收敛【知识模块】 级数【知识模块】 级数23 【正确答案】 (1)由 则数列单调递减有下界，根据极限存在准则， 无论 A=0 还是 A0，
13、若级数收敛【知识模块】 级数24 【正确答案】 (2)若 A=0，由级数敛散性相同，故若级数 发散【知识模块】 级数25 【正确答案】 由，所以存在 0，当x 时，f(x)0，于是存在 N0，当 nN 时，由莱布尼茨审敛法知 收敛，因为发散【知识模块】 级数26 【正确答案】 (1)(x+1)f(x)+(x+1)f(x) 0xf(t)dt=0，两边求导数，得(x+1)f(x)=(x+2)f(x)= 再由 f(0)=1，f(0)+f(0)=0，得 f(0)=1，所以C=1，于是 (2)当 x0 时，因为 f(x)0 且 f(0)=1，所以 f(x)f(0)=1令 g(x)=f(x)e x g(0)=0，g(x)=f(x)+e x = 由=g(x)0=f(x)ex (x0)【知识模块】 常微分方程与差分方程27 【正确答案】 的通解为 y=C1e2t +C2e2t，故原方程的通解为 y=C1e2arcsinx +C2e2arcsinx【知识模块】 常微分方程与差分方程28 【正确答案】 t 时刻雪堆体积侧面积根据题意得因为 h(0)=130，所以 C=130，则 得 t=100，即经过 100 小时全部融化【知识模块】 常微分方程与差分方程
