1、考研数学三（微积分）模拟试卷 84 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f（ x）在（一，+）内有定义，且则（ ）（A）x=0 必是 g（x）的第一类间断点（B） x=0 必是 g（x）的第二类间断点（C） x=0 必是 g（x）的连续点（D）g（x）在点 x=0 处的连续性与 a 的取值有关2 设 =2，其中 a2+c20，则必有（ ）（A）b=4d（B） b=4d（C） a=4c（D）a= 4c3 设 =a，则（ ）（A）f（x）在 x=x0 处必可导且 f（x 0）=a（B） f（x）在 x=x0 处连续，但未必可导（C） f（x）在 x=x
2、0 处有极限但未必连续（D）以上结论都不对4 设0， 4区间上 y=f（x）的导函数的图形如图 121 所示，则 f（x）（ ）（A）在0 ，2 单调上升且为凸的，在 2，4 单调下降且为凹的（B）在 0，1，3 ，4单调下降，在1 ，3单调上升，在 0，2 是凹的，2，4是凸的（C）在 0，1，3 ，4单调下降，在1 ，3单调上升，在 0，2 是凸的，2，4是凹的（D）在0 ，2 单调上升且为凹的，在 2，4 单调下降且为凸的5 设 f（ x）有二阶连续导数，且 f（0）=0 ， =1，则（ ）（A）f（0）是 f（x）的极大值（B） f（0）是 f（x）的极小值（C）（ 0，f（0）是曲线
3、 y=f（x）的拐点（D）f（0）不是 f（x）的极值，（ 0，f（0）也不是曲线 y=f（x）的拐点6 设一元函数 f（x）有下列四条性质。f （x）在a，b连续； f（x）在a，b可积；f（x）在a，b存在原函数；f（x）在a，b可导。若用 表示可由性质 P 推出性质 Q，则有（ ）7 设函数 f（x，y）可微，且对任意 x，y 都有 0，则使不等式 f（ x1，y 1）f （x 2，y 2）成立的一个充分条件是（ ）（A）x 1x 2，y 1y 2（B） x1x 2，y 1y 2（C） x1x 2，y 1y 2（D）x 1x 2，y 1y 28 设函数 f（x）连续，若 F（u，）= 其
4、中区域 D为图 141中阴影部分，则（A）f（u 2）（B） f（u 2）（C） f（u）（D）9 设 an0（n=1，2，），且 an 收敛，常数 则级数（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与 有关10 在下列微分方程中，以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x（C 1，C 2，C 3 为任意常数）为通解的是（ ）（A）y“+y“ 4y4y=0（B） y“+y“+4y+4y=0（C） y“y“4y+4y=0（D）y“y“+4y4y=0二、填空题11 若 f（x）= 在（一，+）内连续，则 a=_。12 设函数 f（x）=13 曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直
5、的切线方程为_。14 15 16 设 z=z（x，y）由方程 z+ez=xy2 所确定，则出=_。17 18 若数列a n收敛，则级数 （a n+1an）_。19 将函数 展成 x 的幂级数为_。20 微分方程（y+x 3）dx 一 2xdy=0 满足 yx=|x=1= 的特解为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 求函数 的所有间断点及其类型。22 设 f（x）在（一，+）内有定义，且对于任意 x 与 y 均有 f（x+），）=f（x）e y+f（ y）e x，又设 f（0）存在且等于 a（a0），试证明对任意 x，f （x）都存在，并求 f（x）。23 设 eab e
6、 2，证明 ln2b 一 ln2a24 （）比较 01ln t| ln（1+t） ndt 与 01tn|Int|dt（n=1，2，）的大小，说明理由。（）记 un=01|ln t|ln（1+t） ndt（n=1，2，），求极限25 在 xOy 坐标平面上，连续曲线 L 过点 M（1，0 ），其上任意点 P（x，y）（x0）处的切线斜率与直线 OP 的斜率之差等于 ax（常数 a0）。（）求 L 的方程；（）当 L 与直线 y=ax 所围成平面图形的面积为 时，确定 a 的值。26 设 z=f（x，y），x=g （y，z）+ 其中 f，g， 在其定义域内均可微，求27 求曲线 x3xy+y3=1
7、（x0，y0）上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。28 计算二重积分 其中 D=（x，y）|0x1，0y1。29 设数列a n满足条件： a0=3，a 1=1，a n2 一 n，（n1）a n=0（n2）。S （x）是幂级数 anxn 的和函数。（ ）证明：S“ （x）一 S（x）=0；（）求 S（x）的表达式。30 利用代换 u=ycosx 将微分方程 y“cosx2ysinx+3ycosx=ex 化简，并求出原方程的通解。考研数学三（微积分）模拟试卷 84 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 又 g（0）=0，所
8、以当 a=0 时，有 此时 g（x）在点 x=0 处连续，当 a0 时，g（0），即 x=0 是 g（x）的第一类间断点。因此，g（x）在 x=0 处的连续性与 a 的取值有关，故选 D。【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 当 x0 时，由佩亚诺型余项的泰勒公式可知，tanx，ln（12x）均为 x 的一阶无穷小；而 1cosx，1 均为 x 的二阶无穷小，因此有故有 =2，即 a=4c，故选D。【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 本题需将 f（x）在 x=x0 处的左、右导数 f（x 0），f +（x 0）与在x=x0 处的左、右极限 但不能保证 f（ x
9、）在 x0 处可导，以及在 x=x0 处连续和极限存在。不存在，因此 f（x）在 x=0 处不连续，不可导。故选 D。【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 当 x（0， 1）或（3，4）时，f（x）0，那么 f（x）在0，1，3，4单调下降。当 x（ 1，3 ）时 f（x）0，那么 f（x）在1，3 单调上升。又 f（x）在0 ，2单调上升，那么 f（x）在0，2是凹的。f （x）在2 ，4单调下降，那么 f（x）在2 ，4 是凸的。故选 B。【知识模块】 微积分5 【正确答案】 B【试题解析】 根据极限的保号性，由 =1 可知，存在 x=0 的某邻域U（0），使对任意 xU（
10、0），都有 0，即 f“（c）0。从而函数 f（x）在该邻域内单调增加。于是当 x0 时，有 f（x） f（0）=0 ；当 x0 时，f（x）f （0）=0，由极值的第一判定定理可知 f（x）在 x=0 处取得极小值。故选 B。【知识模块】 微积分6 【正确答案】 C【试题解析】 这是讨论函数 f（x）在区间a，b上的可导性、连续性及可积性与原函数存在性间的关系问题。由 f（x）在a，b上可导f（x）在a，b可积且存在原函数。故选 C。【知识模块】 微积分7 【正确答案】 D【试题解析】 由 0，需对 x 和 y 分开考虑，则已知的两个不等式分别表示函数 f（x，y）关于变量 x 是单调递增的
11、，关于变量 y 是单调递减的。因此，当 x1x 2，y 1y 2 时，必有 f（x 1，y 1）f（x 2，y 1）f（x 2，y 2），故选 D。【知识模块】 微积分8 【正确答案】 A【试题解析】 题设图像中所示区域用极坐标表示为 0，1ru。因此可知根据变限积分求导可得 =f（u 2）。【知识模块】 微积分9 【正确答案】 A【试题解析】 利用比较法。因为而由正项级数a2n 收敛，再由比较法的极限形式知，原级数绝对收敛，故选A。【知识模块】 微积分10 【正确答案】 D【试题解析】 已知题设的微分方程的通解中含有 ex、cos2x、sin2x，可知齐次线性方程所对应的特征方程的特征根为
12、r=1，r=+2i，所以特征方程为 （r1）（r 2i）（r+2i）=0，即 r 3 一 r2+4r4=0。 因此根据微分方程和对应特征方程的关系，可知所求微分方程为 y“一 y“+4y4y=0。【知识模块】 微积分二、填空题11 【正确答案】 0【试题解析】 因为 f（x）在（一，0）及（0，+）内连续，所以需要确定数a，使 f（x）在 x=0 处连续。 f（x）在 x=0处连续，因此 a=0 时，f（x）在（一，+ ）内连续。【知识模块】 微积分12 【正确答案】 4【试题解析】 因为 |x=0=f（一 1）f （0），而当 x1 时，f（x）=2 ，因此 f（1）=f（0）=2，代入可得
13、 =4。【知识模块】 微积分13 【正确答案】 y=x1【试题解析】 由题干可知，所求切线的斜率为 1。由 y=（lnx）= =1，得 x=1，则切点为（1，0），故所求的切线方程为 y0=1（x1），即 y=x1。【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 ln2【试题解析】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 （y 2dx+2xydy）【试题解析】 方程两端对 x 求偏导，【知识模块】 微积分17 【正确答案】 1sin1【试题解析】 积分区域 D 如图 1412 所示【知识模块】 微积分18 【正确答案】 收敛【试题解析】 由题干知，
14、级数 （a n+1an）的部分和数列为 Sn=（a 2an）+（a 3a2）+（a n+1an）=a n+1a1，因为数列 an收敛，所以S n收敛。因此，级数 （a n+1+an）收敛。【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【试题解析】 对已知函数从 0 到 x 求积分，有【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【试题解析】 公式法。原方程变形为 由一阶线性微分方程通解公式得【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 函数 f（x）有间断点 x=0，x=1 ， x=1，且所以 x=0 为跳跃间断点， x=1 为可去间断点，x=1 为无穷间断点。
15、【知识模块】 微积分22 【正确答案】 将 x=y=0 代入 f（x+y ）=f （x）e y+f（y）e x，得 f（0）=0，为证明 f（x）存在，则由导数的定义=f（x）+f（0）ex=f（x）+ae x。所以对任意 x，f（x）都存在，且 f（x）=f（x）+ae x。解此一阶线性微分方程，得 f（x）=e fdxaexedx+C=ex（ax+C），又因 f（0）=0，得 C=0，所以 f（ x）=axe x。【知识模块】 微积分23 【正确答案】 对函数 y=ln2x 在a ，6上应用拉格朗日中值定理，得当 te 时，（ t）0，所以 （t）单调减少，从而有 （ ）（e 2），即【知
16、识模块】 微积分24 【正确答案】 （）令 f（t）=In（1+t）t。当 0t1 时，f（t）= 一10，故当 0t1 时，f （t）f（0）=0，即当 0t1 时，ln（2+t） n tn（n=1 ，2， ）。又由 llnt I 0 得 0xf|lnt|ln（1+t） ndt01tn|lnt|dt（n=1，2，）。（）由（）知，0u n=1x |lnt|ln（1+t） ndt 0xtn|lnt|dt，因为 01 lnt| dt=一0xtn（lnt）dt【知识模块】 微积分25 【正确答案】 （）设曲线 L 的方程为 y=f（x），则由题设可得这是一阶线性微分方程，其中 代入通解公式得 又
17、f（1）=0，所以C=a。故曲线 L 的方程为 y=ax2ax（x0）。（ ）L 与直线 y=ax（a 0）所围成平面图形如图 132 所示。 所以 D=ax（ax 2ax）dx， 故 a=2。【知识模块】 微积分26 【正确答案】 由 z=f（x，y），有 dz=f1dx+f2dy。【知识模块】 微积分27 【正确答案】 构造函数 L（x，y）=x 2+y2+（x 3xy+y31），令得唯一驻点 x=1，y=1，即 M1（1，1）。考虑边界上的点，M 2（0，1），M 3（1，0），距离函数 f（x，y）= 在三点的取值分别为 f（1，1）= ，f（0，1）=1，f（1，0）=1，因此可知最
18、长距离为 ，最短距离为 1。【知识模块】 微积分28 【正确答案】 D 是正方形区域（如图 1420）。因在 D 上被积函数分块表示为 于是要用分块积分法，用 y=x 将D 分成两块：D=D 1D2，D 1=Dyx，D 2=Dyx。则【知识模块】 微积分29 【正确答案】 （）证明：由题意得因为由已知条件得an=（n+1）（n+2）a n+2，（n=0 ，1，2，0），所以 S“（x）=S （x），即 S“（x）S（x）=0。（）S“（x）S（x）=0 为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为 21=0，从而 =+1，于是 S（x）=C 1ex+C2ex，由 S（0）=a 0=3，S（0）=a1=1，得 解得 C1=1，C 2=2，所以 S（x）=e x+2ex。【知识模块】 微积分30 【正确答案】 令 ycosx=u，则 y=usecx，从而y=usecx+usecxtanx，y“=u“secx+2usecxtanx+usecxtan 2x+usec3x代入原方程，得u“+4u=ex。这是一个二阶常系数非齐次线性方程，解得其通解为+C1cos2x+C2sin2x。代回到原来函数，则有y= +2C1slnx，其中 C1，C 2 为任意常数。【知识模块】 微积分
