1、考研数学三（微积分）模拟试卷 67 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设二阶常系数齐次线性微分方程 y“+by+y=0 的每一个解 y(x)都在区间(0，+)上有界，则实数 b 的取值范围是 ( )（A）0 ，+)（B） (一，0（C） (-，4（D）(-，+)2 微分方程 y“一 6y+8y=ex+e2x 的一个特解应具有形式( 其中 a，b 为常数) ( )（A）ae x+be2x（B） aex+bxe2x（C） axex+be2x（D）axe x+bxe2x3 微分方程 y“一 4y+4y=x2+8e2x 的一个特解应具有形式(a，b，c ，d
2、 为常数) ( )（A）ax 2+bx+ce2x（B） ax2+bx+c+dx2e2x（C） ax2+bx+cxe2x（D）ax 2+(bx2+cx)e2x4 微分方程 y“+2y+y=sh x 的一个特解应具有形式 (其中 a，b 为常数) ( )（A）ashx（B） achx（C） ax2e-x+bex（D）axe -x+bex5 方程 y(4) 一 2y“一 3y“=e-3x 一 2e-x+x 的特解形式( 其中 a，b，c，d 为常数)是 ( )（A）axe -3x+bxe-x+cxe3（B） ae-3x+bxe-x+cx+d（C） ae-3x+bxe-x+cxe3+dx2（D）axe
3、 -3x+be-x+cx3+dx二、填空题6 设 y1=ex，y 2=x2 为某二阶齐次线性微分方程的两个特解，则该微分方程为_7 设 f(x)在( 一，+)内有定义，且对任意 x(一，+)，y(一，+) ，f(x+y)= f(x)ey+f(y)ex 成立，且 f(0)存在等于 a，a0，则 f(x)=_8 微分方程 y“-4y=e2x 的通解为 y=_9 微分方程(6x+y)dx+xdy=0 的通解是_10 微分方程的通解_包含了所有的解11 微分方程 y“一 7y=(x 一 1)2 由待定系数法确定的特解形式(系数的值不必求出)是_12 微分方程(1 一 x2)y 一 xy=0 满足初值条
4、件 y(1)=1 的特解是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 已知 yy(x)是微分方程(x 2+y2)dy 一 dy 的任意解，并在 y=y(x)的定义域内取x0，记 y0 一 y(x0)。证明：13 y(x)y 0+ 一 arctan x0；14 均存在15 设 a0，函数 f(x)在0，+) 上连续有界证明：微分方程 y+ay=f(x)的解在0，+) 上有界16 设有方程 y+P(x)y=x2，其中 P(x)= 试求在(一，+)内的连续函数y=y(x)，使之在 (一，1)和(1 ，+)内都满足方程，且满足初值条件 y(0)=217 求微分方程 的通解18 求微分方程
5、 y“+2y+y=xex 的通解19 求微分方程 y“+5y+6y=2-x 的通解20 求一个以 y1=tet，y 2=sin 2t 为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程，并求其通解21 求微分方程 的通解，并求满足 y(1)=0 的特解22 求微分方程 y“+2y+2y=2e-xcos2 的通解23 设 z=z(u，) 具有二阶连续偏导数，且 z=z(x 一 2y，x+3y)满足求x=z(u，)的一般表达式24 用 x=et 化简微分方程 25 已知某商品的需求量 x 对价格 p 的弹性 =一 3p3，而市场对该商品的最大需求量为 1(万件)，求需求函数25 已知某商品的需求量 D 和供
6、给量 S 都是价格 p 的函数；D=D(p)= ，S=S(p)=bp，其中 a0 和 b0 为常数；价格 p 是时间 t 的函数且满足方程 =kD(p)一 S(p)(k 为正的常数) 假设当 t=0 时价格为 1，试求26 需求量等于供给量时的均衡价格 pe；27 价格函数 p(t)；28 29 求差分方程 yt+1 一 ayt=2t+1 的通解考研数学三（微积分）模拟试卷 67 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因为当 b2时，y(x)= ，所以，当 b2 一40 时，要想使 y(x)在区间(0，+) 上有界，只需要当
7、b2 一 40 时，要想使 y(x)在区间(0，+) 上有界，只需要 的实部大于等于零，即0b2 。当 b=2 时，y(x)=C 1 e-x+C2 xe-x 在区间(0，+)上有界。当 b=一 2 时， y(x)=C1 ex+C2xex (C2+ C20)在区间(0，+)上无界，综上所述，当且仅当 b0时，方程 y“+by+y=0 的每一个解 y(x)都在区间(0，+)上有界，故选(A)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 由原方程对应齐次方程的特征方程 r2 一 6r+8=0 得特征根r1=2，r 2=4又 f1(x)=ex， =1非特征根，对应特解为 y1*=aex；f 2
8、(x)=e2x，=2 为特征单根，对应特解为 y2*=bxe2x故原方程特解的形式为 aex+bxe2x，选(B) 【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 对应特征方程为 r2 一 4r+4=0，特征根是 r1,2=2而 f1=x2， 1=0 非特征根，故 y1*=ax2+bx+c，又 f2=8e2x， 2=2 是二重特征根，所以 y2*=dx2e2xy 1*与y2*合起来就是特解，选(B)【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 特征方程为 r2+2r+1=0，r=一 1 为二重特征根，而，故特解为 y=ax2e-x+bex【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【
9、试题解析】 特征方程 r2(r2 一 2r 一 3)=0，特征根为 r1=3，r 2=一 1，r 3=r4=0，对 f1=e-3x， 1=一 3 非特征根，y 1*=ae-3x；对 f2=一 2e-x， 2=一 1 是特征根，y 2*=bxe-x；对 f3=x， 3=0 是二重特征根，y 3*=x2(cx+d)，所以特解 y*一 y1*+y2*+y3*=ae-x+bxe+cx3+dx2【知识模块】 微积分二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 由于方程形状已知，故只要将两个特解分别代入并求出系数即可设所求的二阶齐次线性微分方程为 y“+p(x)y+q(x)y=0分别以 y1=ex，y 2=x
10、2代入，得【知识模块】 微积分7 【正确答案】 axe x【试题解析】 由 f(0)存在，设法去证对一切 x，f(x)存在，并求出 f(x) 将 y=0 代入 f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，得 f(x)=f(x)+f(0)e x， 所以 f(0)=0令x0，得 f(x)=f(x)+exf(0)=f(x)+aex，所以 f(x)存在解此一阶微分方程，得 f(x)=e x(aexdx+C)=ex(ax+C)因 f(0)=0，所以 C=0，从而得 f(x)=axex，如上所填【知识模块】 微积分8 【正确答案】 C 1e-2x+(C2+ )e2x，其中 C1 C2 为任意常数【试题解析】
11、 y“一 4y=0 的特征根 =2，则其通解为 y=C1 e-2x+C2 e2x 设其特解y*=Ae2x 代入 y“一 4y=e2x，可解得 A= 所以 y“4y=e2x 的通解为 C1e-2x+(C2+)e2x,其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 微积分9 【正确答案】 3x 2+xy=C，其中 C 为任意常数【试题解析】 原方程兼属一阶线性方程、齐次方程、全微分方程由一阶线性方程的通解公式得 即 3x2+xy=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 微积分10 【正确答案】 不一定【试题解析】 例如方程(y 2 一 1)dx=(x-1)ydy，经分离变量有 积分得通解 y21=C(x
12、1)2，但显然方程的全部解还应包括 y=1 和 x=1(实际上在分离变量时假定了 y210，x10)【知识模块】 微积分11 【正确答案】 y *=x(Ax2+Bx+C)【试题解析】 原方程对应齐次方程的特征方程为 r2 一 7r=0，特征根r1=7，r 2=0而 f(x)=x2 一 2x+1，=0 是特征根，所以特解如上所答【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 原方程化为 积分得通解得特解【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 微积分13 【正确答案】 将微分方程(x 2+y2)dy=dx 一 dy 变形为，则 y=y(x)为严格单
13、调增函数，根据单调有界准则，只要证明 y(x)有界即可【知识模块】 微积分14 【正确答案】 y(x) 有上界，所以【知识模块】 微积分15 【正确答案】 原方程的通解为 y(x)=e -ax(C+0xf(t)eatdt)，设 f(x)在0，+)上的上界为 M，即|f(x)|M ，则当 x0 时，有 即y(x)在0，+)上有界【知识模块】 微积分16 【正确答案】 本题虽是基础题，但其特色在于当 3E 的取值范围不同时，系数P(x)不同，这样所求解的方程就不一样，解的形式自然也会不一样，最后要根据解y=y(x)是连续函数，确定任意常数当 x1 时，方程及其初值条件为求解得 y=e -ldx(x
14、2 eldx+C)=e-x(x2exdx+C)=x22x+2+Ce-x由 y(0)=2得 C=0，故 y=x2 一 2x+2当 x1 时，方程为 =x2，求解得【知识模块】 微积分17 【正确答案】 此为齐次方程，只要作代换【知识模块】 微积分18 【正确答案】 特征方程 r2+2r+1=0 的两个根为 r1=r2=一 1对应齐次方程之通解为 Y=(C1+C2x)e-x设所求方程的特解为 y*=(ax+b)ex，则 y *=(ax+a+b)ex，y *“=(ax+2a+b)ex，代入所给方程，有(4ax+4a+4b)e x=xex解得最后得所求通解为 y=(C1+C2x)e-x+ (x 一1)
15、ex，C 2，C 2 为任意常数【知识模块】 微积分19 【正确答案】 所给微分方程的特征方程为 r 2+5r+6=(r+2)(r+3)=0，特征根为 r1=一 2，r 2=一 3于是，对应齐次微分方程的通解为 =C1e-2x+C2e-3x设所给非齐次方程的特解为 y*=Ae-x将 y*代入原方程，可得 A=1。由此得所给非齐次方程的特解 y*=e-x从而，所给微分方程的通解为 y(x)=C 1e-2x+C2e-3x+e-x，其中 C1，C为任意常数【知识模块】 微积分20 【正确答案】 由 y1=tet 可知 y3=et 亦为其解，由 y2=sin 2t 可得 y4=cos 2t 也是其解，
16、故所求方程对应的特征方程的根 1=3=1， 2=2i， 4=一 2i其特征方程为 (1)2(2+4)=0，即 4 一 23+52 一 8+4=0故所求的微分方程为 y(4)-2y“+5y“一8y+4y=0，其通解为 y=(C 1+C2t)et+C3cos 2t+C4sin 2t，其中 C1，C 2，C 3，C 4 为任意常数【知识模块】 微积分21 【正确答案】 此为齐次微分方程，按解齐次微分方程的方法解之令 y=ux，原方程化为其中 C0 为任意常数将初值条件 y(1)=0 代入式得 C=1，但由于 C0，故得相应的特解为【知识模块】 微积分22 【正确答案】 应先用三角公式将自由项写成 e
17、x+e-xcosx，然后再用叠加原理用待定系数法求特解 对应的齐次方程的通解为 Y=(C 1cos x+C2 sin x)e-x为求原方程的一个特解，将自由项分成两项：e -x，e -xcos x，分别考虑 y“+2y+2y=e -x， 与 y“+2y+2y=e-xcos x 对于 ，令 y 1*=Ae-x，代入可求得 A=1，从而得 y1*=e-x 对于，令 y2*=xe-x(Bcos x+Csin x)，代入可求得 B=0，C= 由叠加原理，得原方程的通解为 y=Y+y1*+y2*=e-x(C1cos x+C2sin x)+e-x+ 其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 微积分23
18、【正确答案】 以 z=z(u，)，u=x 一 2y，=x+3y 代入式，得到 z(u，)应该满足的微分方程，也许这个方程能用常微分方程的办法解之其中 (u)为具有连续导数的 u 的任意函数，()为具有二阶连续导数的 的任意函数，其中 u=x 一 2y，=x+3y。【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 根据弹性的定义，有 由此得x=Ce-p3，C 为待定常数由题设知 P=0 时，x=1，从而 C=1于是，所求的需求函数为 x=e-p3【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分26 【正确答案】 当需求量等于供给量时，有 因此均衡价格为【知识模块】 微积分2
19、7 【正确答案】 由条件知因此有在该式两边同时积分，得 p 3=Pe3+Ce-3kbt由条件 p(0)=1，可得 C=1 一 Pe3【知识模块】 微积分28 【正确答案】 【知识模块】 微积分29 【正确答案】 题设方程对应的齐次差分方程 yt+1- ayt=0 的特征根 =a，故其通解为 Yt=Cat，其中 C 为任意常数，下面就 a 的不同取值求原非齐次方程的特解与通解 (1)当 a1，即 1 不是特征根时，令原非齐次方程的特解为 =At+B，代入原方程有 A=(2)当=1，即 1 是特征根时，令原非齐次方程的特解为 =t(At+B)，并把它代入原方程有 A=1，B=0 故此特解为 =t2，此时对应的齐次方程的通解为 Yt=C因此，原非齐次方程的通解为 y t=t2+C，其中 C 为任意常数【知识模块】 微积分
