1、考研数学三（微积分）模拟试卷 82 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f（ x）= 则 f（f（x）等于（ ）（A）0（B） 1（C）（D）2 设 f（ x）在 R 上连续，且 f（x）0，（x）在 R 上有定义，且有间断点，则下列陈述中正确的个数是（ ） f（x）必有间断点。 （x） 2 必有间断点。 f（x）没有间断点。（A）0（B） 1（C） 2（D）33 设 F（x）=g（x） （x），x=a 是 （x）的跳跃间断点，g（a ）存在，则g（a）=0，g （a）=0 是 F（x）在 x=a 处可导的（ ）（A）充分必要条件（B）充分非必要条
2、件（C）必要非充分条件（D）非充分非必要条件4 设 f（ x）在（0，+）内二阶可导，满足 f（0）=0，f“（x）0（x0），又设ba0，则 axb 时，恒有（ ）（A）af（x）xf（A）（B） bf（x）xf（b）（C） xf（x）bf（b）（D）xf （x）af（A）5 设 f（ x）具有二阶连续导数，且 f（1）=0 ， 则（ ）（A）f（1）是 f（x）的极大值（B） f（1）是 f（x）的极小值（C）（ 1，f（1）是曲线 f（x）的拐点坐标（D）f（1）不是 f（x）的极值，（ 1，f（l）也不是曲线 f（x）的拐点坐标6 设 f（ x）= 下述命题成立的是（ ）（A）f（x）
3、在 1，1上存在原函数（B）令 F（x）= 1xf（t）dt，则 f（0）存在（C） g（x）在1，1上存在原函数（D）g（0）存在7 由曲线 y= （0x）与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体体积为（ ）8 设 z= f（xy），其中函数 f 可微，则（A）2yf（xy ）（B） 2yf（xy）（C）（D）9 设函数 f（x，y）连续，则 12dxx2f（x，y）dy+ 12dxy4yf（x，y）dy=（ ）（A） 12dx14xf（x，y）dy（B） 12dxx4xf（x，y）dy（C） 12dx14xf（x，y）dy（D） 12dxy2f（x，y）dy10 如果级数 都
4、发散，则（ ）11 设 un=（ 1） n 则（ ）12 若 y=xex+x 是微分方程 y“2y+ay=bx+c 的解，则（ ）（A）a=1 ，b=1，c=1（B） a=1，b=1，c=2（C） a=3，b=3，c=0（D）a= 3， b=1，c=1二、填空题13 x表示不超过 x 的最大整数，则14 设 f（x）=x（x+l）（x+2）（x+n ），则 f（0）=_。15 曲线 处的切线方程为_。16 f（x ）=max|1,x 2|，则 1xf（t）dt=_ 。17 18 设 D=（x，y）x 2+y21，则 （x 2y）dxdy=_。19 级数 的和为_。20 微分方程 ydx+（x
5、一 3y2）dy=0 满足条件 y |x=1=1 的特解为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 设 f（x）= 求常数 a 与 b 的值，使 f（x）在（一，+ ）上处处连续。22 设 g（x）= 其中 f（x）在 x=0 处二阶可导，且f（0） =f（0）=1 。（）a，b 为何值时，g（x）在 x=0 处连续；（）a，b 为何值时，g（x）在 x=0 处可导。23 证明 1x1。24 25 设 f（x），g（x）在0，1上的导数连续，且 f（0）=0，f （x）0 ，g（x）0。证明对任何 a0，1，有 g（x）f（x）dx+f （ x）g（x）dxf（a）g（1）。
6、26 设 u=f（x，y，z）， （x 2，e y，z）=0，y=sinx，其中 f， 都具有一阶连续偏导数，且27 设 z=z（x，y）是由 x26xy+10y22yzz2+18=0 确定的函数，求 z=z（x，y）的极值点和极值。28 计算 其中 D=（x，y）|0yminx ，1x。29 求幂级数 的收敛区间。30 设 f（t ）连续并满足 f（t）=cos2t+f（s）sinsds，求 f（t ）。考研数学三（微积分）模拟试卷 82 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由题设可知|f（x）|1，因此 f（f（f（x）
7、 =1。故选 B。【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 错误。举例：设 （x）= f（x）=e x，则 f（x）=1 在 R 上处处连续。错误。举例：设 （x）= 则 （x） 2=9 在R 上处处连续。错误。举例：设 （x）=在 x=0 处间断。因此选A。【知识模块】 微积分3 【正确答案】 A【试题解析】 因 （x）在 x=a 处不可导，所以不能对 F（x）用乘积的求导法则，须用定义求 F（a）。题设下面证明若F（A）存在，则 g（A）=0。反证法，若 g（A）0，（x）= ，由商的求导法则，（x）在 x=a 可导，这与题设矛盾，则 g（A）=0 ，g（a）=0 是 F（x）
8、在x=a 处可导的充要条件。故选 A。【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 将 A，B 选项分别改写成或 xf（x）的单调性即可。又因令 g（x）=xf（x）一 f（x），则 g（0）=0，g（x）=xf“（ x）0（x0），那么 g（x）g（0）=0（ x0），故 在（0，+）内单调减小。所以当 axb 时，故选 B。【知识模块】 微积分5 【正确答案】 B【试题解析】 选取特殊 f（x）满足:f“ （x）= （x1） 2，如取 f（x）= （x1） 4，则 f（x）满足题中条件，f（x）在 x=1 处取极小值，而其余均不正确。故选B。【知识模块】 微积分6 【正确答案】 C
9、【试题解析】 由 =0=g（0）可知，g（x）在 x=0 处连续，所以 g（x）在1，1 上存在原函数。故选 C。以下说明 A、B、D 均不正确。=0 可知，x=0 是 f（x）的跳跃间断点，所以在包含 x=0 的区间上 f（x）不存在原函数。【知识模块】 微积分7 【正确答案】 B【试题解析】 由曲线 y=f（x）绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积计算公式，得Vx=02（x）dx= =0sin3xdx=（1cos 2x）dcosx故选 B。【知识模块】 微积分8 【正确答案】 A【试题解析】 先根据函数求出必要偏导数的表达形式，将结果代入应该选 A。【知识模块】 微积分9 【正确答案】 C【
10、试题解析】 12dxx2f（x，y）dy+ 12dyy4yf（x，y）dx 的积分区域为两部分（如图 144）： D1=（x，y）|1x2，xy2 ；D2=（ x，y） |1y2，yx4y，将其写成一个积分区域为 D=（x，y）|1y2，1x4y。故二重积分可以表示为 12dy14yf（x，y）dx ，故答案为 C。【知识模块】 微积分10 【正确答案】 D【试题解析】 由于 （|a n|+|bn|）必发散，故选 D。【知识模块】 微积分11 【正确答案】 C【试题解析】 un 收敛。【知识模块】 微积分12 【正确答案】 B【试题解析】 由于 y=xex+x 是方程 y“2y+ay=bx+c
11、 的解，则 xex 是对应的齐次方程的解，其特征方程有二重根 r1=r2=1，则 a=1。x 为非齐次方程的解，将 y=x 代入方程）y“2y+y=bx+c ，得 b=1，c=2，故选 B。【知识模块】 微积分二、填空题13 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 n!【试题解析】 由于 f（x）=（x+1）（x+2）（x+n）+x（x+2）（x+n）+（ x+1）（x+2）（ x+n1），所以 f（0）=n!。【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【试题解析】 在点 处的切线的斜率为 在曲线方程两端分别对 x 求导，得 因此所求的切线方程为【知识模块】 微积分
12、16 【正确答案】 【试题解析】 由题意可知 f（x）= 当 x1 时， 1xf（t）dt=11f（t）dt+ 1xf（t ）dt【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【试题解析】 由题意可知：【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【试题解析】 利用函数奇偶性及轮换对称性【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 x=y 2【试题解析】 对原微分方程变形可得 此方程为一阶线性微分方程，所以又 y=1 时x=1，解得 C=0，因此 x=y2。【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 当|x|1
13、时，【知识模块】 微积分22 【正确答案】 f“（0）一1，b=1 时，g（x）在 x=0 处可导。【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 0ag（x）f（x）dx=g（x）f （x）| 0a 一 0af（x）g （x）dx =f （0）g（a）一 0af（x）g （x） dx， 0ag（x）f （x）dx+ 01f（x）g （x）dx =f（A）g（a）一 0af（x）g （x） dx+01f（x）g（x）dx =f（A ）g（A ）+ 01f（x）g（x）dx， 由于 x0，1时，g（x）0，因此 f（x）g（
14、x）f（A）g （x），xa ，1 ，a1f（x）g（x）dx a1f（a）g（x）dx=f（a）g（1）g（a ）， 从而 g（x）f（x）dx+ 01f（x）g（x）dxf（a）g（A）+f （a）g（1）g（A ）=f（a）g（1）。【知识模块】 微积分26 【正确答案】 在等式 u=f（x，y，z ）的两端同时对 x 求导数，得到如下等式因此，可得【知识模块】 微积分27 【正确答案】 在方程 x26xy+10y22yzz2+18=0 的两端分别对 x，y 求偏导数，因此有将上式代入 x26xy+10y22yzz2+18=0，解得 再次对（1）（2）两式求偏导数，则有又 A= 0，故点（ 9，3）是 z（x，y）的极大值点，极大值为 z（9，3）= 3。【知识模块】 微积分28 【正确答案】 积分区域如图 1419 所示，在极坐标中【知识模块】 微积分29 【正确答案】 所以x（ 1，1）为级数的收敛区间。【知识模块】 微积分30 【正确答案】 因 f（t）连续，因此 f（s）sinsds 可导，从而 f（t）可导，于是利用公式f（t）=e sintdtf2sin2te sintdt+C，由 f（0）=1 得 C=e。因此，f（t ）=e 1cost+4（cost1）。【知识模块】 微积分
