1、考研数学三（微积分）模拟试卷 55 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 积分 = ( )2 设函数 f(x)在a，b上可积，(x)= axf(t)dt，则 (x)在a，b上 ( )（A）可导（B）连续（C）不可导（D）不连续3 设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0则方程 0xf(t)dt + =0 在(a，b)内的根有 ( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）无穷多个4 设 f(x)是以 l 为周期的周期函数，则 a+kla+(k+1)lf(x)dx 之值 ( )（A）仅与 a 有关（B）仅与 a 无关（C）与 a 及 k 都无关
2、（D）与 a 及 k 都有关二、填空题5 =_6 积分 =_7 =_8 =_9 设 则 -20f(x+1)dx=_10 =_ (a 为常数，n 为自然数)11 设 f(x)有一个原函数 =_12 设 y=y(x)，若 =-1，y(0)=1，且 x+时，y0，则y=_13 曲线 y=x2 与直线 y=x+2 所围成的平面图形的面积为 _14 由曲线 y=x3，y=0 及 x=1 所围图形绕 x 轴旋转一周得到的旋转体的体积为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知 f(x)的一个原函数为(1+sin x)ln x，求xf(x)dx16 求17 求17 计算下列积分：18 -
3、12xmax1，e -x dx，其中，x 表示不超过 x 的最大整数19 03(|x 一 1|+|x 一 2|)dx20 设 求 13 f(x-2)dx21 已知 求 2n2n+2 f(x 一 2n)e-xdx，n=2，3，22 设 f(sin2x)=23 已知 f(x)连续 0x tf(xt)dt=1 一 cos x，求 f(x)dx 的值24 计算 01xxdx25 求不定积分(arcsin x)2dx26 求27 设 f(x)在0，+)上连续，0ab，且 收敛，其中常数 A0证明：28 计算不定积x|sinx|dx(x0)，其中x 表示不大于 x 的最大整数29 设 f(x)= ，求曲线
4、 y=f(x)与直线 y= 所围成平面图形绕Ox 轴旋转所成旋转体的体积30 f(x)在0，1上有连续导数，且 f(0)=0，证明：存在 0，1，使得 f()=2 01 f(x)dx31 设 f(x)在0，1上连续， (0，1)内可导，且 f(0).f(1)0，f(1)+ 01 f(x)dx=0试证：至少存在一点 (0，1)，使 f()=f()32 设出售某种商品，已知某边际收益是 R(x)=(10x)e-x，边际成本是 C(x)=(x2 一4x+6)e-x，且固定成本是 2，求使这种商品的总利润达到最大值的产量和相应的最大总利润考研数学三（微积分）模拟试卷 55 答案与解析一、选择题下列每题
5、给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 当 f(x)在a，b 上连续时，(x)= axf(t)dt 在a，b上可导如果 f(x)只在a ，b上可积，则只能保证 (x)在a，b上连续【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 令 故F(x)在(a，b)内有根又 F(x)=f(x)+ 0，所以 F(x)单调增加，它在(a，b) 内最多只有一个根，应选(B)【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)是以 l 为周期的周期函数，所以 a+kla+(k+1)lesint f(x
6、)dx=kl(k+1)lf(x)dx=0l f(x)dx，故此积分与 a 及 k 都无关【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 +C，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 ，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 +C，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 此极限属 型，用洛必达法则【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 作定积分换元 x+1=t，【知识模块】 微积分10 【正确答案】 0【试题解析】 显然 积分难以积出考虑积分中值定理，其中 x 介于 x 与
7、x+a 之间。所以【知识模块】 微积分11 【正确答案】 一 2+2+6【试题解析】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 e -x【试题解析】 由已知得【知识模块】 微积分13 【正确答案】 4.5【试题解析】 平面图形面积【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 该旋转体体积【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由于xf(x)dx 一 xf(x)一f(x)dx ，又由于(1+sin x)ln x 为 f(x)的一个原函数，【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 设 x=tanu，则 d
8、x=see2udu，【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分18 【正确答案】 因分段函数则由定积分的分段可加性得 -12xmax1，e -x)dx=-10(一 1)e-xdx+010dx+121dx=2 一 e【知识模块】 微积分19 【正确答案】 因分段函数则由定积分的分段可加性得 03(|x 一 1|+|x-2|)dx=01(3 一 2x)dx+12dx+23(2x 一 3)dx=5【知识模块】 微积分20 【正确答案】 令 t=x 一 2，则由定积分的分段可加性得，【知识模块】 微积分21 【正确答案】 令 t=x 一 2n，则由定积分的分段可加性与分部积分得， 2n2n+2f(x一
9、2n)e-xdx=02f(t)e-t-2ndt =e-2n01te-tdt =e-2n12(2-t)e-tdt =(1 一 e-1)2e-2n【知识模块】 微积分22 【正确答案】 令 u=sin2x，则有【知识模块】 微积分23 【正确答案】 令 x 一 t=u，有 0xtf(x-t)dt=0x(x 一 u)f(u)du于是 x0xf(u)一 0xuf(u)du=1 一 cos x两边对 x 求导，得 0xf(u)d=sin x在上式中，令【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 由 因 (x)为连续的周期函数，故
10、 (x)在(一，+) 上有界，从而【知识模块】 微积分27 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分28 【正确答案】 设原函数为 F(x)，分别求出在区间 0，1)，1，2)，2，3)，x，x)上满足 F(0)=0 的原函数 F(x)的增量如下： 在0 ，1)上，0.sin xdx=C 1 F(1)一 F(0)=0；【知识模块】 微积分29 【正确答案】 先求 f(x)的表达式，注意到函数 ex 在 x+与 x一 的极限，可知【知识模块】 微积分30 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上连续，所以 f(x)在0，1上有最小值和最大值，设为 m，M ，即有 x1，x 20，1，使
11、f(x1)=m，f(x 2)=M 由中值定理，对任意x0，1，存在 (0，x)，使 f(x)=f(x)一 f(0)=f()x，于是有 f(x 1)x=mxf(x)=f(x)一 f(0)=f()xMx=f(x2)x，积分得 f(x1)01xdx01f(x)dxf(x2)01xdx，即 f(x1)01f(x)dx f(x1)，即 f(x1)2 01 f(x)dxf(x2) 因为 f(x)在0，1上连续，由介值定理，必有 x1，x 2 0，1，或 x1，x 1 0，1，使 f()=201f(x)dx【知识模块】 微积分31 【正确答案】 令 F(x)= f(x)，f(1)+ 01 f(x)dx=f(
12、1)+f(c)=0，c (0，1) 由此可知 f(c)0，否则 f(1)=0，与题设 f(0)f(1)0 矛盾，不妨设 f(c)0，则 f(1)0， f(0)0 由连续函数的零点定理知存在 a(0，c)，b (c ，1) ，使 f(A)=f(b)=0，即 F(A)=F(b)，由罗尔定理可知，存在 (a，b)，使 F()=0，即 故 f()=f()【知识模块】 微积分32 【正确答案】 R(x)= 0x R(t)dt 一 0x (10t)e-tdt 一 9 一(9 一 x)e-x， c(x)=c(0)+0xC(t)dt=2+0x (t24t+6)e-tdt 一 6 一(x 22x+4)e-x 于是利润 L=RC=3+(x2 一 x一 5)e-x 令 L(x)=0 得：x 0=4(x0)，且 L“(4)=-5e-40 可知 L(x)在 x=4 时有极大值，也就是最大值，且 L(4)=3+7e-4【知识模块】 微积分
