1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 40 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 X 和 Y 为相互独立的连续型随机变量，它们的密度函数分别为 f1(x)，f 2(x)，它们的分布函数分别为 F1(x)，F 2(x)，则( )（A）f 1(x)+f2(x)为某一随机变量的密度函数（B） f1(x)f2(x)为某一随机变量的密度函数（C） F1(x)+F2(x)为某一随机变量的分布函数（D）F 1(x)F2(x)为某一随机变量的分布函数2 设连续型随机变量 X 的密度函数为 f(x)，分布函数为 F(x)如果随机变量 X 与一 X 分布函数相同，则( )（A
2、）F(x)=F( x)（B） F(x)=F(x)（C） f(x)=f(x)（D）f(x)=f( x)3 设随机变量 X 的密度函数为 则PaX a+b的值( )（A）与 b 无关，且随 a 的增加而增加（B）与 b 无关，且随 a 的增加而减少（C）与 a 无关，且随 b 的增加而增加（D）与 a 无关，且随 b 的增加而减少4 设随机变量 XN(， 2)，则 P(|X|2)( )（A）与 及 2 都无关（B）与 有关，与 2 无关（C）与 无关，与 2 有关（D）与 及 2 都有关5 设 XN(，4 2)，YN(，5 2)，令 p=P(X4)，q=P(y+5) ，则( )（A）pq（B） p
3、q（C） p=q（D）p，q 的大小由 的取值确定6 设随机变量XN(， 2)，其分布函数为 F(x)，则对任意常数 a，有( )（A）F(a+)+F(a)=1（B） F(+a)+F(a)=1（C） F(a)+F(a)=1（D）F(a )+F(a)=1二、填空题7 从 n 阶行列式的展开式中任取一项，此项不含 a11 的概率为 则n=_8 设一次试验中，出现事件 A 的概率为 p，则 n 次试验中 A 至少发生一次的概率为_，A 至多发生一次的概率为_ 9 设随机变量 X 的分布律为 则 c=_10 设随机变量 XN(， 2)，且方程 x2+4x+X=0 无实根的概率为 则=_11 设 XB(
4、2，p)，YB(3，p)，且 则 P(Y1)=_12 设 XN(2， 2)，且 P(2X4)=04，则 P(X0)=_13 设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且 P(X=0)= P(X=1)，则 P(X1)=_14 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，且 E(X 一 1)(X+2)=8，则=_15 设随机变量 X 的密度函数为则 a=_，16 一工人同时独立制造 3 个零件，第 k 个零件不合格的概率为以随机变量 X 表示 3 个零件中不合格的零件个数，则 P(X=2)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 一批产品有 10 个正品 2 个次品，任意抽取两次，每次
5、取一个，抽取后不放回，求第二次抽取次品的概率18 甲、乙、丙厂生产产品所占的比重分别为 60，25，15，次品率分别为3，5，8，求任取一件产品是次品的概率18 现有三个箱子，第一个箱子有 4 个红球，3 个白球；第二个箱子有 3 个红球，3个白球；第三个箱子有 3 个红球，5 个白球；先取一只箱子，再从中取一只球19 求取到白球的概率；20 若取到红球，求红球是从第二个箱子中取出的概率21 设一汽车沿街道行驶，需要经过三个有红绿灯的路口，每个信号灯显示是相互独立的，且红绿灯显示时间相等，以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求 X 的分布22 设袋中有 5 个球，其中 3 个新球
6、，2 个旧球，从中任取 3 个球，用 X 表示 3 个球中的新球个数，求 X 的分布律与分布函数22 设23 求 F(x)；24 求25 设 X 的密度函数为 若 求 k 的取值范围25 有三个盒子，第一个盒子有 4 个红球 1 个黑球，第二个盒子有 3 个红球 2 个黑球，第三个盒子有 2 个红球 3 个黑球，如果任取一个盒子，从中任取 3 个球，以X 表示红球个数26 写出 X 的分布律；27 求所取到的红球数不少于 2 个的概率27 设连续型随机变量 X 的分布函数为28 求常数 A，B；29 求 X 的密度函数 f(x)；30 求30 设随机变量 X 的密度函数为31 求常数 A；32
7、 求 X 在 内的概率；33 求 X 的分布函数 F(x)考研数学三（概率统计）模拟试卷 40 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 可积函数 f(x)为随机变量的密度函数，则 f(x)0 且 显然(A)不对，取两个服从均匀分布的连续型随机变量的密度函数验证，B 显然不对，又函数 F(x)为分布函数必须满足： (1)0F(x)1； (2)F(x)单调不减； (3)F(x)右连续；(4)F(一)=0，F(+)=1，显然选择 D【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 C【试题解析】 FX(x)=P(一 Xx)=P(X一 x)=1
8、一P(X一 x)= 因为 X 与一 X 有相同的分布函数，所以两边求导数，得 f(x)=f(一 x)，正确答案为 C【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 所以 解得 A=ea 由得P(aXa+b)与 a 无关，且随 b 的增加而增加，选 C【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 A【试题解析】 因为 P(|X 一 |2)=P(一 2X2)= =(2)(2)为常数，选 A.【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 C【试题解析】 由 p=P(X 一 4)=P(X 一 一 4)= =(一 1)=1 一 (1)，q=P(y+5)=P(Y 一 5)= =1 一 (1)，得 p=q
9、，选(C)【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 B【试题解析】 因为 XN(， 2)，所以选(B)【知识模块】 概率统计二、填空题7 【正确答案】 n 阶行列式有 n!项，不含 a11 的项有 (n 一 1)(n 一 1)!个，则则 n=9【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 令 B=A 至少发生一次，则 P(B)=1 一 Cn0p0(1 一 p)n=1 一(1 一 p)n， 令 C=A 至多发生一次 ， 则 P(C)=Cn0p0(1 一 p)n+Cn1p(1 一 p)n-1=(1 一 p)n-11+(n一 1)p【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 【知识模块】 概率统计10 【正确答
10、案】 因为方程 x2+4x+x=0 无实根，所以 164X0，即 X4 由XN(， 2)且 P(X4)= 得 =4【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 由【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 由 得 【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 X 的分布律为 由 P(X=0)= P(X=1)得 =2， P(X1)=1 一 P(X=0)=1 一 e-2【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 由随机变量 X 服从参数为 的指数分布，得于是 E(X2)=D(X)+E(X)2= 而 E(X 一 1)(X+2)=E(X2)+E(X)一 2= 解得【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 则 a=
11、2【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 令 Ak=第 k 个零件不合格)(k=1 ，2，3)， 则【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 令 A1=第一次抽取正品 ，A 2=第一次抽取次品)，B=第二次抽取次品 ， 由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 令 A1=抽取到甲厂产品 ，A 2=抽取到乙厂产品)，A 3=抽取到丙厂产品)，B=抽取到次品 ，P(A 1)=06，P(A 2)=025，P(A 3)=015， P(B|A 1)=003 ，P(B|A 2)=
12、005，P(B|A 3)=008， 由全概率公式得 P(B)= P(Ai)P(B|Ai)=06003+0250 05+015008=425【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 设 Ai=取到的是第 i 只箱子(i=1，2，3)，B=取到白球 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) 【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 则 X 的可能取值为0，1，2，3 P(X=0)=P(X 1=1)= P(X=1)=P(X1=0，X 2=1)= P(X=2)=P(X1=0，X 2=0，X 3
13、=1)= P(X=3)=P(X1=0，X 2=0，X 3=0)= 所以 X 的分布律为【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 X 的可能取值为 1，2，3， 所以 X 的分布律为 分布函数为【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 当 x一 1 时，F(x)=0； 当一1x0 时， 当 0x1 时，当 x1 时，F(x)=1 【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 显然 k6，当 3k6 时， 当 1k3 时， 当 0k1 时，当 k0 时，P(Xk)=1，所以1k3【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计26 【正确答案
14、】 令 Ak=所取的为第 k 个盒子(k=1，2，3)，X 的可能取值为 0，1，2， 3，P(X=0)=P(X=0|A 3)P(A3)=P(X=1)=P(X=1|A2P(A2)+P(X=1|A3)P(A3) P(X=2)=P(X=2|A1)P(A1)+P(X=2|A2)P(A2)+P(X=2|A3)P(A3) P(X=3)=P(X=3|A1)P(A1)+P(X=3|A2)P(A2)=所以 X 的分布律为【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计28 【正确答案】 因为连续型随机变量的分布函数是连续的， 所以有 解得【知识模块】 概率统计29 【正确答案】 【知识模块】 概率统计30 【正确答案】 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计31 【正确答案】 因为 所以 解得【知识模块】 概率统计32 【正确答案】 【知识模块】 概率统计33 【正确答案】 【知识模块】 概率统计
