1、考研数学三（概率论与数据统计）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立，S n=X1+X2+Xn，则根据列维林德伯格(Levy-Lindherg)中心极限定理，当 n 充分大时， Sn 近似服从正态分布，只要X1，X 2，X n（A）有相同的数学期望（B）有相同的方差（C）服从同一指数分布（D）服从同一离散型分布2 设 X1，X 2，X n，为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为 (A1)的指数分布，记 (x)为标准正态分布函数，则3 设总体 X 服从参数为 (0)的泊松分布，X 1，X 2，X n
2、(n2)为来自该总体的简单随机样本则对于统计量 T1= Xi 和 T2= Xi+1/nXn，有（A）ETX 1 ETX2，DTX 1DTX 2 （B） ETX1ETX 2，DTX 1DTX 2 （C） ETX1ETX 2，DTX 1DTX 2（D）ETX 1 ETX2，DTX 1DTX 2 二、填空题4 设总体 X 服从参数为 2 的指数分布，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，则当 n时，Y n Xi2 依概率收敛于=_。5 设 X1，X 2，X n 是来自总体 N(， 2)(0)的简单随机样本记统计量 T=Xi2，则 ET=_.6 设随机变量 X 和 Y 相互独立且都服
3、从正态分布 N(0，3 2)，而X1，X 2，X 3，X 4,X5，X 6，X 7，X 8，X 9 和Y1，Y 2，Y 3，Y 4，Y 5，Y 6，Y 7，Y 8，Y 9，分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本，则统计量 U=(X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9)/ 服从_分布，参数为_.7 设总体 X 服从正态分布 N(1， 2)，总体 Y 服从正态分布 N(2， 2)，X1，X 2，X n 和 Y1，Y 2，Y n，分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本，则 =_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 设二维随机变量(X，Y)服从区域 G 上的均匀
4、分布，其中 G 是由 x-y=0，x+y=2与 y=0 所围成的三角形区域8 求 X 的概率密度 fX(x)；9 求条件概率密度 fX 丨 Y(x 丨 y)10 已知随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为求 X 和 Y 的联合分布函数 F(x，y) 11 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的假设每箱平均重 50 千克，标准差为 5 千克若用最大载重量为 5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0977(2)=0977，其中(x)是标准正态分布函数)12 设 X1，X 2，X 9 是来自正态总体 X 的简单随机样本，Y 1=1/6(X1
5、+X2+X6)，y2=1/3(X7+X8+X9)，S 2= (Xi-Y2)2Z= 证明统计量 Z 服从自由度为 2 的t 分布13 设总体 X 的概率密度为 而 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，求未知参数 的矩估计量.13 设总体 X 的概率密度为 其中 是未知参数(01，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，记 N 为样本值 x1，x 2，x n 中小于 1 的个数14 的矩估计；15 的最大似然估计.16 设 X1，X 2，X m 为来自二项分布总体 B(n，p)的简单随机样本，X 和 S2 分别为样本均值和样本方差记统计量 T=X-S2 ，则 ET=_考研
6、数学三（概率论与数据统计）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 列维一林德伯格定理要求的条件是 X1，X 2，X n,相互独立、同分布、方差存在，这时当 n 充分大时，S n 才近似服从正态分布 选项(C)满足上述条件而选项(A) 与(B)不能保证 X1，X 2，X n 同分布；选项(D)又不能保证方差存在，因此应选择(C) 【知识模块】 概率论与数据统计2 【正确答案】 C【试题解析】 由于 X1，X 2，X n，独立同分布，且都服从参数为 (1)的指数分布，其共同期望为 1/，共同方差为 1/2，所以该随机变
7、量序列满足列维一林德伯格中心极限定理【知识模块】 概率论与数据统计3 【正确答案】 C【知识模块】 概率论与数据统计二、填空题4 【正确答案】 1/2【试题解析】 根据简单随机样本的性质，X 1，X 2，X n 相互独立都服从参数为2 的指数分布，因此 X12，X 22，X n2 也都相互独立同分布，且它们共同的期望值为 EXi2=DXi+(EXi)2=1/4+(1/2)2=1/2根据辛钦大数定律，当 n时，Yn= Xi2 依概率收敛于其期望值 1/2，因此应填：1/2【知识模块】 概率论与数据统计5 【正确答案】 2+2【试题解析】 根据简单随机样本的性质，X 1，X 2，X n 相互独立且
8、与总体同分布，即 Xi-N(， 2)，于是 EXi=，DX i=2，EX i2=DXi+(EXi)2=2+2因此 ET=(2+2)=2+2【知识模块】 概率论与数据统计6 【正确答案】 t，9【试题解析】 显然 X1，X 2，X 3，X 4,X5，X 6，X 7，X 8，X 9 相互独立且与 X 同分布，故 1/9(X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9)N(0,1) 类似有Y1，Y 2，Y 3，Y 4，Y 5，Y 6，Y 7，Y 8，Y 9，相互独立且与 X 同分布，故1/9（Y 12+Y22+Y32+Y42+Y52+Y62+Y72+Y82+Y92）X 2（9）. 1/9（X
9、1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9）与1/9（Y 12+Y22+Y32+Y42+Y52+Y62+Y72+Y82+Y92）相互独立 .【知识模块】 概率论与数据统计7 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 概率论与数据统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 概率论与数据统计8 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数据统计9 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数据统计10 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数据统计11 【正确答案】 设 Xi(i=1，2，n)是装运的第 i 箱的重量(单位：千克)，n 是所求箱数由条件可以把 X1，X 2，X
10、n 视为独立同分布随机变量，而 n 箱的总重量 Tn=X1+X1+Xn 是独立同分布随机变量之和由条件知EXi=50， ETi=50n， 根据列维林德伯格中心极限定理，T n 近似服从正态分布，N(50n，25n)箱数 n 决定于条件 PTn5000=由此可见 从而 n【知识模块】 概率论与数据统计12 【正确答案】 记 DX=2(未知)，易见 EY1=EY2=EX，E(Y 1-Y2)=0，DY 1=26，DY 2=23，由于 Y1 和 Y2 独立，则 D(Y1-Y2)=2/6+2/3=2/2 从而 U=(Y1-Y2)/ 根据正态总体样本方差的性质，知 X2=2S2/2 服从自由度为 2 的
11、X2 分布.由于 Y1 与 Y2 独立，Y 1 与 S2 独立，Y 2 与 S2 独立，且Y1，Y 2，S 2 相互独立，可知 Y1-Y2 与 S2 也独立.根据 t 分布的应用模式【知识模块】 概率论与数据统计13 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数据统计【知识模块】 概率论与数据统计14 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数据统计15 【正确答案】 依题意样本值 x1，x 2，x n 中有 N 个小于 1，其余 n-N 个大于或等于 1，因此似然函数为【知识模块】 概率论与数据统计16 【正确答案】 设总体为 X，则 EX=np，DX=np(1-p)根据简单随机样本的性质，X1，X 2，X m 相互独立且与总体 X 同分布，即 EXi=np，DX i=np(1-p)2，EX i2=DXi+(EXi)2=2+2=2=np(1-P)，ET=EX-ES2 =np-np(1-p) =np2【知识模块】 概率论与数据统计
