1、考研数学三（微积分）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 =2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵(1/3 A 2 )-1 有一个特征值等于（A）4/3（B） 3/4（C） 1/2（D）1/42 设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 A 的特征向量，则矩阵(P -1 AP)T 属于特征值 A 的特征向量是（A）P -1（B） PT （C） P（D）(P -1 )T3 设 A，B，A+B，A -1+B-1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1+B-1)-1 等于（A）A -1+B-
2、1（B） A+B（C） A(A+B)-1B（D）(A+B) -14 设向量 可由向量组 1， 2，.， m 线性表示，但不能由向量组(I)：1， 2，.， m-1 线性表示，向量组(): 1， 2，.， m-1,，则（A） m 不能由 (I)线性表示，也不能由()线性表示（B） m 不能由(I)线性表示，也可能由()线性表示（C） m 可由(I)线性表示，也可由()线性表示（D） m 可由 (I)线性表示，也不可由()线性表示5 若向量组 ， ， 线性无关； ， ， 线性相关，则（A） 必可由 ，y， 线性表示（B） 必不可由 ， ， 线性表示（C） 必可由 ， 线性表示（D） 必不可由 ，
3、， 线性表示6 若向量组 ， ， 线性无关； ， ， 线性相关，则（A） 必可由卢，y，占线性表示（B） 必不可由 ， ， 线性表示（C） 必可由 ， 线性表示（D） 必不可由 ， ， 线性表示7 设向量组 1， 2， 3 线性无关，向量 1 可由 1， 2， 3 线性表示，而向量 2 不能南 1， 2， 3 线性表示，则对于任意常数 k，必有（A） 1， 2， 3，k 1+2 线性无关（B） 1， 2， 3，k 1+2 线性相关（C） 1， 2， 3， 1+k2 线性无关（D） 1， 2， 3，k 1+k2 线性相关8 设 A，B 为满足 AB=0 的任意两个非零矩阵，则必有（A）A 的列向
4、量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关9 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则1， A(1+2)线性无关的充分必要条件是（A） 10（B） 20（C） 1=0（D） 2=010 设 1， 2， ， s 均为 n 维列向量，A 是 m n 矩阵，下列选项正确的是（A）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2， ，A s。线性相关（B）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2，A s 线
5、性无关（C）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2，A s 线性相关（D）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2， ，A s 线性无关11 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是（A） 1-2， 2-3,3-1（B） 1+2， 2+3,3+1（C） 1-22， 2-23,3-21（D） 1+22， 2+23,3+2112 设 A 为 n 阶实矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，则对于线性方程组(I) ：AX=0 和()：AT AX=0，必有（A）() 的解是 (I)的解，(I)的解也是()的解（B） ()的解是(I)的解，但 (I)的解不是()的解（C） (
6、I)的解不是 ()的解， ()的解也不是(I)的解（D）(I)的解是()的解，但()的解不是(I)的解13 设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A，B 均为 mn 矩阵，现有 4 个命题：若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则秩(A) 秩(B)；若秩(A)秩(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩(A)=秩(B)；若秩(A)=秩(B)，则 Ax=0 与 Bx=0 同解以上命题中正确的是（A） （B） （C） （D） 14 设 A 是 mn 矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（A
7、）若 Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 有唯一解（B）若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多个解（C）若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 仅有零解（D）若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 有非零解15 非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为 r，则（A）r=m 时，方程组 Ax=西有解（B） r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解（C） m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解（D）rn 时，方程组 Ax=b 有无穷多解16 当 x0 时，（1-cosx ）ln（1+x 2）是比 xsinxn 高阶的无穷小，而 xsinxn 是比
8、 ex2-1 高阶的无穷小，则正整数 n=_.（A）1（B） 2（C） 3（D）417 当 x0 时，f(x)=x-sinax 与 g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小，则（A）a=1,b=-1/6（B） a=1,b=1/6（C） a=-1,b=-1/6（D）a=-1,b=1/618 设 f(x)和 (x)在(-，+)上有定义，f(x)为连续函数，且，()0，f(x)有间断点，则（A）f(x)必有间断点（B） (x)2 必有间断点（C） f(x)必有间断点（D）(x)/f(x) 必有间断点19 微分方程 y“+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为（A）y * =ax2+bx+c+x(
9、Asinx+Bcosx)（B） y* =x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)（C） y*=ax2+bx+c+Asinx（D）y * =ax2+bx+c+Acosx二、填空题20 设 n 阶矩阵 A 的元素全为 1，则 A 的 n 个特征值是_.21 设 A 为 2 阶矩阵， 1， 2 为线性无关的 2 维列向量，A 1=0，A 2=21+2， 则A 的非零特征值为_.22 设向量 =(1， 2， n)T ，=(b 1，b 2，b n)T 都是非零向量，且满足条件T =0，记 n 阶矩阵 A=T 求：A 2 23 设矩阵 A 满足 A2+A-4 层=0，其中 E 为单位矩阵，则(A-E
10、) -1=_.24 设 n 维向量 a=(a，0，0，a) T，a T B=E+1/aaaT . 其中 A 的逆矩阵为 B，则a=_25 当 x0 时，(1-ax 2)1/4-1 与 xsinx 是等价无穷小，则 z=_.26 当 x0 时，kx 2 与是等阶无穷小，则 k=_.27 设 a=(1，0，-1) T，矩阵 A=aaT，n 为正整数，则 aE-An=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。28 已知向量组(I)： 1， 2， 3；()： 1， 2， 3， 4；( )：1， 2， 3， 4， 5如果各向量组的秩分别为 r(I)=r(II)=3，r()=4证明向量组1， 2
11、， 3， 5-4 的秩为 428 设 A=E-T，其中层为 n 阶单位矩阵， 是 n 维非零列向量， T 是 的转置 证明：29 A2=A 的充要条件是 T=1；30 当 T=1 时， A 是不可逆矩阵考研数学三（微积分）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【知识模块】 微积分6 【正确答案】 C【知识模块】 微积分7 【正确答案】 A【知识模块】 微积分8 【正确答
12、案】 A【知识模块】 微积分9 【正确答案】 B【知识模块】 微积分10 【正确答案】 A【知识模块】 微积分11 【正确答案】 A【知识模块】 微积分12 【正确答案】 A【知识模块】 微积分13 【正确答案】 B【知识模块】 微积分14 【正确答案】 B【知识模块】 微积分15 【正确答案】 A【知识模块】 微积分16 【正确答案】 B【知识模块】 微积分17 【正确答案】 A【知识模块】 微积分18 【正确答案】 D【知识模块】 微积分19 【正确答案】 A【知识模块】 微积分二、填空题20 【正确答案】 n-n-1【知识模块】 微积分21 【正确答案】 1【知识模块】 微积分22 【正
13、确答案】 由 A=T 和 T=0，有 A2=(T)(T)=a(T)T=OT=0【知识模块】 微积分23 【正确答案】 1/2(A+2E)【知识模块】 微积分24 【正确答案】 -1【知识模块】 微积分25 【正确答案】 -4【知识模块】 微积分26 【正确答案】 3/4【知识模块】 微积分27 【正确答案】 a 2(a-2n)【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。28 【正确答案】 因为 r(I)=r(II)=3，所以 1， 2， 3 线性无关，而 1， 2， 3， 4线性相关，因此 4 可由 1， 2， 3 线性表出，设为 4=l1+l2+l3 若k11+k2
14、2+k33+k4(5-4)=0， 即(k 1-l1k4)1+(k2-l2k4)2+(k3-l3k44)3+k45=0， 由于r()=4，即 1， 2， 3， 5 线性无关故必有 解出 k4=0，k 3=0，k 2=0，k 1=0 于是 1， 2， 3， 5-4 的秩为 4【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分29 【正确答案】 A 2=(E-T)(E-T)=E-2T+TT =E-T+(T)T-T=A+(T)T-T， 那么 A2=A(T-1)T=0 因为 是非零列向量， T0，故 A2=AT-1=0即 T=1【知识模块】 微积分30 【正确答案】 反证法当 T=1 时，由(1) 知 A2=A，若 A 可逆，则 A=A -1A2=A-1A=E 与已知 A=E-TE 矛盾【知识模块】 微积分
