1、考研数学三（微积分）模拟试卷 93 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f（x）=xsinx（ ）（A）当 x时为无穷大（B）在（一，+）内有界（C）在（一，+）内无界（D）当 x时极限存在2 设函数 f（x）=|x 31|（x），其中 （x）在 x=1 处连续，则 （1）=0 是f（x）在 x=1 处可导的（ ）（A）充分必要条件（B）必要但非充分条件（C）充分但非必要条件（D）既非充分也非必要条件3 设 f（ x）=x 2（x1）（x2），则 f（x）的零点个数为（ ）（A）0（B） 1（C） 2（D）34 设 y=f（x）是方程 y“2y+
2、4y=0 的一个解，且 f（x 0）0，f（x 0）=0 ，则函数f（x）在点 x0 处（ ）（A）取得极大值（B）取得极小值（C）某邻域内单调增加（D）某邻域内单调减少5 设 m，n 均是正整数，则反常积分 的收敛性（ ）（A）仅与 m 的取值有关（B）仅与 n 的取值有关（C）与 m，n 的取值都有关（D）与 m，n 的取值都无关6 函数 f（x，y）在（0，0）点可微的充分条件是（ ）7 设 f（ x，y）在 D:x2+y2a2 上连续，则（A）不一定存在（B）存在且等于 f（0，0）（C）存在且等于 f（0，0）（D）存在且等于8 设区域 D=（x，y）|x 2+y24，x0，y0f（
3、x）为 D 上的正值连续函数，a，b为常数，则（A）ab（B）（C）（ a+b）（D）9 设 a 是常数，则级数（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与 a 的取值有关10 已知 y1（x）和 y2（x）是方程 y+p（x）y=0 的两个不同的特解，则方程的通解为（ ）（A）y=Cy 1（x）（B） y=Cy2（x）（C） y=C1y1（x）+C 2y2（ x）（D）y=Cy 1（x）y 2（ x）二、填空题11 12 13 设 y=y（x ）由方程 x=1yx sln2 所确定，则 y“（0）=_。14 函数 f（x）=|4x 318x2+27 在区间0，2上的最小值为_，最大值
4、为_。15 16 曲线 y= 直线 x=2 及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体体积为_。17 设 其中函数 f（u）可微，则18 积分 02dxx2ey2=_。19 设幂级数 anxn 的收敛半径为 3，则幂级数 nan（x1） n+1 的收敛区间为_。20 微分方程 满足 y|x=1=1 的特解为_。21 二阶常系数非齐次线性方程 y“4y+3y=2e2x 的通解为 y=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 设函数 f（x）在 x=1 的某邻域内连续，且有求 f（1）及23 设函数 f（x）在 x=x0 处具有二阶导数，且 f（x 0）=0，f“（
5、x 0）0，证明当f“（x 0）0， f（x）在 x=x0 处取得极小值。24 设 f（x）在a，b上二阶可导，f（a）=f（b）=0。试证明至少存在一点（a，b）使25 设 f（x）在0 ，a 上有一阶连续导数，证明至少存在一点 0，a ，使得26 设函数 u=f（x，y）具有二阶连续偏导数，且满足等式=0，确定 a，b 的值，使等式通过变换 =x+ay，=x+by 可化简为27 计算二重积分 其中区域 D 由曲线 r=1+cos（0）与极轴围成。28 已知函数 f（x，y）具有二阶连续偏导数，且 f（1，y）=0，f（x，1）=0 ，。其中 D=（x，y）|0x1，0y1，计算二重积分 I
6、=29 求幂级数 n（n1） n 的收敛域及其在收敛域内的和函数。考研数学三（微积分）模拟试卷 93 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 令 xn=2n+ ，f（y n）=2n+，则 f（x n）=2n+ f（y n）=0 。因为 f（x n）=+， f（y n）=0，所以 f（x）在（ ，+）内无界，故选 C。【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 由于 由函数f（x）在 x=1 处可导的充分必要条件为 f（1）=f +（1），可得3（1）=3（1），即 （1）=0，故选 A。【知识模块】 微积分3 【正确答
7、案】 D【试题解析】 因为 f（0）=f（1）=f（2）=0，由罗尔定理知至少有 1（0，1），2（1，2）使 f（ 1）=f（ 2）=0 ，所以 f（x）至少有两个零点。又 f（x）中含有因子 x，故 x=0 也是（x）的零点，故选 D。【知识模块】 微积分4 【正确答案】 A【试题解析】 由 f（x 0）=0 知，x=x 0 是函数 y=f（x）的驻点。将 x=x0 代入方程，得 y“ （ x0）2y（x 0）+4y（x 0）=0。 由于 y（x 0）=f（x 0）=0 ，y“ （x 0）=f“（x 0），y（x 0）=f（x 0）0，因此有 f “（x 0）= 4f（x 0）0，由极值的
8、第二判定定理知，f（x）在点 x0 处取得极大值，故选 A。【知识模块】 微积分5 【正确答案】 D【试题解析】 显然 x=0，x=1 是两个瑕点，有对于的瑕点 x=0，当 x0 +时【知识模块】 微积分6 【正确答案】 D【试题解析】 由可知，f（x， y）的两个一阶偏导数 fx（x，y）和 fy（x， y）在（0，0）点连续，因此f（x， y）在（0，0）点可微。故选 D。【知识模块】 微积分7 【正确答案】 C【试题解析】 由积分中值定理知【知识模块】 微积分8 【正确答案】 D【试题解析】 由根据轮换对称性可得因此正确选项为 D。【知识模块】 微积分9 【正确答案】 C【试题解析】 由
9、于发散，则 发散。故选 C。【知识模块】 微积分10 【正确答案】 D【试题解析】 由于 y1（x）和 y2（x）是方程 y+p（x）y=0 的两个不同的特解，则y1（x）y 2（x）为该方程的一个非零解，则 y=Cy1（x）y 2（x）为该方程的解。【知识模块】 微积分二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 先考查 （x）的可导性并进行求导。（x）在 x=0 处的左导数为（x）在 x=0 处的右导数为【知识模块】 微积分13 【正确答案】 2【试题解析】 将 x=0 代入方程 x=1yxsin2 可得 y=1，即 y（0）=1 。在方
10、程两边对 x 求导，得所以 y“（0）=2。【知识模块】 微积分14 【正确答案】 0；27【试题解析】 令 （x）=4x 3l8x2+27，则所以 （x）在0，2单调递减， （0）=27，（2） =13，根据介值定理，存在唯一 x0（0，2），（x 0）=0，且f（0） =27，f（x 0）=0，f（2）=13。因此，f（x）在0，2上的最小值为 0，最大值为 27。【知识模块】 微积分15 【正确答案】 0【试题解析】 令 In=exsinn，xdx= exsinnx+n excosnxdx=一 exsinnxnexcosnxn2In。所以【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【试题解析
11、】 由体积公式【知识模块】 微积分17 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 （1e 4）【试题解析】 如图 1 一 414 积分区域，则 02dxx2ey2dy=02dy0yey2dx=02yey2dy【知识模块】 微积分19 【正确答案】 （2，4）【试题解析】 根据幂级数的性质对原幂级数逐项求导后，得nanxn1，其收敛半径不变，因此有nanxn1，其收敛区间为 |x1|3，即（2，4）。【知识模块】 微积分20 【正确答案】 ，xe 1【试题解析】 令 u= 则原方程变为【知识模块】 微积分21 【正确答案】 y=C 1ex+C2e3x 一 2e2x，C
12、 1，C 2 为任意常数【试题解析】 特征方程为 r24r+3=0，解得 r1=1，r 2=3。 则对应齐次线性微分方程 y“4y+3y=0 的通解为 y=C1ex+C2e3x。 设非齐次线性微分方程 y“4y+3y=2e2x的特解为 y*=ke2x，代入非齐次方程可得 k=2。 故通解为 y=C 1ex+C2e3x 一2e2x，C 1，C 2 为任意常数。【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 由已知条件得 f（x+1 ）+1+3sin 2x=0，因此有 f（x）+1）+3sin2x=f（1）+0=0 ，故 f（1）=0。又因为在 x=0 的
13、某空心邻域内 f（x+1）+3sin2x0，现利用等价无穷小替换：当 x0 时， ln1+f（x+1）+3sin2xf （x+1）+3sin 2x，【知识模块】 微积分23 【正确答案】 由题设 f“（x 0）0，且由导数的定义可知则对于 x0 的去心邻域（x 0 一，x 0）（x 0，x 0+）（0），有 当 x（x 0 一 ，x 0）时，xx00，则有 f（x）0；当 x（x 0，x 0+）时，xx 00，则有 f（x） 0。由第一充分条件可知，f（x）在点 x0 处取得极小值。【知识模块】 微积分24 【正确答案】 设 z=x0 处|f （x）|最大，则有 f（x 0）=0。由 f（A）
14、=0，f（b）=0有 0=f（A）=f（x 0）+f（x 0）（ax 0）+ （a x0） 2，当且仅当x0= 时，不等式中的等号成立。故存在 使得【知识模块】 微积分25 【正确答案】 等式右端 0af（x）dx= 0af（x）d（x 一 a）=（xa）f（x）| 0a 一0a（ xa）f（x）dx=af（0）一 0a（xa）f （x）dx 因为 f（x）连续，xa0（x 0， a），故由积分中值定理知，至少存在一点 0，a，使得 0a（x 一a）f （x）dx=f（） 0a（ x 一 a）dx= 于是 0af（x）dx=af（0）+【知识模块】 微积分26 【正确答案】 根据已知将相关表达
15、式分别代入等式，可得根据 10ab+12（a+b）+80，舍去 因此可知 a=2，b=b=2。【知识模块】 微积分27 【正确答案】 【知识模块】 微积分28 【正确答案】 将二重积分 转化为累次积分可得首先考虑 01xyfxy“（x，y）dx，注意这里把变量 y 看作常数，故有 01xyfxy“（x，y）dx=y 01xdfxy（x，y）=01xyfy（x， y）| 01 一 01yfy（x，y） dx=yf y（1，y） 01yfy（x，y）dx 由f（1， y）=f（ x，1）=0 易知，f y（1，y）=，f y（ x，1）=0 。所以 01xyfxy“（x，y）dx=一 yfy（x，
16、y）dx 因此 xyfxy“（x，y）dxdy= 01dy01xyfxy“（x，y）dx= 01dy01yfy （x，y）dx，对该积分交换积分次序可得， 01dy01yfy（x，y）dx=01 dx01yfy（x，y ）dy 再考虑积分 01yfy（x，y）dy，注意这里把变量 x 看作常数，故有 01yfy（x，y）dy= 01ydf（x，y）=yf（x，y） | 01 一 01f（x，y）dy=01f（x，y）dy ，【知识模块】 微积分29 【正确答案】 由于 =1，所以|x 1|1，即 0x2，当 x=0 和 x=2时幂级数变为 均发散，故原级数的收敛域为（0，2）。【知识模块】 微积分
