1、考研数学三（微积分）模拟试卷 89 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 xa 时， f（x）与 g（x）分别是 xa 的 n 阶与 m 阶无穷小，则下列命题中，正确的个数是（ ）f（ x）g（x）是 xa 的 n+m 阶无穷小。若 nm ，则是 x 一 a 的 nm 阶无穷小。 若 nm，则 f（x）+g（x）是 xa 的 n 阶无穷小。（A）1（B） 2（C） 3（D）02 设 f（ x）=|（x1）（x2） 2（x3） 3|，则导数 f（x）不存在的点的个数是（ ）（A）0（B） 1（C） 2（D）33 设函数 f（x）在（一，+）存在二阶导数
2、，且 f（x）=f（x），当 x0 时有 f（x）0 ，f“ （x） 0，则当 x0 时，有（ ）（A）f（x） 0，f“ （x）0（B） f（x）0，f“ （x）0（C） f（x）0，f“ （x）0（D）f（x） 0，f“ （x）04 设 f（ x）在（一，+）可导，x 00，（x 0 f（x 0）是 y=f（x）的拐点，则（ ）（A）x 0 必是 f（x）的驻点（B）（ x0，f（x 0）必是 y=f（x）的拐点（C）（ x0，一 f（x 0）必是 y=一 f（x）的拐点（D）对任意的 xx 0 与 xx 0，y=f（x）的凹凸性相反5 设 f（ x）在a，b连续，则 f（x）在a，b非负
3、且在a ，b的任意子区间上不恒为零是 F（x）= axf（t）dt 在a，b 单调增加的（ ）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件6 已知 f（x 0，y 0）存在，则（A）f x（x 0，y 0）（B） 0（C） 2fx（x 0，y 0）（D） fx（x 0，y 0）7 设 I1= cos（x 2+y2） 2d，其中D=（x，y）|x 2+y21，则（ ）（A）I 3I 2 I1（B） I1I 2I 3（C） I2I 1I 3（D）I 3I 1 I28 设函数 f（t）连续，则二重积分 f（r 2） rdr=（ ）9 设 pn= n=1，2，则下列
4、命题正确的是（ ）二、填空题10 11 若函数 f（x）= 在 x=1 处连续且可导，那么a=_，b=_。12 13 设 y=y（x ）是由方程 2y32y2+2xyx2=1 确定的，则 y=y（x）的极值点是_。14 15 设函数 f（x）= 且 0，则 +xf（x）dx=_。16 设函数 则 dz|（1，1） =_。17 设平面区域 D 由直线 y=x，圆 x2+y2=2y 及 y 轴所围成，则二重积分18 幂级数 的收敛域为_。19 微分方程 的通解是_。20 微分方程（y+x 2ex）dxxdy=0 的通解为 y=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 求极限22
5、设 a 为常数，讨论方程 ex=ax2 的实根个数。23 设奇函数 f（x）在 1，1上具有二阶导数，且 f（1）=1，证明：（）存在 （0，1），使得 f（）=1 ；（）存在 （1，1），使得 f“（）+f （）=1。24 设 f（x）在a，b上有二阶连续导数，证明25 设 z=f（x+y，xy，xy），其中 f 具有二阶连续偏导数，求 dz 与26 已知函数 z=f（x，y）的全微分出=2xdx2ydy，并且 f（1，1）=2。求f（x， y）在椭圆域 D=（x，y）| x2+ 1上的最大值和最小值。27 计算二重积分 x（y+1）d，其中积分区域 D 是由 y 轴与曲线 y=所围成。28
6、 设有正项级数 是它的部分和。（）证明 收敛；（）判断级数 是条件收敛还是绝对收敛，并给予证明。29 将函数 f（x）= 展开成 x1 的幂级数，并指出其收敛区间。考研数学三（微积分）模拟试卷 89 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 此类问题要逐一进行分析，按无穷小阶的定义：关于：故 f（x ）g（x）是 xa 的 n+m 阶无穷小；关于：若 nm，故 f（x）/g（x）是 xa 的 nm 阶无穷小；关于：例如，x0 时，sinx 与x 均是 x 的一阶无穷小，但 即 sinx+（x）是 x 的三阶无穷小。因此， 正确，
7、错误。故选 B。【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 设 （x）=（x1）（x2） 2（x3） 3，则 f（x）=| （x）|。使（ x）=0 的点 x=1，x=2，x=3 可能是 f（x）的不可导点，还需考虑 （x）在这些点的值。（x）= （x2） 2（x3） 3+2（x1）（x2）（x3） 3+3（x1）（x2）2（x3） 3，显然，（1）0， （ 2）=0 ， （3）=0 ，所以只有一个不可导点 x=1，故选 B。【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 由 f（x）=f（x）可知，f（x）为偶函数，因可导偶函数的导函数是奇函数，可导奇函数的导函数是偶函数，即
8、 f（x）为奇函数，f“ （x）为偶函数，因此当 x0 时，有 f（x）0，f“（x）0，则当 x0 时，有 f（x）0，f“（x） 0。故选 C。【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 从几何意义上分析，y=f（x）与 y=f（x）的图形关于原点对称。x00，（x 0，f（x 0）是 y=f（x）的拐点，那么（ x0，f（x 0）是 y=一 f（x）的拐点。故选 B。【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【试题解析】 已知 g（x）在a，b上连续，在（a ，b）内可导，则 g（x）在a，b单调增加 g（x）0（x（a，b），在（a，b）内的任意子区间内g（x）0。因此，F（x
9、）= 0xf（t）dt（在a，b可导）在a，b 单调增加 F（x）=f（x）0（x（a，b）且在（a，b）内的任意子区间内 F（x）=f（x）0。故选 C。【知识模块】 微积分6 【正确答案】 C【试题解析】 由题意=fx（x 0，y）+fx（x 0，y）=2f x（x 0，y 0），故选 C。【知识模块】 微积分7 【正确答案】 A【试题解析】 在区域 D=（x，y）|x 2+y21上，有 0x2+y21，从而有cos（x 2+y2） 2d 故应选 A。【知识模块】 微积分8 【正确答案】 B【试题解析】 因为曲线 r=2 在直角坐标系中的方程为 x2+y2=4，而 r=2cos 在直角坐标
10、系中的方程为 x2+y2=2x，即（x1）2+y 2=1，因此根据直角坐标和极坐标之间二重积分的转化可得【知识模块】 微积分9 【正确答案】 B【试题解析】 若 |an|收敛，由级数绝对收敛的性质知 an 收敛。而 pn=再由收敛级数的运算性质知， 都收敛，故选 B。【知识模块】 微积分二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 将分子化简后，应用等价无穷小因子代换。易知【知识模块】 微积分11 【正确答案】 a=2，b=1【试题解析】 因 f（x）在 x=1 处连续，则 =f（1），即1=a+b。若函数 f（x）在 x=1 处可导，必须有 f（1）=f +（1）。由已知可得因此可得a=2，b
11、=1。【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 x=1【试题解析】 方程两边对 x 求导，可得 y（3y 22y+x）=xy，（*）令 y=0，有x=y，代入 2y32y2+2xyx2=1 中，可得（x1）（2x 2+x+1）=0。那么 x=1 是唯一的驻点。下面判断 x=1 是否为极值点：在（*）两端对 x 求导得 y“（3y 22y+x） +y（ 3y22y+x） x=1y ，把 x=y=1，y（1）=0 代入上式，得 y“（1）=0。故 y（x）只有极值点为 x=1，它是极小值点。【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 令
12、 x1=sint，则【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【试题解析】 已知 x0 时，函数值恒为 0，因此可得【知识模块】 微积分16 【正确答案】 （1+21n2）dx+ （12ln2）dy【试题解析】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【试题解析】 本题可以利用极坐标变换，【知识模块】 微积分18 【正确答案】 4，6）【试题解析】 幂级数的系数为 an= 则有因此，幂级数的收敛半径为R=1，其收敛区间为（4，6）。当 x=4 时，原级数为 收敛；当 x=6 时，原级数为 发散，故幂级数的收敛域是4，6）。【知识模块】 微积分19 【正确答案】 y=Cxe x（x0），C 为任意
13、常数【试题解析】 原方程等价为 两边积分得 lny=lnxx+C1。取C=eC1，整理得 y=Cxex（x0），C 为任意常数。【知识模块】 微积分20 【正确答案】 x（e x+C），C 为任意常数【试题解析】 微分方程（y+x 2ex）dxxdy=0 ，可变形为 =xex 所以其通解为 =x（e x+C），C为任意常数。【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 当 a0 时，显然无实根。以下讨论当 a0 时的情形，由题意知x=0 显然不是原方程的根， 当 x0 时，f（x）0；当 0 x2 时 f（ x
14、）0；当 x2 时 f（x）0。且所以当 a0 时 f（x）在区间（一 ，0）上有唯一实零点。又在区间（0，+）上，f min(x)=f(2)= -a。当 a 时，f（x）在区间（0，+）上无实数根；当 =a 时，f（x）在区间（0，+ ）上有唯一实数根；当 =+，f（x）在（0，+）上有两个实数根。综上所述，当 a0 时，f（x）=0 无实根；当 a 0 时，仅当 x0 时，f（x） =0 有唯一实根；当 =a 时，f（x）=0 仅有两个实根，一正一负；当 a 时，f（x） =0 恰有三个实根，一负两正。【知识模块】 微积分23 【正确答案】 （）令 F（x）=f （x）x，F（0）=f（0
15、）=0，F （1）=f（1）1=0，则由罗尔定理知，存在 （0，1）使得 F（）=0，即 f（）=1。（）令 G（x）=e xf（x）1，由（）知，存在 （0，1），使 G（ ）=0，又因为f（x）为奇函数故 f（x ）为偶函数，知 G（）=0 ，则存在 （一 ，）（1，1），使得 G （）=0，即 e（f（）1）+ee f“（ ）=0 ，f“ （）+f（ ）=1。【知识模块】 微积分24 【正确答案】 连续利用分部积分法有 abf（x）dx= abf（x）d（x 一 b）=f（a）（ba）一 abf（x）（x 一 b）d（x 一 a）=f （a）（ba）+ ab（xa）df（x）（xb）=f
16、 （ a）（b 一 a）+ abb（x 一 a）df（x）+ abbf“（x）（x 一 a）（x 一b）dx=f（a）（ba）+f（b）（ba）一 abf（x）clx+ abbf“（x）（x 一 a）（x 一b）dx，移项并整理后得 abf（x）dx= abf（x）dx+abbf“（x）（x 一 a）（x 一 b）dx。【知识模块】 微积分25 【正确答案】 由题意 =f1f2+xf3，所以=（f 1+f2+yf3）dx+ （f 1一 f2+xf3）dy， =f11“1+f 12“（1）+f 13“x+f 21“+f22“（1）+f 23“?x+f3“+y f31“1+f 32“（1）+f 3
17、3“?x=f3“+f11“f22“+xyf33“+（x+y ）f 13“+（xy）f 23“。【知识模块】 微积分26 【正确答案】 根据题意可知 =2y，于是 f（x，y）=x 2+C（y），且 C（y）= 2y，因此有 C（y）= 一 y2+C，由 f（ 1，1）=2，得 C=2，故f（x， y）=x 2 一 y2+2。=B2AC=4 0，所以点（0，0）不是极值点，也不可能是最值点。得可能极值点x=0，y=2，=4；x=0，y=2，=4；x=1 ，y=0，=1；x=1，y=0，=1。将其分别代入 f（x，y）得，（0，2）=2，f （1，0）=3，因此 z=f（x，y）在区域 D=（x，y）|x 2+ 1内的最大值为 3，最小值为一 2。【知识模块】 微积分27 【正确答案】 引入极坐标（r，）满足 x=rcos，y=rsin，在极坐标（r，）中积分区域 D 可表示为【知识模块】 微积分28 【正确答案】 （）设 Tn 为因正项级数的部分和数列 Sn 单调上升，将上式放缩由（）可知 收敛，再由比较原理知， 收敛，因此原级数绝对收敛。【知识模块】 微积分29 【正确答案】 【知识模块】 微积分
