1、考研数学三（微积分）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 在电炉上安装了 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有 2 个温控器显示的温度不低于临界温度 t0，电炉就断电，以 E 表示事件“电炉断电”，而 T(1)T(2)T(3)T(4)为 4 个温控器显示的按递增顺序排列温度值，则事件 E等于( )（A）T (1)t0（B） T(2)t0（C） T(3)t0（D）T (4)t0 2 设 ， 1， 2 线性相关， 2， 3 线性无关，则( ) （A） 1， 2， 3 线性相关（B） 1， 2， 3 线性无关（C） 1 可
2、用 ， 2， 3 线性表示（D） 可用 1,2 线性表示3 设 1， 2， , s 均为 n 维向量，下列结论不正确的是( )（A）若对于任意一组不全为零的数 k1，k 2，,k s，都有 k11+k22+kss，则1， 2，, s 线性无关（B）若 1， 2，, s 线性相关，当且仅当存在一组不全为零的数 k1，k 2，,k s，有 k11+k22+kss=（C） 1， 2，, s 线性无关的充要条件是此向量组的秩为 s（D） 1， 2，, s 线性无关的充要条件是其中任意两个向量线性无关 二、填空题4 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+ax22+x32+2x1x2-2ax1x
3、3-2x2x3 的正、负惯性指数都是1，则 a=_5 设向量组 1， 2， 3 线性无关，问常数 a，b，c 满足什么条件时，a 1-2，b 2-3， c3-1 线性相关?6 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+2x1x2+2x2x3 的秩 r 及正惯性指数 p 分别为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 已知向量组 1=(t，2，1)， 2=(2，t，0) ， 3=(1，-1，1)，试讨论：7 t 为何值时，向量组 1， 2， 3 线性相关?8 t 为何值时，向量组 1， 2， 3 线性无关?9 有 k 个坛子，每一个装有 n 个球，分别编号为 1 至 n，今从每个
4、坛子中任取一球，求 m 是所取的球中的最大编号的概率10 已知 P(A)=04，P(B)=025，P(A-B)=025，求 P(AB)，P(AB)，P(B-A)11 将 13 个分别写有 A、A、A、C、E、H、I、I、M、M 、N 、T、T 的卡片随意地排成一行，求恰好排单词“MATHEMATICIAN”的概率12 一个均匀的四面体，其第一面染红色，第二面染白色，第三面染黑色，而第四面染红、白、黑三种颜色，以 A、B、C 分别记投掷一次四面体，底面出现红、白、黑的三个事件，判断 A、B、C 是否两两独立，是否相互独立13 设 1， 2， , r， 都是 n 维向量， 可由 1， 2，, r
5、线性表示，但 不能由1， 2，, r-1 线性表示，证明：r 可由 1， 2， , r-1， 线性表示13 互不相容事件与对立事件的区别何在?说出下列各对事件之间的关系：14 |x-a|20 与 x20；16 x20 与 x20 与 x22；18 “20 件产品全是合格品” 与“20 件产品中恰有一件是废品”；19 “20 件产品全是合格品” 与“20 件产品中至少有一件是废品”；20 “20 件产品全是合格品” 与“20 件产品中至多有一件是废品”考研数学三（微积分）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 T (
6、1)t0(或T (2)t0)表示至少有 4 个(或 3 个)温控器不低于临界温度t0，故排除(A)，(B)，而T (4)t(0)至少有一个温控器不低于临界温度 t0，故排除(D)，而由 E 包含于T (3)t0)，T (3)t0包含于 E 得 E=T(3)t0，故答案为(C)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【知识模块】 微积分二、填空题4 【正确答案】 -2【知识模块】 微积分5 【正确答案】 abc=1【知识模块】 微积分6 【正确答案】 r=3，p=2【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 微积分7
7、 【正确答案】 当 t-2，3 时， 1， 2， 3 线性无关；【知识模块】 微积分8 【正确答案】 当 t=-2 或 t=3 时， 1， 2， 3 线性相关【知识模块】 微积分9 【正确答案】 每次取球编号有 n 种可能，k 次取球共有 nk 种可能，而“取得号码不超过 m”的可能取法有 mk，类似地，“取得号码不超过 m-1”的可能取法有(m-1)k，故“m 为最大号码” 的取法有 mk- (m-1)k 种，则 P(m 为最大号码)=m k-(m-1)k/nk【知识模块】 微积分10 【正确答案】 利用概率性质 P(A-B)=P(A)-P(AB)，有P(AB)=P(A)-P(A-B)=04
8、-0 25=015；根据加法公式，得P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=04+0 25-015=05；根据减法公式，有P(B-A)=P(B)-P(AB)=025-015=0 1；【知识模块】 微积分11 【正确答案】 P(13 个卡片排成单词“MATHEMATICIAN”)=(3!1112!2!12!)/13!=48/13!【知识模块】 微积分12 【正确答案】 根据题意，有 P(A)=P(B)=P(C)=1/2，P(AB)=P(AC)=P(BC)=1/4， P(ABC)=1/4，因此P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，A，B，C
9、两两独立，而 P(ABC)=1/41/8=P(A)P(B)P(C)，故 A，B，C 不相互独立【知识模块】 微积分13 【正确答案】 因为 可由 1， 2，, r 线性表示，设 =k 11+k22+kr-1r-1+krr， 又因为 不能由 1， 2，, r-1 线性表示，所以 kr0，故 r=(1/kr)(p - k 11-k22-kr-1r-1)， 即 r 可由 1， 2，, r-1， 线性表示【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分14 【正确答案】 |x-a|20 与 x20 为对立事件；【知识模块】 微积分16 【正确答案】 x20 与 x20 与 x22 为相容事件；【知识模块】 微积分18 【正确答案】 “20 件产品全是合格品 ”与“20 件产品中恰有一件是废品”为互不相容事件；【知识模块】 微积分19 【正确答案】 “20 件产品全是合格品 ”与“20 件产品中至少有一件是废品”为对立事件；【知识模块】 微积分20 【正确答案】 “20 件产品全是合格品 ”是“20 件产品中至多有一件是废品”的子事件，两者呈包含关系，前者包含于后者【试题解析】 对立事件一定是互不相容事件，而互不相容事件不一定是对立事件，只有互不相容的事件之和等于必然事件时，才是对立事件【知识模块】 微积分
