1、考研数学三（微积分）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 1， 2， , s 是一组 n 维向量，则下列结论中，正确的是( )（A）若 1， 2，, s 不线性相关，就一定线性无关（B）如果存在 s 个不全为零的数 k1，k 2，k s，使 k11+k22+kss=，则1， 2，, s 线性无关（C）若向量组 1， 2，, s 线性相关，则 1 可由 2， s 线性表示（D）向量组 1， 2， ， s 线性无关的充要条件是 1 不能由其余 s-1 个向量线性表示 2 若 1， 2， , s 的秩为 r，则下列结论正确的是( )（A）必有
2、 r1)，而 1=-1， 2=-2， s=-s，则( ) （A）r( 1， 2，, s)=r(1， 2， s) （B） r(1， 2，, s)r( 1， 2， s)（C） r(1， 2， s)r( 1， 2， s)（D）不能确定两者之间的大小关系5 设函数 f(x)x.tanx.e sinx，则 f(x)是( ) （A）偶函数（B）无界函数（C）周期函数（D）单调函数6 设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( ) （A）AB0 的充分必要条件是 A0 或 B0（B） AB0 的充分必要条件是 A0 或 B0（C） AB0 且 r(A)n，则 B0（D）若 AB0，则A0 或B07
3、设 cosx-1=xsina(x),其中a(x)/2,则当 x0 时，a(x)是（A）比 x 高阶的无穷小（B）比 x 低阶的无穷小（C）比 x 同阶但不等价的无穷小（D）与 x 等价的无穷小8 设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，若 AB=C，且曰可逆，则（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价9 函数 f(x)在点 xa 处可导，则函数f(x)在点 xa 处不可导的充分条件是( ) （A）f(a)0 且 f(a)0（B） f(
4、a)0 且 f(a)0（C） f(a)0 且 f(a)0（D）f(a)0 且 f(a)010 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则( ) （A）EA E B（B） A 与 B 有相同的特征值和特征向量（C） A 与 B 都相似于一个对角矩阵（D）对任意常数 t，tEA 与 tEB 相似11 向量组 1， 2，, m 线性无关的充分必要条件是 ( ) （A）向量组 1， 2，, m， 线性无关（B）存在一组不全为零的常数 k1，k 2，k m，使得 k11k 22k mm0（C）向量组 1， 2，, m 的维数大于其个数（D）向量组 1， 2，, m 的任
5、意一个部分向量组线性无关二、填空题12 设 1=(2， -1，0，5)， 2=(-4，-2，3，0)， 3=(-1，0，1，k)， 4=(-1，0，2，1)，则 k=_时， 1， 2， 3， 4 线性相关13 若 x0 时，(1ax 2)1/41 与 xsinx 的等价无穷小，则 a_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 求下列向量组的一个极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表示：14 1=(1，2， 1，3) ， 2=(4，-1 ，-5，-6)， 3=(-1，-3，-4，-7)， 4=(2，1，2，3)；15 1=(1，-1，2，4)， 2=(0，3，1，2)，
6、 3=(3，0，7，14)， 4=(1，-2，2，0)，5=(2， 1，5， 10)；16 1=(1，3， 2，0) ， 2=(7，0，14，3) ， 3=(2，-1，0，1)， 4=(5，1，6，2)，4=(2， -1，4，1)17 设 1， 2， , m 为一个向量组，且 1，每一个向量 i(i1)都不能由1， 2，, i-1 线性表示，求证： 1， 2，, m 线性无关17 在一通信渠道中，能传送字符 AAAA，BBBB，CCCC 三者之一，由于通信噪声干扰，正确接收到被传送字母的概率为 06，而接收到其他两个字母的概率均为 02，假设前后字母是否被歪曲互不影响18 求收到字符 ABCA
7、 的概率；19 若收到字符为 ABCA，问被传送字符为 AAAA 的概率是多大?20 一男子到闹市区去，他遇到背后袭击并被抢劫，他断言凶手是个白人，然而当调查这一案件的法院在可比较的光照条件下多次重复展现现场情况时，受害者正确识别袭击者种族的次数约占 80，袭击者确实是白人的概率是 08 吗?试给出说明考研数学三（微积分）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 向量组 1， 2，, s 的秩为 r 的定义是： 1， 2，, s 中存在 r 个向量线性无关，而任意 r+1 个向
8、量线性相关,若向量组 1， 2，, s 线性无关，则r=s，故选项 A 不成立；向量组 1， 2，, s 的秩为 r，只要求存在 r 个向量线性无关，并不要求任意 r 个向量线性无关，更不要求任意小于 r 个向量组成的向量组线性无关.【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【知识模块】 微积分4 【正确答案】 A【知识模块】 微积分5 【正确答案】 B【知识模块】 微积分6 【正确答案】 C【知识模块】 微积分7 【正确答案】 C【知识模块】 微积分8 【正确答案】 B【知识模块】 微积分9 【正确答案】 B【知识模块】 微积分10 【正确答案】 D【知识模块】 微积分11 【正确答案】 D【
9、知识模块】 微积分二、填空题12 【正确答案】 -5/13【知识模块】 微积分13 【正确答案】 -4【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 微积分14 【正确答案】 1， 2， 3 为一个极大无关组，且 4=-(3/2)1+(1/2)2-(3/2)3;【知识模块】 微积分15 【正确答案】 1， 2， 4 为一个极大无关组，且3=31+2+04， 5=21+2+04;【知识模块】 微积分16 【正确答案】 1， 2， 3 是极大线性无关组，且 4=(2/3)1+(1/3)2+3， 5=-(1/3)1+(1/3)2【知识模块】 微积分17 【正确答案
10、】 用定义证明假设存在一组数 k1，k 2，,k m 使得 k11+k22+kmm=， 若 k1，k 2，k m 全为零，显然 1， 2，, m 线性无关；若 k1，k 2，,k m 不全为零，对 k1，k 2，,k m 从右向左看，设第一个不为零的数为ki，即 ki0，k i+1=0，k m=0，于是有 k11+k22+kii=若 i=1，则 k11=，从而 1=，与 1 矛盾；若 i1，则 i=-(1/ki)(k11+k22+ki-1i-1)，与每一个向量 i(i1)都不能由 1， 2， i-1 线性表示矛盾，因此，k 1，k 2，,k m 必须全为零，这说明 1， 2，, m 线性无关【
11、知识模块】 微积分【知识模块】 微积分18 【正确答案】 设事件 A(B 或 C)分别表示“传送的字符为 AAAA(BBBB 或CCCC)”，事件 D 表示“收到字符 ABCA”，于是有 P(A)=P(B)=P(C)=1/3， P(D|A)=06 202 2， P(D|B)=060 2 3， P(D|C)=0 602 3， 故有 P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C) =1/306 202 2+1/30602 3+1/30602 3 =0008 ；【知识模块】 微积分19 【正确答案】 P(A|D)=P(A)P(D|A)/P(D)=(1/30.6 20.22)/0.008=06【知识模块】 微积分20 【正确答案】 不对如果调查中白人与其他种族的人数分别占 60和 40，且在袭击者为白人的条件下，受害者正确识别的概率为 70；在袭击者为其他种族的条件下，受害者正确识别的概率为 95，则利用全概率公式可得受害者的正确识别袭击者种族的次数占 80但在受害者正确识别的前提下，袭击者确为白人的概率只有 0525(计算可用贝叶斯公式)【知识模块】 微积分
