1、考研数学三（微积分）模拟试卷 54 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 Ik=0ksin cdx(k=1，2 ，3) ，则有 ( )（A）I 1I 2 I3（B） I3I 2I 1（C） I2I 3I 1（D）I 2I 1 I32 设 f(x)在a ，b上非负，在(a，b) 内 f“(x)0，f(x)0I 1= ，I 2=abf(x)dx，I 3=(b-a)f(b)，则 I1、I 2、I 3 的大小关系为 ( )（A）I 1I2I3（B） I2I3I1（C） I1I3I2（D）I 3I2I13 设 f(x)连续，则在下列变上限积分中，必为偶函数的是
2、 ( )（A） 0xtf(t)+f(一 t)dt（B） 0xf(t)一 f(一 t)dt（C） 0xf(t2)dt（D） 0xf2(t)dt4 设 F(x)=xx+ esintsin tdt，则 F(x) ( )（A）为正常数（B）为负常数（C）恒为零（D）不为常数5 抛物线 y2=2x 与直线 y=x 一 4 所围成的图形的面积为 ( )（A）（B） 18（C）（D）8二、填空题6 若 f(x)dx=F(x)+C 且 x=at+b(a0)，则 f(t)dt=_7 已知函数 F(x)的导数为 =0，则 F(x)=_8 =_9 设 f(x)连续，f(0)=1，则曲线 y=01f(x)dx 在(0
3、，0)处的切线方程是_10 设曲线 y=f(x)与 y=0arctanx e-t2dt 在原点处有相同切线，则=_11 抛物线 y2=ax(a0)与 x=1 所围面积为 ，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 求不定积分13 设 ，计算f(x)dx13 求下列积分：14 15 16 17 18 19 20 21 求22 计算 0xf(t)g(x 一 t)dt(x0)，其中，当 x0 时，f(x)=x，而23 计算 In=-11(x21)ndx24 求不定积分25 设 f(x)是以 T 为周期的连续函数证明： 0xf(t)dt 可以表示为一个以 T 为周期的函数 (x
4、)与 kx 之和，并求出此常数 k，26 设 xOy 平面上有正方形 D=(x，y)|0x1 ，0y1及直线 l：x+y=t(t0) 若 S(t)表示正方形 D 位于直线 l 左下方部分的面积，试求 0xS(t)出(x0)27 设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1，区间 0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S2，并设 2S1S 2 恒为1，求此曲线 y=y(x)的方程28 计算不定积分29 直线 y=x 将椭圆 x2+3y2=6y 分
5、为两块，设小块面积为 A，大块面积为 B，求的值30 设函数 f(x)有连续导数，F(x)= 0x f(t)f(2at)dt。证明： F(ga)-2F(A)=f 2(A)-f(0)f(2a)31 设 ，x(0，1 ，定义 A(x)=0x f(t)dt，令试证：考研数学三（微积分）模拟试卷 54 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 首先，由 I2=I1+2ex2sin xdx 及 2ex2sin xdx0 可得 I2I 1 其次，I3=I1+3ex2sin xdx，其中 3ex2sin xdx=2ex2sin xdx+23ex
6、2sin xdx =2ex2sin xdx+2e(y+)2sin(y+)dy =2ex2-(e(x+)2sin xdx0 ， 故 I3I 1，从而 I2I 1I 3，故选(D)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 如图 131 所示，I 1 是梯形 AabB 的面积， I 2 是曲边梯形 AabB的面积，I 3 是长方形 A1abB 的面积。由于 f(x)0，f“(x)0，y=f(x) 单调减少且图形为凹。由图 131 可知 I3I2I1【知识模块】 微积分3 【正确答案】 A【试题解析】 奇函数的原函数是偶函数(请读者自己证之，但要注意，偶函数 f(x)的原函数只有 x0f(
7、t)dt 为奇函数，因为其它原函数与此原函数只差一个常数，而奇函数加上一个非零常数后就不再是奇函数了)，选项(A)中被积函数为奇函数，选项(B)，(C)中被积函数都是偶函数，选项 (D)中虽不能确定为偶函数，但为非负函数，故变上限积分必不是偶函数，应选(A)。【知识模块】 微积分4 【正确答案】 A【试题解析】 因 esin x sinx 是以 2 为周期的周期函数，所以xx+2esintsintdt=02esintsintdt 02esintcos2tdt 又 esinxcos2x0，故选(A) 【知识模块】 微积分5 【正确答案】 B【试题解析】 选积分变量为 y(如图 132)， 两条曲
8、线的交点【知识模块】 微积分二、填空题6 【正确答案】 F(t)+C ，其中 C 为任意常数【试题解析】 因 F(x)=f(c)，故 F(t)=f(t)，于是f(t)dt=F(t)+C【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 由题意【知识模块】 微积分8 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 y=x【试题解析】 曲线在(0，0)处切线斜率 k=y|x=0=0xf(t)dt|x=0=f(0)=1所以曲线在(0，0)处，切线方程为 y=x【知识模块】 微积分10 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 1【试题
9、解析】 y 2=ax 与 x=1 所围面积【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 设【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点是不定积分的分部积分法，关键是选好 u 和d。【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【试题解析】 本题考查典型的有理函数的不定积分，首先凑微分，然后将分母配方【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【试题解析】 因 x=一(1 一 x)一 1，从而可用凑微分法【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【试题解析】 本题考查定积分的性质
10、和定积分的计算，由于是对称区间上的定积分，一般利用奇函数，偶函数在对称区间上积分性质简化计算，本题还用到了华里士公式【知识模块】 微积分18 【正确答案】 用分部积分法【知识模块】 微积分19 【正确答案】 由于(xln x)1lnx，分子分母同时除以【知识模块】 微积分20 【正确答案】 用牛顿一莱布尼茨公式，令 t=tan x，则 x=arctant，dx= ，则当 t一 1，0时，x=arctant 之值不落在原积分区间 上将积分区间拆开，【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 由分部积分可得 In=x(x2
11、 一 1)n|-11 一 2n-11 x2(x2-1)n-1dx=-2n-11(x2-1)ndx 一 2n-11(x21)n-1dx=-2nIn 一 2nIn-1， 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 令 (x)=0x f(t)dt 一 kx，考察 (x+T)一 (x)=0x+Tf(t)dt 一 k(x+T)一0xf(t)dt+kx =0Tf(t)dt+Tx+Tf(t)dt 一 0xf(t)dt 一 kT 对于其中的第二个积分，作积分变量代换，令 t=u+T，有 Tx+Tf(t)dt=0xf(u+T)du=0xf(u)du， 于是 (x+T)一 (x
12、)=0Tf(t)dtkT可见，(x) 为 T 周期函数的充要条件是 其中 (x)为某一周期为 T 的函数【知识模块】 微积分26 【正确答案】 当 x2 时，0xS(t)dt=02 S(t)dt+2xS(t)dt 一 x1【知识模块】 微积分27 【正确答案】 曲线 y=y(x)上点 g(x，y)处的切线方程为 Yy=y(Xx)它与 x轴的交点为 由于 y(x)0，y(0)=1，从而 y(x)0，于是又 S2=0xy(t)dt，由条件 2S1 一 S2=1 知两边对 x 求导并化简得yy“=(y)2，令 p=y，则上述方程可化为 从而=C1y，于是 y=eC1x+C2注意到 y(0)=1，并由
13、 式得y(0)=1由此可得 C1=1，C 2=0，故所求曲线的方程是 y=ex【知识模块】 微积分28 【正确答案】 【知识模块】 微积分29 【正确答案】 直线与椭圆的交点为(0，0)， ，则【知识模块】 微积分30 【正确答案】 F(2a) 一 2F(a)一 02af(t)f(2a 一 t)dt 一 20af(t)f(2at)dt =02af(t)f(2at)dt0af(t)f(2at)dt，其中 02af(t)f(2at)dt=f2(a)一 f(0)f(2a)+a2af(2at)f(t)dt，所以 原式=f 2(a)一 f(0)f(2a)+a2a f(2at)f(t)dt0af(t)f(2at)dt，又 a2af(2a 一 t)f(t)dt0af(u)f(2a 一 u)du 一 0af(t)f(2a 一 t)dt，所以， F(2a)一 2F(a)一 f2(a)一f(0)f(2a)【知识模块】 微积分31 【正确答案】 容易证明： 当 t(0，1 时， 1n(1+t)t ，ln(1+t) ，t(0，1 (1)当 x(0，1时，由可得【知识模块】 微积分
