1、考研数学三（微积分）模拟试卷 51 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f(x)一 ln|x 一 1|的导数是 ( )2 函数 y=xx 在区间 上 ( )3 设函数 f(x)在 x=0 处连续，且 =1，则 ( )（A）f(0)=0 且 f-(0)存在（B） f(0)=1 且 f-(0)存在（C） f(0)=0 且 f+(0)存在（D）f(0)=1 且 f+(0)存在4 设函数 f(x)与 g(x)在(a，b)上可导，考虑下列叙述：(1)若 f(x)g(x) ，则 f(x)g(x)；(2)若 f(x)g(x)，则 f(x)g(x) 则 ( )（
2、A）(1)，(2)都正确（B） (1)，(2)都不正确（C） (1)正确，但(2)不正确（D）(2)正确，但 (1)不正确5 设 其中 f(x)在 x=0 处可导， f(0)0，f(0)=0 ，则 x=0 是F(x)的 ( )（A）连续点（B）第一类间断点（C）第二类间断点（D）连续点或间断点不能由此确定6 设 f(x)有连续的导数，f(0)=0，f(0)0 ，F(x)=(x 2 一 t2)f(t)dt，且当 x0 时， F(x)与 xk 是同阶无穷小，则 k 等于 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）47 曲线 的渐近线有 ( )（A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4 条8 在
3、区间0 ，8 内，对函数 f(x)= ，罗尔定理 ( )（A）不成立（B）成立，并且 f(2)=0（C）成立，并且 f(4)=0（D）成立，并且 f(8)=0二、填空题9 设曲线 y=ax3+bx2+cx+d 经过( 一 2，44)，x=-2 为驻点，(1，一 10)为拐点，则a，b， c，d 分别为_ 10 p(x)为二次三项式，要使得 ex=p(x)+o(x2)(x0)，则 p(x)=_11 设函数 y=y(x)由方程 ex+y+cos xy=0 确定，则 = _ 12 y=sin4x+cos4x，则 y(n)= _ (n1)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 求函数
4、的导数14 设曲线 f(x)=xn 在点(1，1)处的切线与 x 轴的交点为(x n，0)，计算15 讨论方程 axex+b=0(a0)实根的情况16 设 0k1，f(x)=kxarctan x证明：f(x) 在(0 ，+)中有唯一的零点，即存在唯一的 x0(0，+)，使 f(x1)=017 已知18 设 y= (a0，b0)，求 y19 设 y=exsinx，求 y(n)20 防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图 121)，截面的面积为 5 平方米，问底宽 x 为多少时才能使建造时所用的材料最省?21 设 f(x)可导，证明：f(x)的两个零点之间一定有 f(x)+f(x)的零点22 设函数
5、f(x)在a，b上连续，在(a，b) 上可导且 f(A)f(b)证明：存在， (a，b)，使得22 设 f(x)为a，b上的函数且满足 ，x1，x 2a，b，则称 f(x)为 a，b上的凹函数，证明：23 若 f(x)在a，b上二阶可微，且 f“(x)0，则 f(x)为a，b上的凹函数；24 若 f(x)为a，b上的有界凹函数，则下列结论成立： 0，1，f(x 1+(1-)x2)f(x1)+(1-)f(x2)，x 1， x2a，b；f(x)为(a， b)上的连续函数25 求函数 f(x)一 nx(1 一 x)n 在0，1上的最大值 M(n)及 limM(n)26 设 =1，且 f“(x)0证明
6、：f(x)x27 设 f(x)在(a，b)内可导，满足(1) (2)f(x)+f2(x)+10， (a，b)求证：ba28 利用导数证明：当 x1 时，28 设 x(0，1)，证明下面不等式：29 (1+x)ln2(1+x)x 2；30 31 求使不等式 对所有的自然数 n 都成立的最大的数 和最小的数 32 证明：当 0a b 时，bsin b+2cos b+nbasin a+2cos a+a33 某集邮爱好者有一个珍品邮票，如果现在(t=0)就出售，总收入为 R0 元，如果收藏起来待来日出售，t 年末总收入为 R(t)=R0e(t)，其中 (t)为随机变量，服从正态分布 ，假定银行年利率为
7、 r，并且以连续复利计息，试求收藏多少年后，再出售可使得总收入的期望现值最大，并求 r=006 时，t 的值考研数学三（微积分）模拟试卷 51 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 应当把绝对值函数写成分段函数，即得(B)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 y=x x(ln x+1)，令 y=0，得 x= ，y0，函数单调增加，故选(D) 【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在 x=0 处连续，【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 考虑 f(x)=e-x 与 g
8、(x)=e-x，显然 f(x)g(x)，但 f(x)=-e-x，g(x) =e-x，f(x)g(x) ，(1)不正确。将 f(x)与 g(x)交换可说明(2)不正确【知识模块】 微积分5 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 C【试题解析】 用洛必达法则，所以 k=3，选(C) 。其中洛必达法则的使用逻辑是“右推左”，即右边存在(或为无穷大)，则左边存在(或为无穷大)，本题逻辑上好像是在“左推右”，事实上不是，因为 存在，即最右边的结果存在，所以洛必达法则成立【知识模块】 微积分7 【正确答案】 B【试题解析】 曲线 y=f(x)无斜渐近线【知识模块】 微积分8
9、【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在0 ，8上连续，在(0，8)内可导，且 f(x)=f(8)，故 f(x)在0，8上满足罗尔定理条件 得 f(4)=0，即定理中 可以取为 4【知识模块】 微积分二、填空题9 【正确答案】 1，一 3，一 24，16【试题解析】 解方程可得a=1，b=-，C=一 24，d=16【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试题解析】 设 p(x)=ax2+bx+c，由题意知，当 x0 时，e x 一 p(x)=0(x2)，于是 p(x)= +x+1【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【试题解析】 方程两边同时对 x 求导，可得【知识模块】 微积分12
10、 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 由导数几何意义，曲线 f(x)=xn 在点 (1，1) 处的切线斜率 k=f(1)=nxn-1|x=1=n，所以切线方程为 y=1+n(x 一 1)，令 y=1+n(x 一 1)=0 解得 xn=1- ，因此【知识模块】 微积分15 【正确答案】 令 f(x)=axex+b，因为 =+，求函数 f(x)=axex+b 的极值，并讨论极值的符号及参数 b 的值 f(x)=ae x+axex=aex(1+x)，驻点为 x=-1， f(x)=
11、2ae x+axex=aex(2+x)， f“( 一 1)0，所以，x=-1 是函数的极小值点，极小值为 (1)当 (0) 时，函数 f(x)无零点，即方程无实根；(2)当 (0)时，函数 f(x)有一个零点，即方程有一个实根；(3)当 0b 时，函数 f(x)有两个不同的零点，即方程有两个不同的实根；(4)当 b0 时，函数 f(x)有一个零点，即方程有一个实根【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 两边取对数【知识模块】 微积分19 【正确答案】 y=e xsin x+cos x.ex=归纳可得：y (n)=【
12、知识模块】 微积分20 【正确答案】 设截面周长为 S，矩形高为 y，则故唯一极值可疑点为 由问题的实际意义知，截面周长必有最小值，并且就在此驻点处取得，因此当底宽为 2367 米时，截面的周长最小，因而所用材料最省【知识模块】 微积分21 【正确答案】 构造辅助函数 F(x)=f(x)ex，由于 f(x)可导，故 F(x)可导，设 x1 和x2 为 f(x)的两个零点，且 x 1x 2，则 F(x)在x 1，x 2上满足罗尔定理条件，由罗尔定理，至少存在一点 (x1，x 2)，使得 F()=0，即 f()e+f()e=ef()+f()=0 由于 e0，因此必有 f()+f()=0【试题解析】
13、 f(x)的两个零点 x1，x 2(不妨设 x1x 2)之间有 f(x)+f(x)的零点问题，相当于在(x 1，x 2)内有 f(x)+f(x)=0 的点存在的问题若能构造一个函数 F(x)，使F(x)=f(x)+ f(x)(x)，而 (x)0，则问题可以得到解决由(e x)=ex 可以得到启发，令 F(x)=f(x)ex【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由拉格朗日中值定理知 f(b)一 f(A)=f()(b 一 a)，又由柯西中值定理知【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分23 【正确答案】 由于 x，x 0a，b，有 f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+ (x)(xx0)2
14、f(x 0)+f(x0)(x 一 x0)，在上式中分别取 x=x1，x=x 2，x 0= ，得到上述两式相加即得证【知识模块】 微积分24 【正确答案】 先证(i) 由 (1)有 f(x)f(x0)+f(x0)(xx0)，分别取 xx1，x=x 2，x 0一 x1+(1 一 )x2，得到 f(x 1)f(x0)+(1 一 )f(x0)(x1 一 x2)， f(x2)f(x0)+f(x0)(x2一 x1) +(1 一 )得 f(x 1)+(1)f(x2)f(x0)一 f(x1+(1 一 )x2)得证 (i)可写成 由归纳法即可得证(iii) ，这里略去(iii)中令 i= ，i=1，n，即得证(
15、ii)再证(iv) a，b，设 G 为|f(x)|的上界，取绝对值充分小的 ，mn，使得 x 1=x2=xm=x+n，x m+1=xn=x由(ii)知令 0，则 n，故有 f(x+)一 f(x)0，从而证明了 f(x)的连续性【知识模块】 微积分25 【正确答案】 容易求得 f(x)=n1 一(n+1)x(1 一 x)n-1，f“(x)=n 2(n+1)x 一 2(1 一x)n-2【知识模块】 微积分26 【正确答案】 得 f(0)=0，f(0)=1因 f(x)二阶可导，故 f(x)在x=0 处的一阶泰勒公式成立，因 f“(x)0，故 f(x)x，原命题得证【知识模块】 微积分27 【正确答案
16、】 x 2(a，b)，对函数 arctanf(x)在x 1，x 2上用拉格朗日中值定理，便知 (x1，x 2)，使得【知识模块】 微积分28 【正确答案】 设 f(x)=(1+x)ln(1+x)一 xln x，有 f(1)=2ln 20由0(x0)知，f(x) 单调递增，且当 x1 时， f(x) f(1)=2ln 20，ln x0，从而得 ，其中 x1【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分29 【正确答案】 令 (x)=x2 一(1+x)ln 2(1+x)，有 (0)=0，且 (x)=2xln 2(1+x)一2ln(1+x)，(0)=0当 x(0，1)时， 知 (x)单调递增，从而 (x)
17、(0)=0，知 (x)单调递增，则 (x)(0)=0，即(1+x)ln 2(1+x)x 2【知识模块】 微积分30 【正确答案】 令由(1)得，当 x(0，1)时 f(x)0，知 f(x)单调递减，从而 f(x)f(1)= 又因为当x(0，1)时，f(x)0，知 f(x)单调递减，且 f(x)f(0 +)= 所以【知识模块】 微积分31 【正确答案】 已知不等式等价于令g(x)=(1+x)ln2(1+x)一 x2，x0，1 ，则 g(0)=0，且 g(x)=ln2(1+x)+2ln(1+x)一2x，g(0)=0， 故 g(x)在0，1上严格单调递减，所以 g(x)g(0)=0同理，g(x)在0
18、，1上也严格单调递减，故 g(x) g(0)=0，即(1+x)ln 2(1+x)一 x20，从而 f(x)0(0x1)，因此 f(x)在 (0，1上也严格单调递减令 x= ，f(x) ，有故使不等式对所有的自然数 n 都成立的最大的数【知识模块】 微积分32 【正确答案】 令 F(x)=xsin z+2cos x+x，只需证明 F(x)在(0，) 上单调递增F(x)=sin x+xcos x 一 2sin x+=+xcosxsin x，由此式很难确定 F(x)在(0，)上的符号，为此有F“(x)=-xsin x0，x(0，) ，即函数 F(x)在(0 ，)上单调递减，又 F()=0，所以F(x)0，x(0，)，于是 F(6)F(a) ，即bsin b+2cos b+basin a+2cos a+a【知识模块】 微积分33 【正确答案】 由连续复利公式，t 年末售出总收入 R 的现值为：A(t)=R.e -rt于是 A(t)=R0 e(t)e-rt=R0e(t)-rt，【知识模块】 微积分
