1、考研数学三（微积分）模拟试卷 80 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 y(x)是微分方程 y“+(x 一 1)y+x2y=ex 满足初始条件 y(0)=0，y(0)=1 的解，则( )（A）等于 1（B）等于 2（C）等于 0（D）不存在2 二阶常系数非齐次线性微分方程 y“一 2y一 3y 一(2x+1)e 一 x 的特解形式为( )（A）(ax+6)e 一 x（B） x2e 一 x（C） x2(ax+b)e 一 x（D）x(ax+b)e 一 x二、填空题3 设 y=y(x)满足 y= +o(x)，且有 y(1)=1，则 02y(x)dx=_4
2、 微分方程 y一 xe 一 y+ =0 的通解为_5 微分方程 yy“一 2(y)2=0 的通解为_6 微分方程 xy= +y(x0)的通解为_7 以 y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为 _8 设 y(x)为微分方程 y“一 4y+4y=0 满足初始条件 y(0)=1，y(0)=2 的特解，则 01y(x)dx=_9 差分方程 yt+1 一 2yt=32t 的通解为 y(t)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 对常数 p，讨论幂级数 的收敛域11 设 f(x)在区间a，b上满足 af(x)b，且有|f(x)|q1，令 u
3、n=f(un 一 1)(n=1，2，)，u 0a，b，证明：级数 (un+1 一 un)绝对收敛12 设 f(x)在( 一，+)内一阶连续可导，且 =1证明：收敛，而 发散13 设 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 绝对收敛14 设 y=y(x)满足 y=x+y，且满足 y(0)=1，讨论级数 的敛散性15 求幂级数 的收敛域16 求函数 f(x)=1n(1 一 x 一 2x2)的幂级数，并求出该幂级数的收敛域17 求幂级数 的和函数18 求幂级数 的和函数19 求幂级数20 求 的和21 设 f(x)的一个原函数为 F(x)，且 F(x)为方程 xy+y=ex 的满足 y(x)
4、=1 的解(1)求 F(x)关于 x 的幂级数；(2)求 的和22 将函数 f(x)=arctan 展开成 x 的幂级数23 设 f(x)= 且 a0=1，a n+1=an+n(n=0，1，2，)(1)求 f(x)满足的微分方程；(2)求24 设 un0，且 =q 存在证明：当 q1 时级数 un 收敛，当 q1 时级数 un 发散25 设级数 (an 一 an 一 1)收敛，且 bn 绝对收敛证明： anbn 绝对收敛26 设 an= tannxdx，对任意的参数 ，讨论级数 的敛散性，并证明你的结论26 设函数 f0(x)在(一，+)内连续，f n(x)=0xfn 一 1(t)dt(n=1
5、，2，) 证明：27 fn(x)= 0xf0(t)(z 一 t)n 一 1dt(n=1，2，) ；28 fn(x)绝对收敛29 设 a0=1，a 2=一 2，a 2= an(n2)证明：当|x|1 时，幂级数 anxn 收敛，并求其和函数 S(x)考研数学三（微积分）模拟试卷 80 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 微分方程有 y“+(x 一 1)y+x2y=ex 中，令 x=0，则 y“(0)=2，于是=1，选(A)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 方程 y“一 2y一 3y=(2x+1)e 一 x
6、的特征方程为 2 一 2 一 3=0，特征值为 1=一 1， 2 一 3，故方程 y“一 2y一 3y=(2x+1)e 一 x 的特解形式为 x(ax+b)e 一x，选(D)【知识模块】 微积分二、填空题3 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C 1x+C2【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 lnx+C 【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 0【试题解析】 特征值为 1=1， 2，3 =1i，特征方程为( 一 1)( 一 1+i)( 一 1 一 i)=0，即 3 一 32+4 一 2
7、=0，所求方程为 y“一 3y“+4y2y=0【知识模块】 微积分8 【正确答案】 (e2 一 1)【试题解析】 y“一 4y+4y=0 的通解为 y=(C1+C1x)e2x，由初始条件 y(0)=1，y(0)=2得 C1=1，C 2=0，则 y=e2x，于是【知识模块】 微积分9 【正确答案】 C2 t+ 2t【试题解析】 y t+1 一 2yt=0 的通解为 y(t)=C2t，f(t)=32 t，因为 2 为特征值，所以设特解为 yt*=at2t，代入原方程得 a= ，故原方程的通解为 y(t)=C2t+ 2t【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正
8、确答案】 由 =1，得幂级数的收敛半径为 R=1(1)当 p0 时，记q=一 p，则有 =+，因而当 x=1 时， 发散，此时幂级数的收敛域为(一 1，1) ； (2)当 0p 1 时，对 =+，所以 x=1 时，级数 发散，当 x=一 1 时， 显然收敛，此时幂级数的收敛域为一 1， 1)；(3)当 p1 时，对收敛，当 x=一 1 时， 显然绝对收敛，此时幂级数的收敛域为一 1，1【知识模块】 微积分11 【正确答案】 由|u n+1 一 un|=|f(un)一 f(un 一 1)|=|f(1)|un 一 un 一 1|q|un 一 un 一1q2|un 一 1 一 un 一 2|q n|
9、u1 一 u0|且 qn|un+1 一 un|收敛，于是 (un+1 一 un)绝对收敛【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 由 =0，得 f(0)=0，f(0)=0 由泰勒公式得 f(x)=f(0)+f(0)x+ 其中 介于 0 与 x 之间又 f“(x)在 x=0 的某邻域内连续，从而可以找到一个原点在其内部的闭区间，在此闭区间内有|f“(x)|M，其中 M0为 f“(x)在该闭区间上的界，所以对充分大的 n，有 因为绝对收敛【知识模块】 微积分14 【正确答案】 由 y=x+y 得 y“=1+y，再由 y(0)=1 得 y(0)=1，y“(0)=
10、2，根据麦克劳林公式，有【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 f(x)=1n(1 一 x 一 2x2)=1n(x+1)(1 一 2x)=1n(1+x)+ln(l 一 2x)，【知识模块】 微积分17 【正确答案】 级数 的收敛半径为 R=+，收敛区间为(一，+)【知识模块】 微积分18 【正确答案】 显然该幂级数的收敛区间为一 1，1，【知识模块】 微积分19 【正确答案】 由 =0，得收敛半径 R=+，该幂级数的收敛区间为(一，+)，【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 (1)由 xy+y=ex 得 解得【知
11、识模块】 微积分22 【正确答案】 由逐项可积性得【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 当 q1 时，取 0= 所以存在N0，当 nN 时，所以存在 N0，当 nN 时，【知识模块】 微积分25 【正确答案】 令 Sn=(a1 一 a0)+(a2 一 a1)+(an 一 an 一 1)，则 Sn=an=a0因为级数(an 一 an 一 1)收敛，所以 Sn 存在，设 Sn=S，则有 an=S+a0，即 an 存在，于是存在 M0，对一切的自然数 n 有|a n|M因为 bn 绝对收敛，所以正项级数 |bn|收敛，又 0|anbn|M|bn|，再由 M|
12、bn|收敛，根据正项级数的比较审敛法得 anbn|收敛，即级数 anbn 绝对收敛【知识模块】 微积分26 【正确答案】 【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分27 【正确答案】 n=1 时，f 1(x)=01f0(t)dt，等式成立；【知识模块】 微积分28 【正确答案】 对任意的 x(一 ，+) ，f 0(t)在0，x或x，0上连续，于是存在M0(M 与 x 有关)，使得|f 0(t)|M(t0，x或 tx，0)，于是因为|x|n 收敛，根据比较审敛法知 fn(x)绝对收敛【知识模块】 微积分29 【正确答案】 由 =1，得幂级数的收敛半径 R=1，所以当|x|1 时，幂级数 收敛由 an+1= (一 1)n(n+1)(n3)，所以【知识模块】 微积分
