1、考研数学三（微积分）模拟试卷 74 及答案与解析一、填空题1 设 f(sin2x)=2 设 f(lnx)= ，则f(x)dx=_二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。3 设 f(x)=3x2+Ax 一 3(x0) ，A 为正常数，问 A 至少为多少时，f(x)20?4 设 f(x)在0，+)内二阶可导，f(0)=一 2，f(0)=1，f“(x)0证明：f(x)=0 在(0，+) 内有且仅有一个根4 设 fn(x)=x+x2+xn(n2)5 证明方程 fn(x)=1 有唯一的正根 xn；6 求7 设 a0，讨论方程 aex=x2 根的个数8 就 k 的不同取值情况，确定方程 x3 一
2、 3x+k=0 根的个数9 设 k 为常数，方程 kx 一 +1=0 在(0，+)内恰有一根，求 k 的取值范围10 设 f(x)在 一 1，1上可导， f(x)在 x=0 处二阶可导，且 f(0)=0，f“(0)=4 求11 设 f(x)二阶连续可导且 f(0)=f(0)=0，f“(x)0曲线 y=f(x)上任一点(x，f(x)(x0)处作切线，此切线在 x 轴上的截距为 u，求12 设函数 其中 g(x)二阶连续可导，且 g(0)=1(1)确定常数 a，使得 f(x)在 x=0 处连续；(2)求 f(x)；(3)讨论 f(x)在 x=0 处的连续性13 设 f(x)在a，b上连续，在(a，
3、b) 内可导，且 f+(a)f一 (b)0证明：存在(a， b)，使得 f()=014 设 f(x)在0，2上三阶连续可导，且 f(0)=1，f(1)=0，f(2)= 证明：存在(0， 2)，使得 f“()=215 设 f(x)是在a，b上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且 f(a)=ab=f(b)证明：存在 i(a，b)(i=1，2，n) ，使得16 设函数 y=f(x)二阶可导，f(x)0，且与 x=(y)互为反函数，求 “(y)17 设 f(x)在 x=x0 的邻域内连续，在 x=x0 的去心邻域内可导，且 =M证明：f(x 0)=M18 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f
4、(0)=f(1)=0证明：存在 (0，1)，使得 f“()=19 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1，证明：对任意的a0，b0，存在 ， (0，1)，使得19 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)=f(b)=0，f(x)dx=0 证明：20 存在 c(a，b)，使得 f(f)=0；21 存在 i(a，b)(i=1，2)，且 12，使得 f(i)+f(i)=0(i=1，2)；22 存在 (a，b) ，使得 f“()=f()；23 存在 (a，b)，使得 f()一 3f(17)+2f()=024 设 a1a 2a n，且函数
5、f(x)在a 1，a n上 n 阶可导，c a1，a n且 f(a1)=f(a2)=f(an)=0证明：存在 (a1，a n)，使得25 设 f(x)二阶连续可导，且 f“(x)0，又 f(x+h)=f(x)+f(x+h)h(01)证明：26 设 f(x)在0，1连续可导，且 f(0)=0证明：存在 0，1，使得 f()=201f(x)dx27 求 的最大项28 设 x33xy+y3=3 确定隐函数 y=y(x)，求 y=y(x)的极值29 设函数 f(x)二阶连续可导，f(0)=1 且有 f(x)+30xf(t)dt+2x01f(tx)dt+e 一 x=0，求f(x)考研数学三（微积分）模拟
6、试卷 74 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。3 【正确答案】 f(x)20 等价于 A20x33x5，令 9(x)=20x33x5，由 (x)=60x2 一15x4=0，得 x=2，“(x)=120x 一 60x3，因为 “(2)=一 2400，所以 x=2 为 (x)的最大值点，最大值为 (2)=64，故 A 至少取 64 时，有 f(x)20【知识模块】 微积分4 【正确答案】 因为 f“(x)0，所以 f(x)单调不减，当 x0 时，f(x)f(0
7、)=1 当x0 时，f(x)一 f(0)=f()x，从而 f(x)f(0)+x，因为 f(0)+x=+，所以 f(x)=+，由 f(x)在0 ，+)上连续，且 f(0)=一 20， f(x)=+，则 f(x)=0 在(0，+) 内至少有一个根，又由 f(x)10，得方程的根是唯一的【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分5 【正确答案】 令 n(x)=fn(x)=1，因为 n(0)=一 10， n(1)=n 一 10，所以 n(x)在(0， 1) (0，+)内有一个零点，即方程 fn(x)=1 在(0，+)内有一个根因为n(x)=1+2x+nxn 一 10，所以 n(x)在(0，+) 内单调增
8、加，所以 n(x)在(0，+)内的零点唯一，所以方程 fn(x)=1 在(0，+)内有唯一正根，记为 xn【知识模块】 微积分6 【正确答案】 由 fn(xn)一 fn+1(xn+1)=0，得(x n 一 xn+1)+(xn2 一 xxn+12)+(xxnn 一xn+1n)=xxn+1n+10，从而 xnx n+1，所以x nxn=1单调减少，又 xn0(n=1，2，)，故 xn 存在，设 xn=A，显然 Axnx1=1，由 xn+xn2+xxnn=1，得=1，两边求极限得【知识模块】 微积分7 【正确答案】 ae x=2 等价于 x2e 一 x 一 a=0令 f(x)=x2e 一 x 一 a
9、，由 f(x)=(2x 一 x2)e 一 x=0 得 x=0，x=2当 x0 时，f(x)0；当 0x2 时，f(x)0；当 x2 时，f(x)0，于是 x=0 为极小点，极小值为 f(0)=一 a0；x=2 为极大点，极大值为f(2)= 一 a，又【知识模块】 微积分8 【正确答案】 令 f(x)=x3 一 3x+k， f(x)=一 f(x)=+由 f(x)=3x2 一3=0，得驻点为 x1=一 1， x2=1f(x)=6x，由 f(一 1)=一 6， f“(1)=6，得 x1=一1，x 2=1 分别为 f(x)的极大值点和极小值点，极大值和极小值分别为 f(一 1)=2+k，f(1)=k
10、一 2(1)当 k一 2 时，方程只有一个根； (2)当 k=一 2 时，方程有两个根，其中一个为 x=一 1，另一个位于(1，+)内；(3)当一 2k2 时，方程有三个根，分别位于(一，1)，(一 1，1)，(1，+)内；(4)当 k=2 时，方程有两个根，一个位于(一，1)内，另一个为 x=1；(5)当 k2 时，方程只有一个根【知识模块】 微积分9 【正确答案】 所以原方程在(0 ，+)内恰有一个实根；(2)若 k=0，所以原方程也恰有一个实根；(3)若 k 0，【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线方
11、程为 Y 一 f(x)=f(x)(X 一 x)，令 Y=0 得 u=x 一 由泰勒公式得 f(u)= f“(1)u2，其中 1 介于 0 与 u 之间，f(x)= f“(2)x2，其中 2 介于 0 与 x 之间，【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 不妨设 f+(a)0，f 一 (b)0，根据极限的保号性，由 f+(a)=0，则存在 0(b 一 a)，当 0x 一 a 时，0，即 f(x)f(a)，所以存在 x1(a，b) ，使得 f(x1)f(a)同理由 f一 (b)0，存在 x0(a，b)，使得 f(x2)f(b) 因为 f(x)在a ，b上连续
12、，且 f(x1)f(a)，f(x 2)f(b)，所以 f(x)的最大值在(a，b) 内取到，即存在 (a，b)，使得 f()为 f(x)在a ，b上的最大值，故 f()=0【知识模块】 微积分14 【正确答案】 先作一个函数 P(x)=ax3+bx2+cx+d，使得 P(0)=f(0)=1，P(1)=f(1)=0，P(2)=f(2)= ，P(1)=f(1)则令 g(x)=f(x)一 P(x)，则 g(x)在0， 2上三阶可导，且 g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在 c1(01)，c 2(1，2)，使得g(c1)=g(1)=g(c2)=0，又存在 d1(c1，1)，d 2(1，c 2)使
13、得 g“(d1)=g“(d2)=0，再由罗尔定理，存在 (d1，d 2) (02)，使得 g“() =0，而 g“(x)=f“(x)一 2，所以 f“()=2【知识模块】 微积分15 【正确答案】 令 h= ，因为 f(x)在a，b上连续且单调增加，且 f(a)=ab=f(b)，所以 f(a)=aa+h a+(n 一 1)hb=f(b)，由端点介值定理和函数单调性，存在 ac 1c 2c n 一 1b，使得 f(c1)=a+h，f(c 2)=a+2h，f(c n 一 1)=a+(n 一 1)h，再由微分中值定理，得 f(c1)一 f(a)=f(1)(c1 一 a)， 1(a，c 1)，f(c
14、2)一 f(c1)=f(1)(c2 一 c1)， 2(c1，c 2)，f(b) 一 f(cn 一 1)=f(n)(b 一 cn 一 1)， n(cn 一1，b)，从而有【知识模块】 微积分16 【正确答案】 因为函数的一阶导数与其反函数的一阶导数互为倒数，所以 (y)= ，于是【知识模块】 微积分17 【正确答案】 由微分中值定理得 f(x)一 f(x0)=f()(x 一 x0)，其中 介于 x0 与 x之间，则=M，即 f(x0)=M【知识模块】 微积分18 【正确答案】 令 (x)=(x 一 1)2f(x)，显然 (x)在0，1上可导。由 f(0)=f(1)=0，根据罗尔定理，存在 c(0
15、，1)，使得 f(c)=0，再由 (c)=(1)=0，根据罗尔定理，存在 (c，1) (0，1)，使得 ()=0，而 (x)=2(x 一 1)f(x)+(x 一 1)2f“(x)，所以2( 一 1)f()+( 一 1)2f“()=0，整理得 f“()=【知识模块】 微积分19 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上连续，f(0)=0，f(1)=1，且 f(0) f(1) ，所以由端点介值定理，存在 c(0，1)，使得 f(c)= 由微分中值定理，存在(0， c)， (c，1) ，使得【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分20 【正确答案】 令 F(x)=axf(t)dt，则 F(x)在a，
16、b上连续，在(a ，b)内可导，且F(x)=f(x)故存在 c(a，b)，使得 abf(x)dx=F(b)一 F(a)=F(c)b 一 a)=f(c)(b 一 a)=0，即 f(c)=0【知识模块】 微积分21 【正确答案】 令 h(x)=exf(x)，因为 h(a)=h(c)=h(b)=0，所以由罗尔定理，存在1(a， c)， 2(c，b) ，使得 h(1)=h(2)=0， 而 h(x)=exf(x)+f(x)且 ex0，所以f(i)+f(i)=0(i=1，2)【知识模块】 微积分22 【正确答案】 令 (x)=e 一 xf(x)+f(x)，( 1)=(2)=0，由罗尔定理，存在(1， 2)
17、 (a，b) ，使得 ()=0，而 (x)=e 一 xf“(x)一 f(x)且 e 一 x0，所以 f()=f()【知识模块】 微积分23 【正确答案】 令 g(x)=e 一 xf(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0，由罗尔定理，存在 1(a，c) ，2(c，b)，使得 g(1)=g(2)=0而 g(x)2e7f(x)一 f(x)且 e0 ，所以 f(1)一f(1)=0，f( 2)一 f(2)=0令 (x)=e2nf(x)一 f(x)， (1)=(2)=0由罗尔定理，存在 (1， 2) (a，b)，使得 ()=0，而 (x)=e 一 2xf“(x)一 3f(x)+2f(x)且 e 一2x0
18、，所以 f()一 3f()+2f()=0【知识模块】 微积分24 【正确答案】 当 c=ai(i=1，2，n)时，对任意的 (a1，a n)，结论成立；设 c为异于 a1，a 2，a n 的数，不妨设 a1ca 2a n令构造辅助函数 (x)=f(x)=f(x 一 a1)(x 一 a2)(x一 an)，显然 (x)在【知识模块】 微积分25 【正确答案】 由泰勒公式得【知识模块】 微积分26 【正确答案】 因为 f(x)在区间0，1上连续，所以 f(x)在区间0，1上取到最大值 M 和最小值 m，对 f(x)一 f(0)=f(c)x(其中 f 介于 0 与 x 之间)两边积分得 01f(x)d
19、x=01f(c)xdx， 由 mf(c)M 得 m01xdx01f(c)xdxM01xdx， 即 m201f(c)xdxM或 m201f(x)dxM， 由介值定理，存在 0，1，使得 f()=201(x)dx【知识模块】 微积分27 【正确答案】 令当 x(0，e) 时，f(x)0；当 x(e，+)时，f(x) 0，则 x=e 为 f(x)的最大点，于是 的最大项为因为 所以最大项为【知识模块】 微积分28 【正确答案】 x 33xy+y3=3 两边对 x 求导得 3x23y 一 3xy+3y2y=0，因为 y“(一 1)=10，所以 x=一1 为极小点，极小值为 y(一 1)=1；因为 =1
20、0，所以 x= 为极大点，极大值为【知识模块】 微积分29 【正确答案】 因为 x01f(tx)dt=0xf(u)du，所以 f(x)+30xf(t)dt+2x01f(tx)dt+e 一 x=0可化为 f(x)+3 0xf(t)dt+20xf(t)dt+e 一 x=0， 两边对 x 求导得 f“(x)+3f(x)+2f(x)=e 一 x， 由 2+3+2=0 得 1=一 1， 2=一 2， 则方程 f“(x)+3f(x)+2f(x)=0 通解为 C1e 一 x+C2e一 2x 令 f“(x)+3f(x)+2f(x)=e 一 x 的一个特解为 y0=axe 一 x，代入得 a=1，则原方程的通解为 f(x)=C1e 一 x+C2e 一 2x+xe 一 x 由 f(0)=1， f(0)=一 1 得 C1=0，C 2=1，故原方程的解为 f(x)=e 一 2x+xe 一 x【知识模块】 微积分
