1、考研数学三（微积分）模拟试卷 68 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 具有特解 y1=e-x，y 2=2xe-x，y 3=3ex 的三阶常系数齐次线性微分方程是 ( )（A）y“一 y“一 y+y=0（B） y“+y“一 y一 y=0（C） y“一 6y“+11y一 6y=0（D）y“一 2y“一 y+2y=02 微分方程 y“+2y+2y=e-xsin x 的特解形式为 ( )（A）e -x(Acosx+Bsinx)（B） e-x(Acosx+Bxsinx)（C） xe-x(Acosx+Bsinx)（D）e -x(Axcosx+Bsinx)3 微分
2、方程 y“+y+y= 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )4 设 f(x)连续，且满足 f(x)= +ln 2，则 f(x)= ( )（A）e xln2（B） e2xln2（C） ex+In2（D）e 2x+ln25 已知 y1=xex+e2x 和 y2 一 xex+e-x 是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为 ( )（A）y“一 2y+y=e2x（B） y“一 y一 2y=xex（C） y“一 y一 2y=ex 一 2xex（D）y“一 y=e2x二、填空题6 设 p(x)，q(x)与 f(x)均为连续函数，f(x)0设 y1(x)，y 2(x)与 y3(x)是
3、二阶非齐次线性方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x) 的 3 个解，且 则式 的通解为 _ 7 设 f(x)在( 一，+)上可导，且其反函数存在，记为 g(x)，若 0f(x) g(t)dt+0x f(t)dt=xexex+1，则当一x+时 f(x)= _8 微分方程 3extan ydx+(1 一 ex)sec2ydy=0 的通解是_9 微分方程 的通解是_10 微分方程(y 2+1)dx=y(y 一 2x)曲的通解是_ 11 以 y=cos 2x+sin 2x 为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是_12 微分方程 y“= 的通解为 _13 微分方程 y“一 2y一 x2+e2x+
4、1 由待定系数法确定的特解形式(不必求出系数)是_14 特征根为 r1=0，r 2，3 = 的特征方程所对应的三阶常系数齐次线性微分方程为_15 满足 f(x)+xf(-x)=x 的函数 f(x)=_16 已知 01f(tx)dt= +1，则 f(x)=_17 微分方程 xdy 一 ydx=ydy 的通解是_18 微分方程 的通解是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 已知曲线 y=y(x)经过点 (1，e -1)，且在点(x，y) 处的切线方程在 y 轴上的截距为xy，求该曲线方程的表达式19 20 用变限积分表示满足上述初值条件的解 y(x)；21 讨论 是否存在，若存
5、在，给出条件；若不存在，说明理由22 求微分方程 xy+y=xex 满足 y(1)=1 的特解23 求微分方程 的通解24 求微分方程 y“+4y+4ye-2x 的通解25 求微分方程(3x 2+2xyy2)dx+(x2 一 2xy)dy=0 的通解26 求解 y“=e2y+ey，且 y(0)=0，y(0)=2 27 求方程 的通解28 求 y“一 y=e|x|的通解29 利用变换 y=f(ex)求微分方程 y“一(2e x+1)y+e2xy=e3x 的通解30 某商品市场价格 p=p(t)随时间变化，p(0)=p 0，而需求函数 QA=b-ap(a，b0) ，供给函数 QB=一 d+cp(c
6、，d0)，且 p 随时间变化率与超额需求(Q A 一 QB)成正比求价格函数 p=p(t)考研数学三（微积分）模拟试卷 68 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 根据题设条件，1，一 1 是特征方程的两个根，且一 1 是重根，所以特征方程为 ( 一 1)(+1)2=3+2 一 一 1=0，故所求微分方程为 y“+y“一 y一y=0，故选 (B) 或使用待定系数法，具体为： 设所求的三阶常系数齐次线性微分方程是 y“+ay“+b+cy=0 由于 y1=e-x，y 2=2xe-x，y 3=3ex 是上述方程的解，所以将它们代入方
7、程后得 解得 a=1，b=一 1，C=一 1。 故所求方程为 y“+y“一 y一 y=0，即选项(B)正确【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 特征方程 r2+2r+2=0 即(r+1) 2=一 1，特征根为 r1.2=一 1i，而 i=一 1i 是特征根，特解 y*=xe-x(Acos x+Bsin x)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 特征方程 r2+r+1=0，特征根为 r1,2=是特征根，所以特解的形式为【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 原方程求导得 f(x)=2f(x)，即 ，积分得 f(x)=Ce2x，又 f(0)=ln 2，
8、故 C=ln 2，从而 f(x)=e2xln 2【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【试题解析】 非齐次线性方程两解之差必为对应齐次方程之解，由 y1-y2=e2x-e-x 及解的结构定理知对应齐次方程通解为 y=C1e2x+C2e-x，故特征根 r1=2，r 2=一 1对应齐次线性方程为 y“一 y一 2y=0 再由特解 y*=xex 知非齐次项 f(x)=y *“一 y*一2y*=ex 一 2xex，于是所求方程为 y“一 y一 2y=ex 一 2xex【知识模块】 微积分二、填空题6 【正确答案】 y=C 1(y1 一 y2)+C2(y2 一 y3)+y1，其中 C1，C 2 为任意
9、常数【试题解析】 由非齐次线性方程的两个解，可构造出对应的齐次方程的解，再证明这样所得到的解线性无关便可 y 1 一 y2 与 y2y 3 均是式对应的线性齐次方程 y“+p(x)y+q(x)y=0 的两个解今证它们线性无关事实上，若它们线性相关，则存在两个不全为零的常数 k1 与 k2 使 k 1(y1 一 y2)+k2(y2 一 y3)=0 设 k10，又由题设知 y2 一 y30，于是式可改写为 矛盾。若 k1=0，由 y2y10，故由式 推知 k2=0 矛盾这些矛盾证得 y1 一 y2 与 y2y3 线性无关 于是 Y=C 1(y1 一 y2)+C2(y2 一 y3) 为式的通解，其中
10、 C1，C 2 为任意常数，从而知 y=C 1(y1 一 y2)+C2(y2 一 y3)+y1 为式 的通解【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 未知函数含于积分之中的方程称积分方程现在此积分的上限为变量，求此方程的解的办法是将方程两边对 x 求导数化成微分方程解之。注意，积分方程的初值条件蕴含于所给式子之中，读者应自行设法挖掘之 将所给方程两边对 x 求导，有 g(f(x)f(x)+f(x)=xe x因 g(f(x)x，所以上式成为 xf(x)+f(x)=xex以 x=0 代入上式，由于 f(0)存在，所以由上式得 f(0)=0当 x0 时，上式成为【知识模块】 微积分8 【正
11、确答案】 tan y=C(e x 一 1)3，其中 C 为任意常数【试题解析】 方程分离变量得 积分得 ln(tan y)=3ln(ex 一 1)+ln C所以方程有通解为 tan y=C(ex 一 1)3，其中 C 为任意常数【知识模块】 微积分9 【正确答案】 y=C 1e3x+C2e2x，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 原方程是二阶常系数齐次线性微分方程其特征方程为 r2 一5r+6=0，即(r 一 3)(r 一 2)=0解出特征根 r1=3，r 2=2，即得上述通解【知识模块】 微积分10 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 微积分11 【正确答案
12、】 y“+4y 一 0【试题解析】 由特解 YCOS 2z+sin 2z 知特征根为 r1,2=2i，特征方程是r2+4=0，其对应方程即 y“+4y=0【知识模块】 微积分12 【正确答案】 +C1+C2，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 由 y“=【知识模块】 微积分13 【正确答案】 y *=x(Ax2+Bx+C)+Dxe2x【试题解析】 特征方程为 r22r=0，特征根 r1=0，r 2=2对 f1=x2+1， 1=0 是特征根，所以 y1*=x(Ax2+Bx+C)对 f2=e2x， 2=2 也是特征根，故有 y2*=Dxe2x从而 y*如上【知识模块】 微积分14 【正确答
13、案】 【试题解析】 特征方程为即 r3-r2+ =0，其相应的微分方程即所答方程。【知识模块】 微积分15 【正确答案】 (1+x2)+xarctan x+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 在原方程中以(一 x)代替 x 得 f(一 x)一 xf(x)=一 x与原方程联立消去 f(一 x)项得 f(x)+x2f(x)=x+x2，所以 f(x)= 积分得(1+x2)+xarctan x+C，其中 C 为任意常数【知识模块】 微积分16 【正确答案】 Cx+2 ，其中 C 为任意常数【试题解析】 将所给方程两边同乘以 x，得 令u=tx，则上式变为 |f(u)du= 两边对 x 求导得用线性方
14、程通解公式计算即得 f(x)=Cx+2，其中 C 为任意常数【知识模块】 微积分17 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 原方程化为 是齐次型令 y=xu，则dy=xdu+udx，方程再化为=C 代入 y=xu 即得通解其中 C 为任意常数【知识模块】 微积分18 【正确答案】 y=C 1x5+C2x3+C3x2+C4x+C5，C 1，C 2，C 3，C 4，C 5 为任意常数【试题解析】 令 则方程降阶为 u 的一阶方程积分四次即得上述通解【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 曲线 y=f(x)在点(x，y)处的切线方程为 Yy
15、=y(Xx)，令 X=0，得到截距为 xy=y-xy ，即 xy=y(1-x)，此为一阶可分离变量的方程，于是，又 y(1)=e-1，故 C=1，于是曲线方程为【试题解析】 本题以几何问题为载体，让考生根据问题描述建立微分方程，然后求解，是一道简单的综合题，是考研的重要出题形式【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分20 【正确答案】 初值问题可写成 由上述变限积分形式的通解公式，有：【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【试题解析】 一般认为，一阶线性微分方程 y+p(x)y=g(x)的计算公式为 y=e -p(x)dx(ep(x)dx.q(x)dx+C)，而本题是要求写成变限积分形式 y
16、(x)=e -x0x(x0xex0xp(s)dsq(t)dt+C)请考生仔细分辨这里的变量表达形式 由于本题表达形式比较复杂，且写出表达式后还要进行极限讨论，故本题对于考生是一道难题【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由通解公式得当 x=1，y=1 时，得 C=1，所以特解为【知识模块】 微积分23 【正确答案】 变形和作适当代换后变为可分离变量的方程方程两边同除以x，得【知识模块】 微积分24 【正确答案】 特征方程 r2+4r+4=0 的根为 r1=r2=一 2对应齐次方程的通解为Y=(C1+C2x)e-2x设原方程的特解 y*=Ax2e-2x，代入原方程得 因此，原方程的通解为 y=
17、Y+y*=(C1+C2x)e-2x+【知识模块】 微积分25 【正确答案】 原方程化为 3x2dx+(2xyy2)dx+(x2 一 2xy)dy=0，即 d(x 3)+d(x2yxy2)=0，故通解为 x 3+x2yxy2=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 微积分26 【正确答案】 代入 y(0)=0，得 C1=一 ln 2，所以，该初值问题的解为 yln(1+e y)=xln 2【知识模块】 微积分27 【正确答案】 这是一阶线性方程，可以直接套通解公式解之套公式之前，应先化成标准型：【知识模块】 微积分28 【正确答案】 自由项带绝对值，为分段函数，所以应将该方程按区间(一，0)0，+
18、)分成两个方程，分别求解由于 y“=y+e|x|在 x=0 处具有二阶连续导数，所以求出解之后，在 x=0 处拼接成二阶导数连续，便得原方程的通解 当 x0 时，方程为 y“一 y=ex 求得通解此 y 在 x=0 处连续且 y连续又因 y“=y+e|x|，所以在 x=0 处 y“亦连续，即是通解【知识模块】 微积分29 【正确答案】 令 t=ex， y=f(t) y=f(t).ex=tf(t)， y“=(tf(t) x=exf(t)+tf“(t).ex=tf(t)+t2f“(t)，代入方程得 t2f“(t)+tf(t)一(2t+1)tf(t)+t 2f(t)=t3，即 f“(t) 一 2f(t)+f(t)=t解得f(t)=(C1+C2t)et+t+2，所以 y“一(2e x+1)y+e2xy=e3x 的通解为 y=(C 1+C2ex)eex+ex+2，其中 C1， C2 为任意常数【知识模块】 微积分30 【正确答案】 【知识模块】 微积分
