1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 55及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机变量 XN(， 2 )，则 P(X2)( )（分数：2.00）A.与 及 2 都无关B.与 有关，与 2 无关C.与 无关，与 2 有关D.与 及 2 都有关3.设(X，Y)服从二维正态分布，则下列说法不正确的是( )（分数：2.00）A.X，Y 一定相互独立B.X，Y 的任意线性组合 l 1 Xl 2 Y服从正态分布C.X，Y 都服从正态分布D.0 时 X，Y 相互
2、独立4.设随机变量 XF(m，n)，令 PXF a (m，n)(01)，若 P(Xk)a，则 k等于( )（分数：2.00）A.F a (m,n)B.F 1a (m,n)C.D.5.连续独立地投两次硬币，令 A 1 第一次出现正面)，A 2 第二次出现正面)，A 3 两次中一次正面一次反面，A 4 两次都出现正面，则( )（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立B.A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立C.A 2 ，A 3 ，A 4 相互独立D.A 2 ，A 3 ，A 4 两两独立6.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0， )，YN(1， （分数：2.00）A.XYB.X
3、YC.X2YD.Y2X二、填空题(总题数：9，分数：18.00)7.设 P(A)06，P(B)05，P(AB)04，则 P(BA) 1，P(AB) 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_8.设随机变量 X的分布律为 X （分数：2.00）填空项 1:_9.设离散型随机变量 X的分布函数为 （分数：2.00）填空项 1:_10.设随机变量 X在1，2上服从均匀分布，随机变量 Y （分数：2.00）填空项 1:_11.设 D(X)1，D(y)9， XY 03，则 Cov(X，Y) 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 UN(，1),V 2 (n)，且 U，V 相互独立，则 T （分
4、数：2.00）填空项 1:_13.一批产品中一等品、二等品、三等品的比例分别为 60，30，10，从中任取一件结果不是三等品，则取到一等品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 X，Y 为两个随机变量，且 P(X0，Y0) ，P(X0)P(Y0) （分数：2.00）填空项 1:_15.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的样本，S 2 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.10件产品有 3件次品，7 件正品，每次从中任取 1件，取后不
5、放回，求下列事件的概率：(1)第三次取得次品； (2)第三次才取得次品；(3)已知前两次没有取到次品，第三次取得次品； (4)不超过三次取到次品（分数：2.00）_18.设 XN(， 2 )，其分布函数为 F(x)，对任意实数 a，讨论 F(a)F(a)与 1的大小关系（分数：2.00）_19.设 X在区间2,2上服从均匀分布，令 Y （分数：2.00）_20.设随机变量 X服从参数为 （分数：2.00）_21.设随机变量 X，Y 独立同分布，且 XN(0， 2 )，再设 UaXby，VaXby，其中 a，b 为不相等的常数求： (1)E(U)，E(V)，D(U)，D(V)， UV ； (2)
6、设 U，V 不相关，求常数 a，b 之间的关系（分数：2.00）_22.设总体 X的密度函数为 f(x，) （分数：2.00）_23.甲、乙两人独立对同一目标进行射击，命中目标概率分别为 60和 50(1)甲、乙两人同时向目标射击，求目标被命中的概率；(2)甲、乙两人任选一人，由此人射击，目标已被击中，求是甲击中的概率（分数：2.00）_24.设随机变量 XE()，令 Y （分数：2.00）_25.设 D(x，y)0x1，0y1)，所以变量(X，Y)在区域 D上服从均匀分布，令 Z （分数：2.00）_26.设随机变量(X，Y)在区域 D(x，y)0x2，0y1上服从均匀分布，令 （分数：2.
7、00）_27.设总体 XN(0，1)，(X 1 ，X 2 ，X m ，X m1 ，X mn )为来自总体 X的简单随机样本，求统 计量 （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 55答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机变量 XN(， 2 )，则 P(X2)( )（分数：2.00）A.与 及 2 都无关 B.与 有关，与 2 无关C.与 无关，与 2 有关D.与 及 2 都有关解析：解析：因为 P(X2)P(2X2)P(23.
8、设(X，Y)服从二维正态分布，则下列说法不正确的是( )（分数：2.00）A.X，Y 一定相互独立 B.X，Y 的任意线性组合 l 1 Xl 2 Y服从正态分布C.X，Y 都服从正态分布D.0 时 X，Y 相互独立解析：解析：因为(X，Y)服从二维正态分布，所以(B)，(C)，(D)都是正确的，只有当 0 时，X， Y才相互独立，选(A)4.设随机变量 XF(m，n)，令 PXF a (m，n)(01)，若 P(Xk)a，则 k等于( )（分数：2.00）A.F a (m,n)B.F 1a (m,n) C.D.解析：解析：根据左右分位点的定义，选(B)5.连续独立地投两次硬币，令 A 1 第一
9、次出现正面)，A 2 第二次出现正面)，A 3 两次中一次正面一次反面，A 4 两次都出现正面，则( )（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立B.A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立 C.A 2 ，A 3 ，A 4 相互独立D.A 2 ，A 3 ，A 4 两两独立解析：解析：P(A 1 )P(A 2 ) ，P(A 3 ) ， P(A 1 A 1 ) ，P(A 1 3 )P(A 1 ，P(A 2 3 ) 6.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0， )，YN(1， （分数：2.00）A.XYB.XY C.X2YD.Y2X解析：解析：ZYXN(1，1)，因为 XYN(1，1
10、)，XYN(1，1)， X2YN ，Y2XN二、填空题(总题数：9，分数：18.00)7.设 P(A)06，P(B)05，P(AB)04，则 P(BA) 1，P(AB) 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：03）填空项 1:_ （正确答案：09）解析：解析：因为 P(AB)P(A)P(AB)，所以 P(AB)02， 于是 P(BA)P(B)P(AB)050203， P(AB)P(A)P(B)P(AB)060502098.设随机变量 X的分布律为 X （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 cc 2 c 9.设离散型随机变量 X的分布函数
11、为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：X 的分布律为 X ，Y 的可能取值为 1，2，10， P(Y1)P(X0) ,P(Y2)P(X1) ，P(Y10)P(X3) ， 于是 Y的分布函数为10.设随机变量 X在1，2上服从均匀分布，随机变量 Y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：随机变量 X的密度函数为 f(x) 随机变量 Y的可能取值为1，0，1， P(Y1)P(X0) 1 0 ，P(Y0)P(X0)0， P(Y1)P(X0) ， Y 的分布律为 Y ，E(Y) ，E(Y 2 ) 1， 则 D(Y)E(Y 2 )E
12、(Y) 2 11.设 D(X)1，D(y)9， XY 03，则 Cov(X，Y) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：09）解析：解析：Cov(X，Y) XY 12.设 UN(，1),V 2 (n)，且 U，V 相互独立，则 T （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：Tt(n)）解析：解析：由 UN(，1)，得 UN(0，1)，又 U，V 相互独立，则13.一批产品中一等品、二等品、三等品的比例分别为 60，30，10，从中任取一件结果不是三等品，则取到一等品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 A i
13、所取产品为 i等品(i1，2，3)，P(A 1 )06，P(A 2 )03，P(A 3 )01， 所求概率为 P(A 1 A 1 A 2 ) 14.设 X，Y 为两个随机变量，且 P(X0，Y0) ，P(X0)P(Y0) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令X0A，(Y0)B，则有 P(AB) ，P(A)P(B) ，故 Pmax(X，Y)01Pmax(X，Y)01P(X0，Y0) 1P( )P(AB)P(A)P(B)P(AB)15.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的样本，S 2 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答
14、案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：12，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.10件产品有 3件次品，7 件正品，每次从中任取 1件，取后不放回，求下列事件的概率：(1)第三次取得次品； (2)第三次才取得次品；(3)已知前两次没有取到次品，第三次取得次品； (4)不超过三次取到次品（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A i 第 i次取到次品(i1，2，3) (实验还没用开始，计算前两次都取不到次品，且第三次取到次品的概率) (3)P(A 3 (已知前两次已发生的结果，唯一不确定的就是第三次) )解析：1
15、8.设 XN(， 2 )，其分布函数为 F(x)，对任意实数 a，讨论 F(a)F(a)与 1的大小关系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F(a)F(a) 则当 0 时，F(a)F(a)1； 当 0 时，F(a)F(a)1； 当 0 时，F(a)F(a)1 )解析：19.设 X在区间2,2上服从均匀分布，令 Y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 X在区间2，2上服从均匀分布，所以 (Y，Z)的可能取值为(1，1)，(1，1)，(1，1)，(1，1) P(Y1，Z1)P(X1，X1)P(X1) 2 1 P(Y1，Z1)P(X1，X1)0； P(Y1，Z1)P(X1，X
16、1)P(1X1) 1 1 P(Y1，Z1)P(X1，X1)P(X1) 1 2 (Y,Z)的联合分布律为 )解析：20.设随机变量 X服从参数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 YB(4，p)，其中 pP(X3)1P(X3)， 因为 XE ，所以 F X (x) )解析：21.设随机变量 X，Y 独立同分布，且 XN(0， 2 )，再设 UaXby，VaXby，其中 a，b 为不相等的常数求： (1)E(U)，E(V)，D(U)，D(V)， UV ； (2)设 U，V 不相关，求常数 a，b 之间的关系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)E(U)E(aXbY)0，E(
17、V)E(aXbY)0， D(U)D(V)(a 2 b 2 ) 2 Cov(U，V)Cov(aXbY，aXbY)a 2 D(X)b 2 D(Y)(a 2 b 2 ) 2 (2)U，V 不相关 UV 0 ab，由 ab )解析：22.设总体 X的密度函数为 f(x，) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 E(X)0， E(X 2 ) x 2 f(x,)dx 2 (3)2 2 ， 由 E(X 2 )A 2 ，得 的矩估计量为 L(x 1 ，x 2 ，x n ，) ，则lnL(x 1 ，x 2 ，x n ，)nln(2) x i ， 由 lnL(x 1 ，x 2 ，x n ，) x i 0
18、，得 的最大似然估计值为 x i ，则参数 的最大似然估计量为 )解析：23.甲、乙两人独立对同一目标进行射击，命中目标概率分别为 60和 50(1)甲、乙两人同时向目标射击，求目标被命中的概率；(2)甲、乙两人任选一人，由此人射击，目标已被击中，求是甲击中的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 A甲击中目标，B乙击中目标)，C击中目标，则 CAB， P(C)P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B) 0605060508 (2)设 A 1 选中甲，A 2 选中乙，B目标被击中，则 P(A 1 )P(A 2 ) ，P(BA 1 )06，P(BA 2
19、)05， )解析：24.设随机变量 XE()，令 Y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(XY0)P(YX)P(X1)P(X1)P(X1) P(X1)1P(X1)1F X (1)e F Y (y)P(Yy)P(Yy，X1)P(Yy，X1) P(Xy，X1)P(Xy，X1)P(Xy，X1) P(Xy，0X1)P(Xy，X1) 当 y1 时，F Y (y)P(Xy)e y ； 当1y0 时，F Y (y)P(X1)e ； 当 0y1时，F Y (y)P(Xy)P(X1)1e y e ； 当 y1 时，F Y (y)P(0X1)P(X1)1， )解析：25.设 D(x，y)0x1，0y1)
20、，所以变量(X，Y)在区域 D上服从均匀分布，令 Z （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)随机变量(X，Y)的联合密度为 U的分布函数为 F(x)PUx， 当x0 时，F(x)0； 当 x2 时，F(x)1； 当 0x1 时，F(x)XZxPZ0，Xx)PXY，Xx 0 x dx x 1 dy 0 x (1x)dxx ； 当 1x2 时，F(x)PZ0，Xx)P(Z1，Xx1 PXY，X1PXY，Xx1) 0 x1 dx 0 x dy (x1) 2 ， 故 U的分布函数为 F(x) (2)设(X，Z)的分布函数为 F(x，z)， )解析：26.设随机变量(X，Y)在区域 D(x，y
21、)0x2，0y1上服从均匀分布，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)P(XY) ，P(X2Y) ，P(YX2Y) ， (U,V)的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1) P(U0，V1)P(XY，X2Y)0； P(U1，V0)P(XY，X2Y)P(YX2Y) ； P(U0，V0)P(XY，X2Y)P(XY) ； P(U1，V1)1 (U，V)的联合分布律为 (2)由(1)得 UV ，则 Cov(U,V)E(UV)E(U)E(V) )解析：27.设总体 XN(0，1)，(X 1 ，X 2 ，X m ，X m1 ，X mn )为来自总体 X的简单随机样本，求统 计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
