1、考研数学三（微积分）模拟试卷 64 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知级数 条件收敛，则 ( )2 设 ，则级数 ( )3 下列命题中正确的是 ( )4 下列命题中错误的是 ( )5 对于级数 ，其中 um0(n=1，2，)，则下列命题正确的是 ( )6 下列结论正确的是 ( )7 设 0un ，则下列级数中一定收敛的是 ( )二、填空题8 函数 f(x)=ln(3+x)展开为 x 的幂级数为_9 幂级数 的收敛域为_10 设 的敛散性为_11 正项级数 收敛的充分必要条件为其部分和数列S n_12 幂级数 的收敛域为_13 ex 展开成(x 一
2、 3)的幂级数为_14 级数 当_时绝对收敛；当_时条件收敛；当_时发散15 若 在 x=一一 3 处为条件收敛，则其收敛半径 R=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 判断下列正项级数的敛散性：(1) (2) (3)17 设 都是正项级数，试证：(1)若 收敛；(2)若 收敛；(3)若都收敛；(4)若 收敛。18 证明：级数 条件收敛19 设 u1=2， un+1= 收敛20 试判断级数 的敛散性21 设 (1)求证：若 b1，则发散；(2)当 b=1 时，试举出可能收敛也可能发散的例子22 根据阿贝尔定理，已知 在某点 x1(x1x0)的敛散性，证明该幂级数的收敛半径可
3、分为以下三种情况：(1)若在 x1 处收敛，则收敛半径 R|x1 一x0|；(2)若在 x1 处发散，则收敛半径 R|x1 一 x0|；(3)若在 x1 处条件收敛，则收敛半径 R=|x1 一 x0|23 设幂级数 在 x=0 处收敛，在 x=2b 处发散，求幂级数 的收敛半径 R 与收敛域，并分别求幂级数 的收敛半径24 将 y=sin x 展开为 的幂级数25 将 f(x)= 展开为(x+1) 的幂级数25 设 f(x)=26 将 f(x)展开为 x 的幂级数；27 分别判断级数 的敛散性28 设 an= 收敛，并求其和29 证明：30 求31 求级数32 求函数项级数 e-x+2e-2x
4、+，ne -nx+收敛时 x 的取值范围；33 当上述级数收敛时，求其和函数 S(x)，并求 ln2ln3S(x)dx34 设数列a n满足 a1=a2=1，且 an+1=an+an-1，n=2，3，证明：在 时幂级数 收敛，并求其和函数与系数 an34 设 y(x)=35 求 y(0)，y(0) ，并证明：(1 一 x2)y“一 xy=4；36 求 (2x)2n 一(|x|1)的和函数及级数 的值考研数学三（微积分）模拟试卷 64 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 设 ，则当 n时，|u n|的敛散性相同，故 而由条件收
5、敛可知 03 一 1，即 23 若使两个结论都成立，只有3，故选 (D)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 nu n n，所以 0u n 一 n n 一 n又因为收敛，因为只有当级数收敛时，才能比较其和的大小，所以不能选(A)；选项 (B)，(C) 将正项级数的结论用到了一般级数上，显然不对例如取级数 可以说明(B)不对，取级数 就可以说明(C)不对，选 (D)【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 由级数收敛的性质知命题(A)正确由反证法可知命题 (B)正确若设这两个级数都发散，但是收敛，可知命题(C
6、)正确，但命题(D) 错误【知识模块】 微积分5 【正确答案】 B【试题解析】 因|(一 1)n-1un|=|un|=un，由 绝对收敛，命题 (B)正确(A) 错误：如【知识模块】 微积分6 【正确答案】 C【试题解析】 由幂级数 在收敛域(一 R，R)的和函数性质可知，命题(C)正确 (A)错误：如 ，收敛域为(一 1，1，但在 x=1 处，条件收敛 (B)错误：因为可能 R=0 或 R=+ (D)错误：由幂级数的定义可知 不是幂级数【知识模块】 微积分7 【正确答案】 D【试题解析】 因 收敛，由正项级数的比较审敛法知 收敛，故 绝对收敛从而收敛，故选(D) (A) ，(C)错，如【知识
7、模块】 微积分二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 1，3)【试题解析】 令 y=x 一 2，则【知识模块】 微积分10 【正确答案】 发散【试题解析】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 有界(或有上界)【试题解析】 级数 收敛等价于S n收敛对于正项级数 为单调递增数列由数列极限存在准则与数列收敛的必要条件可知，单调递增数列S n收敛等价于S n有界( 或有上界 )【知识模块】 微积分12 【正确答案】 一 1，1【试题解析】 从而收敛区间为一 1，1【知识模块】 微积分13 【正确答案】 (其中一x+)【试题解析】 e x=e3+(x-3)=
8、e3.ex-3，因【知识模块】 微积分14 【正确答案】 p1；0p1；p0【试题解析】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 3【试题解析】 综上，由收敛半径的定义便有 R=3【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 所以，原级数的部分和数列S n收敛，从而级数收敛，所以，原级数条件收敛【知识模块】 微积分19 【正确答案】 由算术平均值不小于其几何平均值得即数列u n有下界 1，由此又得 un+1 一 un=(1 一 un2)0，即u n单调减少，则根据单调有界
9、准则知极限 必存在，由un单调减少知所考虑的级数为正项级数，且有【知识模块】 微积分20 【正确答案】 由于该级数的通项【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 根据阿贝尔定理，(1)(2)是显然的对于(3)，因幂级数 (x一 x0)n 在点 x1 处收敛，则 R|x1 一 x0|；另一方面，因幂级数 (xx0)n 在点 x1处条件收敛，则 R|x1 一 x0| 因若不然，则该点是绝对收敛，而不是条件收敛，这与题设矛盾于是，综合上述两方面得该幂级数的收敛半径 R=|x1 一 x0|【知识模块】 微积分23 【正确答案】 令 t=xb，收敛中心 x0=b 的
10、幂级数 an(x 一 b)n 化为收敛中心t0=0 的幂级数根据幂级数逐项求导、逐项积分所得幂级数的收敛半径不变的性质，即知它们的收敛半径都是 R=|b|【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 如果此题这样做：是行不通的，改用“先积后导” 的方法：【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分26 【正确答案】 把 f(x)作初等变换，并利用几何级数 |x|1，则f(x)展开为 x 的幂级数【知识模块】 微积分27 【正确答案】 根据幂级数展开式的唯一性得 f(x)在 x0=0 处的高阶导数【知识模块】 微积分28 【正确答案】 【知识模块】 微积分29 【正
11、确答案】 【知识模块】 微积分30 【正确答案】 【知识模块】 微积分31 【正确答案】 【试题解析】 本题考查无穷级数的求和，涉及逐项积分和逐项求导的恒等变形，是常规考题【知识模块】 微积分32 【正确答案】 该函数项级数的通项 u n(x)=ne-nx，u n+1(x)=(n+1)e-(n+1)x，当 x=0 时， 发散；当 x=0 时，该级数成为 1+2+n+，显然是发散的，所以该级数当 x0 时收敛于 S(x)【知识模块】 微积分33 【正确答案】 S(x)=e -x+2e-2x+ne-nx+ t+2t2+ntn+=t(1+2t+nn-1+)=t(t+t2+tn+)【知识模块】 微积分34 【正确答案】 (1)显然，a n是正项严格单调增加数列，且有a3=2，a 4=a2+a32aa 3=22，假设 an2 n-2，则有 an+1=an+an-12a n2 n-1，故由归纳法得 an2 n-2于是，所考虑的级数的通项有(2)原幂级数化为(3)【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分35 【正确答案】 【知识模块】 微积分36 【正确答案】 下面求解微分方程(1 一 x2)y“一 xy=4 首先，应该可以想到本题用“二阶可降阶 ”的方法，令 y=p，考生可以自练但是本题更好的做法如下：【知识模块】 微积分
