1、考研数学三（微积分）模拟试卷 73 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 设 f(x)在0，1上可导， f(0)=0，|f(x)| |f(x)|证明：f(x)一=0 ，x x，12 设 f(x)Ca，b，在(a， b)内可导，f(a)=f(b)=1证明：存在 ， (a，b)，使得2e2 一 =(ea+eb)f()+f()3 设 f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0 且 =一 1证明：存在 (0，1)，使得 f“()84 一质点从时间 t=0 开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于
2、45 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 |f“(x)|1(x0，1)，又 f(0)=f(1)，证明：|f(x)| (x0，1)5 设 f(x)在( 一 1，1)内二阶连续可导，且 f“(x)0证明：6 对(一 1，1)内任一点 x0，存在唯一的 (x)(0， 1)，使得 f(x)=f(0)+xf(x)x；7 8 设 f(x)在a ，b上二阶可导，且 f(a)=f(b)=0证明：存在 (a，b)，使得9 f(x)在1，1上三阶连续可导，且 f(一 1)=0，f(1)=1，f(0)=0证明：存在 (一1，1)，使得 f“()=310 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶连续可导证明：
3、存在 (a，b)，使得10 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 |f(x)|a，|f“(b)|b，其中 a，b 都是非负常数，c为(0， 1)内任意一点11 写出 f(x)在 x=c 处带 Lagrange 型余项的一阶泰勒公式；12 证明：|f(c)|2a+ 12 设 f(x)在 一 a，a(a0)上有四阶连续的导数， 存在13 写出 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式；14 证明：存在 1， 2一 a，a，使得15 设 f(x)在 x0 的邻域内四阶可导，且|f (4)(x)|M(M0)证明：对此邻域内任一异于 x0 的点 x，有 其中 x为 x关于 x0 的对称点16 设 f(x)，
4、g(x) 在a，b 上连续，在(a ，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f +(a)f一 (b)0，且 g(x)0(xa，b)，g“(x)0(axb)，证明：存在 (a，b)，使得17 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且 f+(a)0证明：存在 (a，b)，使得 f“()018 设 f(x)二阶可导，f(0)=0，且 f“(x)0证明：对任意的 a0，b0，有 f(a+b)f(a)+f(b)19 设 f(x)在a，b上连续，且 f“(x)0，对任意的 x0，x 2a，b及 01，证明：fx1+(1 一 )x2f(x1)+(1 一 )f(x2)
5、20 设 f(x)二阶可导， =1 且 f“(x)0证明：当 x0 时，f(x)x21 设 f(x)在0，+)内可导且 f(0)=1，f(x)f(x)(x 0)证明：f(x)e x(x0)22 设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(x)0，取 xia，b(i=1，2，n)及ki0(i=1，2，n)且满足 k1+k2+kn=1证明：f(k 1x1+k2x2+knxn)k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)23 证明：当 x0 时，(x 2 一 1)lnx(x 一 1)224 当 x0 时，证明：25 设 0a b，证明：26 求由方程 x2+y3 一 xy=0 确定的函数在 x0 内
6、的极值，并指出是极大值还是极小值27 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(0)=f(1)=f(1)=0证明：方程 f“(x)=f(x)=0在(0， 1)内有根28 设非负函数 f(x)当 x0 时连续可微，且 f(0)=1由 y=f(x)，x 轴，y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线围成的图形的面积与 y=f(x)在0，x上弧的长度相等，求 f(x)考研数学三（微积分）模拟试卷 73 答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上可导，所以 f(x)在0，1上连续，从而|f(x)|在0，1上连续，故 |f(x)|在
7、0，1 上取到最大值 M，即存在 x00，1 ，使得|f(x 0)|=M当 x0=0 时，则 M=0，所以 f(x)=0，x0 ，1；当 x00 时，M=|f(x 0)|=|f(x0)一f(0)|=|f()|x0|f()| |f()| ，其中 (0，x 0)，故 M=0，于是 f(x)=0，x0 ，1【知识模块】 微积分2 【正确答案】 令 (x)=exf(x)由微分中值定理，存在 (a，b)，使得令 (x)=e2x，由微分中值定理，存在 (a，b)，使得 即 2e2=(ea+eb)ef()+f()，或2e2 一 =(ea+eb)f()+f()【知识模块】 微积分3 【正确答案】 在使用泰勒中
8、值定理时，若已知条件中给出某点的一阶导数，则函数在该点展开；若结论中是关于某点的一阶导数，则在该点展开；若既未给出某点的一阶导数的条件，结论中又不涉及某点的一阶导数，往往函数在区间的中点处展开因为 f(x)在0，1上二阶可导，所以 f(x)在0，1上连续且 f(0)=f(1)=0， f(x)=一 1，由闭区间上连续函数最值定理知，f(x)在0，1取到最小值且最小值在(0 ，1) 内达到，即存在 f(0，1)，使得 f(c)=一 1，再由费马定理知 f(c)=0，根据泰勒公式所以存在 (0，1)，使得 f“()8【知识模块】 微积分4 【正确答案】 设运动规律为 S=S(t)，显然 S(0)=0
9、，S(0)=0，S(1)=1，S(1)=0由泰勒公式两式相减，得 S“(2)一 S“(1)=一 8 |S“(1)|+|S“(2)|8当|S“( 1)|S“(2|)时，|S“( 1)|4；当|S“( 2)|时，|S“( 2)|4【知识模块】 微积分5 【正确答案】 由泰勒公式得 f(0)=f(x)一 f(x)x+ f“(1)x2， 1(0，x)，f(1)=f(x)+f(x)(1 一 x)+ f“(1)(1 一 x)2， 2(x，1)，两式相减，得 f(x)= f“(1)x2 一 f“(2)(1 一 x)2两边取绝对值，再由|f“(x)|1 ，得【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分6 【正确答
10、案】 对任意 x(一 1，1) ，根据微分中值定理，得 f(x)=f(0)+xf(x)x，其中 0(x)1因为 f“(x)C(一 1，1)且 f“(x)0，所以 f“(x)在(1，1)内保号，不妨设 f“(x)0，则 f(x)在(一 1，1)内单调增加，又由于 x0，所以 (x)是唯一的【知识模块】 微积分7 【正确答案】 由泰勒公式，得 f(x)=f(0)+f(0)x+ x2，其中 介于 0 与 x 之间，而 f(x)=f(0)+xf(x)x，所以有令 x0，再由二阶导数的连续性及非零性，得【知识模块】 微积分8 【正确答案】 由泰勒公式得(1)当|f“( 1)|f“(2)|时，取 =1，则
11、有|f“()| (2)当|f“( 1)|f“( 2)|时，取 =2，则有|f“()|【知识模块】 微积分9 【正确答案】 由泰勒公式得两式相减得 f“(1)+f“(2)=6因为 f(x)在一 1，1 上三阶连续可导，所以 f“(x)在1， 2上连续，由连续函数最值定理，f“(x)在 1， 2上取到最小值 m 和最大值M，故 2mf“(1)+f“(2)2M，即 m3M由闭区间上连续函数介值定理，存在1， 2 (一 1，1)，使得 f“()=3【知识模块】 微积分10 【正确答案】 因为 f(x)在(a ，b)内二阶可导，所以有因为 f(x)在(a， b)内连续，所以 f“(x)在 1， 2上连续
12、，从而 f(x)在 1， 2上取到最小值 m 和最大值 M，故 由介值定理，存在 1， 2 (a，b)，使得 故【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分11 【正确答案】 f(x)=f(c)+f(c)(x 一 c)+ (x 一 c)2，其中 介于 c 与 x 之间【知识模块】 微积分12 【正确答案】 分别令 x=0，x=1 ，得【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分13 【正确答案】 由 存在，得 f(0)=0，f(0)=0，f“(0)=0，则 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式为 其中 介于 0 与 x 之间【知识模块】 微积分14 【正确答案】 上式两边积分得 f(x)dx= f(
13、4)()x4dx因为 f(4)(x)在一 a，a上为连续函数，所以 f(4)(x)在 一 a，a上取到最大值 M 和最小值 m，于是有 mx1f(4)()x4Mx4，两边在一 a，a上积分得 a5aaf(4)()x4dx a5，从而于是 m f(x)dxM，根据介值定理，存在 1一 a，a，使得 f(4)(1)= 或 a5f(4)(1)=60f(x)dx再由积分中值定理，存在 2一 a，a，使得 a5f(4)(1)=60一 aaf(x)dx=120af(2)，即 a4f(4)(1)=120f(2)【知识模块】 微积分15 【正确答案】 由 f(x)=f(x0)+f(x0)(x 一 x0)+ (
14、xx0)2+ (xx0)3+(xx0)4，f(x)=f(x 0)+f(x0)(x一 x0)+ (xx0)2+ (xx0)3+ (xx0)4，两式相加得 f(x)+f(x)一 2f(x)=f“(x 0)(xx0)2+ f(4)(1)+f(4)(2)x 一 x0)4，于是 f(4)(1)+f(4)(2)x 一 x0)2，再由| f (4)(x)M，得【知识模块】 微积分16 【正确答案】 设 f 一 (a)0，f 一 (b)0，由 f 一 (a)0，存在 x1(a，b)，使得f(x1)f(a)=0；由 f 一 (b)0，存在 x2(a，b)，使得 f(x2)f(b)=0 ，因为 f(x1)f(x2
15、)0，所以由零点定理，存在 c(a，b)，使得 f(c)=0令 h(x)= ，显然 h(x)在a， b上连续，由 h(a)=h(f)=h(b)=0，存在 1(a，c)， 2(c，b)，使得 h(1)=h(2)=0，而令(x)=f(x)g(x)一 f(x)g(x)， (1)=(2)=0，由罗尔定理，存在 (1， 2) (a，b)，使得 ()=0，而 (x)=f“(x)g(x)一 f(x)g“(x)，所以【知识模块】 微积分17 【正确答案】 因为 =f+(a)0，所以存在 0，当 0x 一a 时，有 0，从而 f(x)f(a)，于是存在 c(a，b)，使得 f(c)f(a)=0由微分中值定理，存
16、在 1(a，c) ， 2(c，b)，使得再由微分中值定理及f(x)的二阶可导性，存在 (1， 2) (a，b)，使得【知识模块】 微积分18 【正确答案】 不妨设 ab，由微分中值定理，存在 1(0，a) ， 2(b，a+b)，使得 两式相减得 f(a+b)一 f(a)一 f(b)=f(2)一 f(1)a因为 f“(x)0，所以 f(x)单调增加，而 1 2，所以 f(1)f( 2)，故 f(a+b)一f(a)一 f(b)=f(2)一 f(1)a0，即 f(a+b)f(a)+f(b)【知识模块】 微积分19 【正确答案】 令 x0=x1+(1 一 )x2，则 x0a，b，由泰勒公式得 f(x)
17、=f(x0)+f(x0)(x 一 x0)+ (xx0)2，其中 介于 x0 与 x 之间，因为 f“(x)0，所以 f(x)f(x0)+f(x0)(x 一 x0)，于是两式相加，得fx1+(1 一 )x2f(x1)+(1 一 )f(x2)【知识模块】 微积分20 【正确答案】 由 =1，得 f(0)=0，f(0)=1 ，又由 f“(x)0 且 x0，所以f(x)f(0)+f(0)x=x【知识模块】 微积分21 【正确答案】 令 (x)=e 一 xf(x)，则 (x)在0，+)内可导，又 (0)=1，(x)=e 一xf(x)一 f(x)0(x 0)，所以当 x0 时，(x)(0)=1，所以有 f
18、(x)e x(x0)【知识模块】 微积分22 【正确答案】 令 x0=k1x1+k2x2+knxn，显然 x0a，b因为 f“(x)0，所以f(x)f(x0)+f(x0)(x 一 x0)，分别取 x=xi(i=1，2，n)，得由 ki0(i=1，2，n) ，上述各式分别乘以 ki(i=1，2，n)，得 将上述各式分别相加，得 f(x0)k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)，即 f(k1x1+k2x2+knxn)k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)【知识模块】 微积分23 【正确答案】 令 (x)=(x21)lnx 一(x 一 1)2，(1)=0故 x=1 为 “(x)的极小
19、值点，由其唯一性得其也为最小值点，而最小值为 “(1)=20，故 “(x)0(x 0) 故 x=1 为 (x)的极小值点，也为最小值点，而最小值为 (1)=0，所以 x0 时，(x)0，即(x 2 一 1)lnx(x 一 1)2【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 根据隐函数求导数法，得【知识模块】 微积分27 【正确答案】 令 (x)=e 一 xf(x)+f(x)因为 (0)=(1)=0，所以由罗尔定理，存在 c(0，1)使得 (f)=0，而 (x)=e 一 xf(x)一 f(x)且 e 一 x0，所以方程 f“(c)一 f(c)=0 在(0，1) 内有根【知识模块】 微积分28 【正确答案】 【知识模块】 微积分
