1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 28 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 X 和 Y 为相互独立的连续型随机变量，它们的密度函数分别为 f1(x)，f 2(x)，它们的分布函数分别为 F1(x)，F 2(x)，则( )（A）f 1(x)+f2(x)为某一随机变量的密度函数（B） f1(x)f2(x)为某一随机变量的密度函数（C） F1(x)+F2(x)为某一随机变量的分布函数（D）F 1(x)F2(x)为某一随机变量的分布函数2 设连续型随机变量 X 的密度函数为 f(x)，分布函数为 F(x)如果随机变量 X 与一 X 分布函数相同，则( )（A
2、）F(x)=F( 一 x)（B） F(x)=一 F(一 x)（C） f(x)=f(一 x)（D）f(x)=一 f(一 x)3 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= (a0，A 为常数)，则PaX a+b)的值( )（A）与 b 无关，且随 a 的增加而增加（B）与 b 无关，且随 a 的增加而减少（C）与 a 无关，且随 b 的增加而增加（D）与 a 无关，且随 b 的增加而减少4 设随机变量 XN(， 2)，则 P(|X 一 |2)( )（A）与 及 2 都无关（B）与 有关，与 2 无关（C）与 无关，与 2 有关（D）与 及 2 都有关5 设 XN(，4 2)，yN(，5 2)，令
3、p 一 P(X 一 4)，q 一 P(Y+5)，则( )（A）pq（B） pq（C） p=q（D）p，q 的大小由 的取值确定6 设随机变量 XN(， 2)，其分布函数为 F(x)，则对任意常数 a，有( )（A）F(a+)+F(a 一 )=1（B） F(+a)+F( 一 a)=1（C） F(a)+F(一 a)=1（D）F(a )+F( 一 a)=17 设随机变量 XU1，7，则方程 x2+2Xx+9=0 有实根的概率为( )（A）（B）（C）（D）0二、填空题8 设随机变量 X 的分布律为 X ，则 c=_9 设随机变量 XN(， 2)，且方程 x2+4x+X=0 无实根的概率为 ，则=_1
4、0 设 XB(2，p)，YB(3，p)，且 P(X1)= ，则 P(Y1)=_11 设 XN(2， 2)，且 P(2X4)=04，则 P(X0)=_12 设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且 P(X=0)= P(X 一 1)，则 P(X1)=_13 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，且 E(X 一 1)(X+2)=8，则=_14 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= ，若 PX1= ，则a=_15 一工人同时独立制造三个零件，第 k 个零件不合格的概率为 (k=1，2，3)，以随机变量 X 表示三个零件中不合格的零件个数，则 P(X=2)=_16 设随机变量 X 的分布律为 X
5、 ，则 Y=X2+2 的分布律为_17 设随机变量 XN(0，1)，且 Y=9X2，则 Y 的密度函数为_18 设随机变量 X 的概率密度函数为 fX(x)= ，则 Y=2X 的密度函数为 fY(y)=_19 设离散型随机变量 X 的分布函数为 则Y=X2+1 的分布函数为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 10 件产品有 3 件次品，7 件正品，每次从中任取一件，取后不放回，求下列事件的概率：20 第三次取得次品；21 第三次才取得次品；22 已知前两次没有取到次品，第三次取得次品；23 不超过三次取到次品24 一批产品有 10 个正品 2 个次品，任意抽取两次，每次取
6、一个，抽取后不放回，求第二次抽取次品的概率25 甲、乙、丙厂生产产品所占的比重分别为 60，25，15，次品率分别为3，5，8，求任取一件产品是次品的概率26 现有三个箱子，第一个箱子有 4 个红球，3 个白球；第二个箱子有 3 个红球，3个白球；第三个箱子有 3 个红球，5 个白球；先取一只箱子，再从中取一只球(1)求取到白球的概率；(2)若取到红球，求红球是从第二个箱子中取出的概率27 设一汽车沿街道行驶，需要经过三个有红绿灯的路口，每个信号灯显示是相互独立的，且红绿灯显示时间相等，以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求 X 的分布28 设袋中有 5 个球，其中 3 个新球，
7、2 个旧球，从中任取 3 个球，用 X 表示 3 个球中的新球个数，求 X 的分布律与分布函数29 设总体 X 的密度函数为 f(x)= 为未知参数，a0 为已知参数，求 的极大似然估计量考研数学三（概率统计）模拟试卷 28 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 可积函数 f(x)为随机变量的密度函数，则 f(x)0 且 一 +f(x)dx=1，显然(A)不对，取两个服从均匀分布的连续型随机变量的密度函数验证，(B)显然不对，又函数 F(x)为分布函数必须满足： (1)0F(x)1；(2)F(x)单调不减；(3)F(x)右连续
8、；(4)F(一)=0，F(+)=1，显然选择 (D)【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 C【试题解析】 F X(x)=P(Xx)=一 +f(t)dt， F 一 X(x)=P(一 Xx)=P(X一 x)=1 一P(X一 x)=1 一 一 一 xf(t)dt， 因为 X 与一 X 有相同的分布函数，所以 一 xf(t)dt=一1 一 一 一 xf(t)dt，两边求导数，得 f(x)=f(一 x)，正确答案为(C)【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 一 +f(x)dx=1，所以 a+Ae 一 xdx=1，解得 A=ea由P(aXa+b)= aa+bf(x)dx=aa+b
9、eae 一 xdx=一 eaex|aa+b=1 一 eb，得 P(aXa+b) 与 a无关，且随 b 的增加而增加，正确答案为 (C)【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 A【试题解析】 因为 P(|X 一 |2)=P(一 2X 一 2)=(2)一 (一 2)为常数，所以应该选(A)【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 C【试题解析】 由 p=P(X 一 4)=P(X 一 一 4)= =(一 1)=1 一(1)，q=P(Y+5)=P(Y 一 5)= =1 一 (1)，得 p=q，选(C)【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 B【试题解析】 因为 XN(， 2)，所以 F(a+)+F( 一
10、 a)=1，选(B)【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 C【试题解析】 Xf(x)= 方程 x2+2Xx+9=0 有实根的充要条件为=4X2 一 360 X29P(X 29)=1 一 P(X29)=1 一 P(1X 3)=【知识模块】 概率统计二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 由 c 一 c2+c+ =1 得 c= 【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 4【试题解析】 因为方程 x2+4x+X=0 无实根，所以 16 一 4X0，即 X4由xN(， 2)且 P(x4)= ，得 =4【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 【试题解析】 由 P(X1)= =1 一 P(X=0)=1
11、 一(1 一 p)2 得 p= P(Y1)=1 一(1 一p)3=1 一【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 01【试题解析】 【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 1 一 e 一 2【试题解析】 X 的分布律为 P(X=k)= (k=0，1，2，)，P(X1)=1 一 P(X=0)=1 一 e 一 2【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 【试题解析】 由随机变量 X 服从参数为 的指数分布，得 E(X)=于是 E(X2)=D(X)+E(X)2= 而 E(X 一 1)(X+2)=E(X2)+E(X)一 2= 一 2=8，解得 = 【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 2【试题解
12、析】 PX1= 1af(x)dx= ，则 a=2【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 【试题解析】 令 Ak=第 k 个零件不合格(k=1，2，3)，【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 【试题解析】 Y 的可能取值为 2，3，6，P(Y=6)=P(X=一 2)+P(X=2)= 则 Y 的分布律为【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 【试题解析】 F Y(y)=P(Yy)=P(9X2y)当 y0 时，F Y(y)=0；当 y0 时，F Y(y)=P(Yy)=P(9X2y)= 所以随机变量 y 的密度函数为 fY(y)=【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模
13、块】 概率统计19 【正确答案】 【试题解析】 X 的分布律为 Y 的可能取值为1，2，10，P(Y=1)=P(X=0)= ，P(y=2)=P(X=1)= ，P(Y=10)=P(X=3)= ，于是Y 的分布函数为【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 设 Ai=第 i 次取到次品)(i=1，2，3)P(A 3)=【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 (试验还没有开始，计算前两次都取不到次品，且第三次取到次品的概率)【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 (已知前两次已发生的结果，唯一不确定的就是第三次)【知识模块】
14、 概率统计23 【正确答案】 P(A 1+A2+A3)=1 一P(A1+A2+A3)=1 一【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 令 A1=第一次抽取正品 ，A 2=第一次抽取次品，B=第二次抽取次品 ，P(A 1)= ，P(A 2)= P(B|A1)= ，P(B|A 2)= ，由全概率公式得 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 令 A1=抽取到甲厂产品 ，A 2=抽取到乙厂产品，A 3=抽取到丙厂产品 ， B=抽取到次品，P(A 1)=06，P(A 2)=025，P(A 3)=015，P(B|A 1)=003 ，P(B|
15、A 2)=005，P(B|A 3)=008，由全概率公式得 P(B)= P(Ai)P【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 设 Ai=取到的是第 i 只箱子)(i=1，2，3)，B=取到白球(1)P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 X i= (i=1，2，3)，则 X 的可能取值为0，1，2，3P(X=0)=P(X 1=1)= ，P(X=1)=P(X 1=0，X 2=1)= P(X=2)=P(X1=0，X 2=0，X 3=1)= P(X=3)=P(X1=0，X 2=0，X 3=0)= 所以 X 的分布律为X【知识模块】 概率统计28 【正确答案】 X 的可能取值为 1，2，3，所以 X 的分布律为 X ，分布函数为 Fx(x)=【知识模块】 概率统计29 【正确答案】 L()=f(x 1)f(x2)f(xn)=得参数 的极大似然估计量为【知识模块】 概率统计
