1、考研数学三（微积分）模拟试卷 83 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列各式中正确的是（ ）2 设对任意的 x，总有 （x）f（x）g（x），且 g（x）（x）=0，则（A）存在且等于零（B）存在但不一定为零（C）一定不存在（D）不一定存在3 设 f（ x）在a，b可导，f（a）= ，则（ ）（A）f +（0） =0（B） f+（a）0（C） f+（A）0（D）f +（a）04 设 f（ x）在（1，1+）内存在导数，f （x）严格单调减少，且 f（1）=f（ 1） =1，则（ ）（A）在（1，1）和（1，1+ 内均有 f（x）x（B）在（ 1，1
2、）和（ 1，1+ 内均有 f（x）x（C）在（ 1，1）有 f（x）x，在（1，1+）内均有 f（x）x（D）在（1，1）有 f（x）x，在（1，1+ ）内均有 f（x）x5 已知 f（x）在 x=0 的某个邻域内连续，且 f（0）=0， =2，则在点x=0 处 f（x）（ ）（A）不可导（B）可导且 f（0）0（C）取得极大值（D）取得极小值6 若 f（ x）的导函数是 sinx，则 f（x）有一个原函数为（ ）（A）1+sinx（B） 1sinx（C） 1+cosx（D）1cosx7 方程 根的个数为（ ）（A）0（B） 1（C） 2（D）38 设可微函数 f（x，y）在点（x 0，y 0
3、）取得极小值，则下列结论正确的是（ ）（A）f（x 0，y）在 y=y0 处的导数大于零（B） f（x 0，y）在 y=y0 处的导数等于零（C） f（x 0，y）在 y=y0 处的导数小于零（D）f（x 0，y）在 y=y0 处的导数不存在9 交换积分次序 1edx0lnxf（x，y）dy 为（ ）（A） 0edy0lnxdyf（x，y） dx（B） 0edy0lnxdyf（x，y） dx（C） 0edy0lnxdyf（x，y） dx（D） 0edy0lnxdyf（x，y） dx10 已知级数 an 收敛，则下列级数中必收敛的是（ ）11 设幂级数的收敛半径为（ ）12 具有特解 y1=ex
4、，y 2=2xex，y 3=3ex 的三阶常系数齐次线性微分方程是（ ）（A）y“y“y+y=0（B） y“+y“yy=0（C） y“6y“+11y6y=0（D）y“2y“y+2y=0二、填空题13 数列 xn=14 已知 y=lnlnlnx，则 y=_。15 设 f（x）在 x=0 处连续，且 =2，则曲线 f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为_。16 设 a0，则 I=17 设二元函数 z=xex+y1+（x+1）ln（1+y），则出| （1，0） =_。18 交换积分次序 10dy21y（x，y）dx=_。19 在 x=1 处的泰勒展开式为_。20 微分方程 xy+y=0 满足条件
5、y（1）=1 的特解为 y=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 求函数 的间断点，并指出类型。22 设函数 f（x）在（一，+）上有定义，在区间0，2上，f（x）=x（x 24），若对任意的 x 都满足 f（x）=kf （x+2），其中 k 为常数。 （）写出 f（x）在2，0）上的表达式； （）问 k 为何值时，f（x）在 x=0 处可导。23 设 =1，且 f“（x）0，证明 f（x）x（x0）。24 求不定积分25 设曲线 y=ax2（x0，常数 a0）与曲线 y=1x2 交于点 A，过坐标原点 O 和点A 的直线与曲线 y=ax2 围成一平面图形 D，求： （）
6、D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V（a ）； （）a 的值，使 V（a）为最大。26 设 y=y（x ），z=z （x）是由方程 z=xf（x+y）和 F（x，y，z）=0 所确定的函数，其中 f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求27 已知 =x+2y+3，u（0，0）=1 ，求 u（x，y）及 u（x，y）的极值，并问此极值是极大值还是极小值？说明理由。28 29 （）验证函数 y（x）= （x+）满足微分方程y“+y+y=ex；（ ）求幂级数 y（x）= 的和函数。30 用变量代换 x=cost（0 t ）化简微分方程（1x 2）y“xy+y=0，并求其满足 y|
7、x=0=1，y| x=0=2 的特解。考研数学三（微积分）模拟试卷 83 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由重要极限结论 =e，可立即排除 B、D 。对于 A、C选项，只要验算其中之一即可。对于 C 选项，因=e1，故 C 不正确，选 A。【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 取 （x）=f （x）=g（x）=x，显然有 （x）f（x）g（x），且g（ x）（x）=0，但 g（x）一 （x）=0，但 =1，可见 C 也不正确，敬选 D。【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 由题设条件 f+
8、（a）= 0，故选 D。【知识模块】 微积分4 【正确答案】 A【试题解析】 f（x）在（1，1+）上严格单调减少，则 f（x）在（1，1+）是凸的，因此在此区间上，y=f（x）在点（1，1）处的切线为 yl=f（1）（x1），即 y=x 在此曲线的上方（除切点外）。因此 f（x）x（x（1 ，1+），x1）。【知识模块】 微积分5 【正确答案】 D【试题解析】 因当 x0 时，1cosx ，故极限条件等价于 =2。从而可取 f（ x）=x 2，显然满足题设条件。而 f（x）=x 2 在 x=0 处取得极小值，故选D。【知识模块】 微积分6 【正确答案】 B【试题解析】 由 f（x）=sinx
9、 ，得 f（x）=f（x）dx=sinxdx=cosx+C 1， 所以f（x）的原函数是 F （x） =f（x）dx=（一 cosx+C1）dx=sinx+C 1x+C2， 其中C1，C 2 为任意常数。令 C1=0，C 2=1 得 F（x）=1sinx。故选 B。【知识模块】 微积分7 【正确答案】 B【试题解析】 设 F（x）= 0x 则 F（x）在（一，+）内连续，又 F（0）= ，由零点定理得 F（x）=0 至少有一个根。又易知 且当 x（一，+）时，1（等号仅当 x=0 成立），又 1，1sinx1 ，所以有11，又 F（0）=10，因此 F（x）0，从而有 F（x）在（一，+）严格
10、单调递增，由此 F（x）=0 最多有一个实根。综上，F（x）=0 在（一，+ ）上有且仅有一个实根，故选 B。【知识模块】 微积分8 【正确答案】 B【试题解析】 因可微函数 f（x，y）在点（x 0，y 0）取得极小值，故有fx（x 0，y 0）=0，f y（x 0，y 0）=0。又由 f（x 0，y 0） f（x 0，y）| y=y0，可知 B 正确。【知识模块】 微积分9 【正确答案】 D【试题解析】 交换积分次序得 1edx0lnxf（x，y）dy= 01dyeyef（x，y）dx 。【知识模块】 微积分10 【正确答案】 D【试题解析】 由于 （a n+an+k）=an 去掉了前 k
11、 项，因此也收敛，故（a n+an+an+k）必收敛，应选 D。【知识模块】 微积分11 【正确答案】 A【试题解析】 设极限 都存在，则由题设条件可知【知识模块】 微积分12 【正确答案】 B【试题解析】 由 y1=ex，y 2=2xex，y 3=3ex 是所求方程的三个特解知，r=1，1，1 为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特征方程为（r1）（r+1） 2=0，即 r3+r2r1=0，对应的微分方程为 y“+y“yy=0，故选B【知识模块】 微积分二、填空题13 【正确答案】 【试题解析】 利用等价无穷小因子代换，【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 【
12、知识模块】 微积分15 【正确答案】 【试题解析】 当 x0 时，arcslnxx 由极限的运算法则可得所以曲线 f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【试题解析】 由题干可知，原式可化为【知识模块】 微积分17 【正确答案】 2edx+（e+2 ）dy【试题解析】 由已知 因此dz|（1， 0） =2edx+（e+2）dy。【知识模块】 微积分18 【正确答案】 12dx01xf（x，y）dy【试题解析】 由累次积分的内外层积分限可确定积分区域 D（如图 1411）：1y0，1yx2。则有 10dy1y2f（x，y）dx=交换积分次序 10dy21y
13、（x，y）dx= 12f（x，y）dx=一 12dx1x0f（x， y）dy= 12dx01xf（x，y）dy。【知识模块】 微积分19 【正确答案】 （1） n（x+1） n，（2 x0）【试题解析】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【试题解析】 由 两边积分，得 ln |y|=ln|x|+C，代入条件 y（1）=1，得 C=0。所以 y=【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 函数 f（x）的间断点只有 x=0 和 x=1。所以 x=0 为可去间断点，x=1 为跳跃间断点。【知识模块】 微积分22 【正确答案】 （）当2x0，即 0
14、x+2 2 时，则 f（x）=kf（x+2 ）=k（x+2） （x+2 ） 24=kx（x+2）（x+4），所以 f（x）在2，0）上的表达式为 f（x ）=kx（x+2）（x+4）。（）由题设知 f（0）=0。令 f（0）=f +（0），得 k= 时，f（x）在 x=0 处可导。【知识模块】 微积分23 【正确答案】 由 =0，所以 f（0）=0（因为 f“（x）存在，则 f（x）一定连续）。且 f（x）在 x=0 处展成一阶麦克劳林公式 因为 f“（x）0，所以 f“（ ）0，即 f（x）f（0）+f（0）x=x。【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案
15、】 由题意知，y=ax 2 与），=1x 2 的交点为 直线OA 的方程为 （）旋转体的体积当 a0时，得 V（a ）的唯一驻点 a=4。当 0a4 时，V（a ）0；当 a4 时，V（a）0。故 a=4 为 V（a）的唯一极大值点，即为最大值点。【知识模块】 微积分26 【正确答案】 分别在 z=xf（x+y）和 F（x，y， z）=0 的两端对 x 求导，得【知识模块】 微积分27 【正确答案】 由 =2x+y+1，有 u（X，y）=x 2+xy+x+（y），再结合=x+2y+3，有 x+（y） =x+2y+3，得 （y）=2y+3 ，（y）=y 2+3y+C。于是 u（x，y）=x 2+
16、xy+x+y2+3y+C。又由 M（0，0）=1 得 C=1，因此 u（x，y）=x2+xy+y2+x+3y+1。【知识模块】 微积分28 【正确答案】 【知识模块】 微积分29 【正确答案】 （）因为幂级数的收敛域是（x+ ），因而可在（一x+）上逐项求导数，得（）与 y“+y+y=ex 对应的齐次微分方程为 y“+y+y=0，其特征方程为 2+1=0，特征根为 1，2 = 因此齐次微分方程的通解为设非齐次微分方程的特解为 y*=Aex，将 y*代入方程 y“+y+y=ex 可得 因此，方程通解为当 x=0 时，有【知识模块】 微积分30 【正确答案】 解此微分方程，得 y=C1cost+C2sint=C1x+C2 将 y|x=0=1，y| x=0=2 代入，得C1=2，C 2=1。故满足条件的特解为 y=2x+【知识模块】 微积分
