1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 47及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设事件 A与 B满足条件 AB= （分数：2.00）A.AB=B.AB=C.AB=AD.AB=B3.设 A和 B为任意两不相容事件，且 P(A)P(B)0，则必有( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.将一枚匀称的硬币独立地掷三次，记事件 A=“正、反面都出现”；B=“正面最多出现一次”；C=“反面最多出现一次”，则下列结论中不正确的是( )（分数：2.00）A.A
2、与 B独立B.B与 C独立C.A与 C独立D.BC 与 A独立5.设随机变量 X的分布函数为 F(x)，其密度函数为 其中 A为常数，则 的值为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设随机变量 XN(， 2 )，0，其分布函数 F(x)的曲线的拐点为(a，b)，则(a， b)为( )（分数：2.00）A.(，)B.C.D.(0，)7.设相互独立的两随机变量 X与 Y均服从分布 B(1， )，则 PX2Y=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X服从指数分布，则随机变量 Y=minX，2的分布函数( )（分数：2.00）A.是连续函数B.至少有两个间断点C.是阶梯函数
3、D.恰好有一个间断点9.已知随机变量 X与 Y的相关系数大于零，则( )（分数：2.00）A.D(X+Y)D(X)+D(Y)B.D(X+Y)D(X)+D(Y)C.D(XY)D(X)+D(Y)D.D(X一 Y)D(X)+D(Y)10.已知随机变量 X服从标准正态分布，Y=2X 2 +X+3，则 X与 Y( )（分数：2.00）A.不相关且相互独立B.不相关且相互不独立C.相关且相互独立D.相关且相互不独立11.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自正态总体 N(0， 2 )的简单随机样本， 与 S 2 分别是样本均值与样本方差，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：8，
4、分数：16.00)12.设 A、B 是两个随机事件，且 P(A)= （分数：2.00）填空项 1:_13.如果用 X，Y 分别表示将一枚硬币连掷 8次正反面出现的次数，则 t的一元二次方程 t 2 +Xt+Y=0有重根的概率是 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.设随机变量 X的密度函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_15.已知随机变量 X服从参数为 的指数分布， 则 PX+Y=0= 1；PY （分数：2.00）填空项 1:_16.设二维随机变量(X，Y)的分布函数为 (2x+1)(2y 一 1)，其中 (x)为标准正态分布函数，则(X，Y)N 1。（分数：2.00）填空项
5、 1:_17.设随机变量 X和 Y的联合概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_18.设二维随机变量(X，Y)服从 N(，； 2 ， 2 ；0)，则 E(XY 2 )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_19.设 X 1 ，X 2 ，X n 为取自总体 XN(， 2 )的简单随机样本，记样本方差为 S 2 ，则 D(S 2 ) 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_21.袋中有 a个白球与 b个黑球。每次从袋中任取一个球，取出的球不再放回去，求第二次取出的球与第一次取出的球颜
6、色相同的概率。（分数：2.00）_22.已知连续型随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_23.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_24.设随机变量 X与 Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X，Y)联合分布率及关于 X和关于 Y的边缘分布率中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。 （分数：2.00）_25.已知(x，y)在以点(0，0)，(1，一 1)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布。 ()求(X，Y)的联合密度函数 f(x，y)； ()求边缘密度函数 f X (x)，f Y (y)及条件密度函数 f X|Y (x|y)，f Y|X (y|x)；并问 X与
7、Y是否独立； ()计算概率 PX0，Y0， （分数：2.00）_26.已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_27.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3件合格品和 3件次品，乙箱中仅装有 3件合格品。从甲箱中任取 3件产品放入乙箱后，求：()乙箱中次品件数的数学期望；()从乙箱中任取一件产品是次品的概率。（分数：2.00）_28.设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)为取自总体 N(0，1)的简单随机样本， 为样本均值，记 Y i =X i 一 （分数：2.00）_29.根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100小时的指数分布。现随机地取 16只，设它
8、们的寿命是相互独立的。求这 16只元件的寿命的总和大于 1920小时的概率。（分数：2.00）_30.设总体 X的概率密度为 其中参数 (01)未知。X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本， 是样本均值。求参数 的矩估计量 （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 47答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设事件 A与 B满足条件 AB= （分数：2.00）A.AB=B.AB= C.AB=AD.AB=B解析：解析
9、：由对称性可知选项 C、D 都不成立(否则，一个成立另一个必成立)，而若选项 A成立这与已知 AB=3.设 A和 B为任意两不相容事件，且 P(A)P(B)0，则必有( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：因为4.将一枚匀称的硬币独立地掷三次，记事件 A=“正、反面都出现”；B=“正面最多出现一次”；C=“反面最多出现一次”，则下列结论中不正确的是( )（分数：2.00）A.A与 B独立B.B与 C独立 C.A与 C独立D.BC 与 A独立解析：解析：试验的样本空间有 8个样本点，即 =(正，正，正)，(正，反，反)，(反，反，反)。显然 B与 C为对立事件，且依古典型概率公式
10、有 由于 P(A)P(B)=5.设随机变量 X的分布函数为 F(x)，其密度函数为 其中 A为常数，则 的值为( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：根据题意得，f(x)关于 x= 是对称的，故6.设随机变量 XN(， 2 )，0，其分布函数 F(x)的曲线的拐点为(a，b)，则(a， b)为( )（分数：2.00）A.(，)B.C. D.(0，)解析：解析：XN（， 2 ），其密度函数 f(x)= F(x)的拐点的 x坐标 a应满足 F“(a)=f(a)=0，故 a= 为 f(x)的驻点，当 x= 时， F（）= ，故曲线拐点在（， 7.设相互独立的两随机变量 X与 Y均服从
11、分布 B(1， )，则 PX2Y=( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：PX2Y=PX=0+PX=1，Y=1= +PX=1PY=18.设随机变量 X服从指数分布，则随机变量 Y=minX，2的分布函数( )（分数：2.00）A.是连续函数B.至少有两个间断点C.是阶梯函数D.恰好有一个间断点 解析：解析：考虑分布函数的连续性问题，需求出其分布函数。因为 X服从指数分布，则其概率密度为 其中 0 为参数。 由分布函数的定义 F Y (y)=PYy=Pmin(X，2)y， 当 y0 时，F Y (y)=0； 当 y2 时，F Y (y)=1； 当 0y2 时， F Y (y)=P
12、rainX，2y=PXy= 0 y e x dx=1一 e y ， 故 因为 9.已知随机变量 X与 Y的相关系数大于零，则( )（分数：2.00）A.D(X+Y)D(X)+D(Y)B.D(X+Y)D(X)+D(Y)C.D(XY)D(X)+D(Y)D.D(X一 Y)D(X)+D(Y) 解析：解析：根据公式 D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X，Y)确定正确选项。 由于 X与 Y的相关系数10.已知随机变量 X服从标准正态分布，Y=2X 2 +X+3，则 X与 Y( )（分数：2.00）A.不相关且相互独立B.不相关且相互不独立C.相关且相互独立D.相关且相互不独立 解析：解析：通过计算
13、Cov(X，Y)来判定。 由于 XN(0，1)，所以 E(X)=0，D(X)=E(X 2 )=1，E(X 3 )=0， E(XY)=E(X)(2X 2 +X+3)=2E(X 3 )+E(X 2 )+3E(X)=1， Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(y)=10 X与 Y相关 11.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自正态总体 N(0， 2 )的简单随机样本， 与 S 2 分别是样本均值与样本方差，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：根据正态总体抽样分布公式知二、填空题(总题数：8，分数：16.00)12.设 A、B 是两个随机事件，且 P(A)= （分数：2.
14、00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据乘法公式 根据减法公式，有13.如果用 X，Y 分别表示将一枚硬币连掷 8次正反面出现的次数，则 t的一元二次方程 t 2 +Xt+Y=0有重根的概率是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意可得，“方程 t 2 +Xt+Y=0有重根” “X 2 4Y=0” “X 2 =4Y”， 其中 XB(8， )，Y=8 一 X，所求的概率为 PX 2 =4Y=PX 2 =4(8一 X)=PX 2 +4X一 32=0 =P(X+8)(X一 4)=0=PX=4=C 8 4 14.设随机变量 X的密度
15、函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由于 1= + f(x)dx= 1 2 Axdx= 2 3 Bdx= +B，又 P1X2=P2X3，即 1 2 2Axdx= 2 3 Bdx， P2X4= 2 4 f(x)dx= 2 3 15.已知随机变量 X服从参数为 的指数分布， 则 PX+Y=0= 1；PY （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e ；1 一 ）解析：解析：已知 X一 f(x)= 所求的概率为 PX+Y=0=PY=一 X =P|X|1=PX1+PX一 1= 1 e x dx=e 。 根据全概率公式，可得 16.设二
16、维随机变量(X，Y)的分布函数为 (2x+1)(2y 一 1)，其中 (x)为标准正态分布函数，则(X，Y)N 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：(X，Y)的分布函数为 (2x+1)(2y 一 1)，所以可知 X，Y 独立。 (2x+1)(2y 一 1)= =F X (x)F Y (y)， 根据正态分布 Xu(， 2 )的标准化可知 F X (x)=PXx= 又因为 17.设随机变量 X和 Y的联合概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 002）解析：解析：由 X和 Y的联合概率分布得 18.设二维随机变量(X，Y)服从
17、 N(，； 2 ， 2 ；0)，则 E(XY 2 )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 3 + 2）解析：解析：由于 =0，根据二维正态分布的性质可知随机变量 X，Y 独立，所以 E(XY 2 )=E(X).E(Y 2 )。已知(X，Y)服从 N(，； 2 ， 2 ；0)，则 E(X)=，E(Y 2 )=D(Y)+E 2 (Y)= 2 + 2 ，所以 E(XY 2 )=( 2 + 2 )= 3 + 2 。19.设 X 1 ，X 2 ，X n 为取自总体 XN(， 2 )的简单随机样本，记样本方差为 S 2 ，则 D(S 2 ) 1。（分数：2.00）填空项 1:_
18、 （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据性质 2 (n一 1)及 D 2 (n1)=2(n1)， 得知 D(S 2 )=D 2 (n一 1)=2(n一 1)， 所以 D(S 2 )= 三、解答题(总题数：11，分数：22.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：21.袋中有 a个白球与 b个黑球。每次从袋中任取一个球，取出的球不再放回去，求第二次取出的球与第一次取出的球颜色相同的概率。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设事件 A 1 表示第一次取出的是白球，事件 A 2 表示第二次取出的也是白球，事件 B 1 表示第一次取出的是黑球，事件
19、 B 2 表示第二次取出的也是黑球。如果两次取出的球颜色相同，则用 A 1 A 2 +B 1 B 2 表示。 不放回抽取属于条件概率， P(A 1 )= ，P(A 2 |A 1 )= 即 P(A 1 A 2 )=P(A 1 )P(A 2 |A 1 )= P(B 1 )= ，P(B 2 |B 1 )= 即 P(B 1 B 2 )=P(B 1 )P(B 2 |B 1 )= 根据概率运算的加法原理，有 P(A 1 A 2 +B 1 B 2 )=P(A 1 A 2 )+P(B 1 B 2 ) )解析：22.已知连续型随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1= + f(x)
20、dx= 0 ae x dx+ 0 2 0=E(X)= + xf(x)dx= 0 ax x dx+ 0 2 解方程组 )解析：23.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据分布函数的定义，有 F Y (y)=PYy=Pe X y= 于是当 y1 的时候，满足 F Y (y)=PXlny= 0 lny e x dx。 因此所求概率密度函数为 )解析：24.设随机变量 X与 Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X，Y)联合分布率及关于 X和关于 Y的边缘分布率中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.已知
21、(x，y)在以点(0，0)，(1，一 1)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布。 ()求(X，Y)的联合密度函数 f(x，y)； ()求边缘密度函数 f X (x)，f Y (y)及条件密度函数 f X|Y (x|y)，f Y|X (y|x)；并问 X与 Y是否独立； ()计算概率 PX0，Y0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于以(0，0)，(1，一 1)，(1，1)为顶点的三角形面积为 1，如图 332所示，故 由于 f X (x)f Y (y)f(xy)，所以 X与 Y不独立。 )解析：26.已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：
22、(正确答案：画出 f(x，y)非零定义域，应用定义、公式进行计算。 因为 f X (x)f Y (y)f(x，y)，所以 X与 Y不独立。 ()分布函数法。Z=XY 的分布函数为 F Z (z)=PXYz= (1)当 z0 时，如图 337所示，有 (2)当 z0 时，如图 338所示，有 由于 F Z (z)为 z的连续函数，除 z=0外，导函数存在且连续，故 )解析：27.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3件合格品和 3件次品，乙箱中仅装有 3件合格品。从甲箱中任取 3件产品放入乙箱后，求：()乙箱中次品件数的数学期望；()从乙箱中任取一件产品是次品的概率。（分数：2.00）
23、_正确答案：(正确答案：设 X表示乙箱中次品的件数。 ()X 的可能取值为 0，1，2，3，所以 X的概率分布为 ()设 A表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于X=0，X=1，X=2，X=3构成完备事件组，因此根据全概率公式，有 )解析：28.设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)为取自总体 N(0，1)的简单随机样本， 为样本均值，记 Y i =X i 一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题设，知 X 1 ，X 2 ，X n (n2)相互独立，且 E(X i )=0，D(X i )=1(i=1，2，n)， ()因为已知 X 1 ，X 2 ，X n (n2)相互独立，所
24、以 Cov(X 1 ，X n )=0，从而 )解析：29.根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100小时的指数分布。现随机地取 16只，设它们的寿命是相互独立的。求这 16只元件的寿命的总和大于 1920小时的概率。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据独立同分布中心极限定理，假设 x表示电器元件的寿命，则 X的概率密度为 随机取出 16只元件，其寿命分别用 X 1 ，X 2 ，X 16 表示，且它们相互独立，同服从均值为100的指数分布，则 16只元件的寿命的总和近似服从正态分布。设寿命总和为 Y= X i ，其中 E(X i )=100，D(X i )=100 2 ，由此得 E(Y)= E(X i )=16100=1 600，D(Y)= D(X i )=16100 2 ， 由独立同分布中心极限定理可知，Y 近似服从正态分布 N(1 600，16100 2 )，于是 )解析：30.设总体 X的概率密度为 其中参数 (01)未知。X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本， 是样本均值。求参数 的矩估计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 解方程得 的矩估计量为： )解析：
