1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 72及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.对事件 A，B，已知 0P(A)1，P(B)0，P(BA)P(B （分数：2.00）A.P(AB)P(B.P(AB)P(C.P(AB)P(A)P(B)D.P(AB)P(A)P(B)3.设 X与 Y独立且 XN(0，1)，YN(1，1)，则（分数：2.00）A.PXY0B.PXY1C.PXY0D.PXY1二、填空题(总题数：6，分数：12.00)4.随机变量 X的密度为 f()
2、A （分数：2.00）填空项 1:_5.在一长为 l的线段上的随机掷两点，使这个线段分成三段，则这三段能构成三角形的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_6.设 X的密度为 f() （分数：2.00）填空项 1:_7.设 X与 Y独立，右表列出(X，Y)的联合分布列和关于 X、Y 的边缘分布列中的部分数值，请填上空白处，并填空求 P(XY1) 1PXY1X0 2 （分数：2.00）填空项 1:_8.设随机变量 X服从(a，a)上的均匀分布(a0)，且已知 P(X1) （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_9.随机变量 X的密度为：f() （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(
3、总题数：24，分数：48.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_11.甲袋中有 2个白球，乙袋中有 2个黑球，每次从各袋中分别任取一球交换放人对方袋中，共交换 3次记 X为经过 3次交换后甲袋中的白球数，求 X的分布列（分数：2.00）_12.设 X服从参数为 1的指数分布，求 Ye X 的密度 f Y (y)（分数：2.00）_13.设随机变量 X的密度为 f() （分数：2.00）_14.已知随机变量 X与 Y独立，且 X服从2，4上的均匀分布 YN(2，16)求 cov(2XXY，(Y1) 2 )（分数：2.00）_15.随机变量 X可能取的值为1
4、，0，1且知 EX01，EX 2 09，求 X的分布列（分数：2.00）_16.在ABC 中任取一点 P，而ABC 与ABP 的面积分别记为 S与 S 1 若已知 S12，求 ES 1 （分数：2.00）_17.袋中装有黑白两种颜色的球，黑球与白球个数之比为 3：2现从此袋中有放回地摸球，每次摸 1个记 X为直至摸到黑、白两种颜色都出现为止所需要摸的次数求 E(X)（分数：2.00）_18.已知线段 AB4，CD1，现分别独立地在 AB上任取点 A 1 ，在 CD上任取点 C 1 ，作一个以 AA 1 为底、CC 1 为高的三角形，设此三角形的面积为 S，求 P(S1)和 D(S)（分数：2.
5、00）_19.设随机变量 X在区间(1，1)上服从均匀分布，YX 2 ，求(X，Y)的协方差矩阵和相关系数（分数：2.00）_20.现有 K个人在某大楼的一层进入电梯，该楼共 n1 层电梯在任一层时若无人下电梯则电梯不停(以后均无人再人电梯)现已知每个人在任何一层(当然不包括第一层)下电梯是等可能的且相互独立，求电梯停止次数的平均值（分数：2.00）_21.设某种元件的寿命为随机变量且服从指数分布这种元件可用两种方法制得，所得元件的平均寿命分别为 100和 150(小时)，而成本分别为 C和 2C元如果制造的元件寿命不超过 200小时，则须进行加工，费用为 100元为使平均费用较低，问 C取何
6、值时，用第 2种方法较好?（分数：2.00）_22.设作一次实验的费用为 1000元，如果实验失败，则要另外再花 300元对设备调整才能进行下一次的实验设各次实验相互独立，成功的概率均为 02，并假定实验一定要进行到出现成功为止求整个实验程序的平均费用（分数：2.00）_23.现有奖券 100万张，其中一等奖 1张，奖金 5万元；二等奖 4张，每张奖金 2500元；三等奖 40张，每张奖金 250元；四等奖 400张，每张奖金 25元，而每张奖券 2元，试计算买一张奖券的平均收益（分数：2.00）_24.设随机变量(X，Y)N(0，1；0，1；)，求 Emax(X，Y)（分数：2.00）_25
7、.设随机变 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布且 DX 1 2 ，令 ，试求 X i 与 X j （分数：2.00）_26.设试验成功的概率为 ，失败的概率为 （分数：2.00）_27.n个小球和 n个盒子均编号 1，2，n，将 n个小球随机地投入 n个盒中去，每盒投 1个球记 X为小球编号与所投之盒子编号相符的个数，求 E(X)（分数：2.00）_28.在长为 a的线段 AB上独立、随机地取两点 C，D，试求 CD的平均长度（分数：2.00）_29.设随机变量 X 1 ，X n ，X n+1 独立同分布，且 P(X 1 1)P，P(X 1 0)1P，记 Y i (i1，2，n) 求 （分
8、数：2.00）_30.对随机变量 X和 Y，已知 EX3，EY2，DX9，DY2，E(XY)5设 U2XY4，求EU，DU（分数：2.00）_31.对随机变量 X，Y，已知 EX 2 和 EY 2 存在，证明：E(XY) 2 E(X 2 ).E(Y 2 )（分数：2.00）_32.设 X 1 ，X 2 ，X n 是同分布的随机变量，且 EX 1 0DX 2 1不失一般性地设 X 1 为连续型随机变量证明：对任意的常数 0，有 （分数：2.00）_33.两家影院竞争 1000名观众，每位观众随机地选择影院且互不影响试用中心极限定理近似计算：每家影院最少应设多少个座位才能保证“因缺少座位而使观众离
9、去”的概率不超过 1?(2328)09900)（分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 72答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.对事件 A，B，已知 0P(A)1，P(B)0，P(BA)P(B （分数：2.00）A.P(AB)P(B.P(AB)P(C.P(AB)P(A)P(B) D.P(AB)P(A)P(B)解析：3.设 X与 Y独立且 XN(0，1)，YN(1，1)，则（分数：2.00）A.PXY0B.PXY1 C.PXY0D.P
10、XY1解析：解析：由已知可得 XYN(1，2)，XYN(1，2)， 故 P(XY0) ，不选 A； P(XY0) ，不选 C； P(XY1) ，不选 D 而 P(XY1)P( 0)(0)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)4.随机变量 X的密度为 f()A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： ， f() 与正态分布的概率密度相比较，可知XN( )且5.在一长为 l的线段上的随机掷两点，使这个线段分成三段，则这三段能构成三角形的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：如图 1建立坐标系，题目中的线段即线段 Ol
11、(图中)，随机掷的两点坐标分别为 X和 Y，由题意知 X与 Y独立同分布，均服从区间(0，1)上的均匀分布，(X，Y)的概率密度为 所得到的 3段线段长分别为 min(X，Y)，XY，lmax(X，Y)，而(这 3段能构成三角形 这 3段中任 2段长度之和 这 3段中任一段长度都 故 P这 3段能构成三角形 Pmin(X，Y) ，XY ，lmax(X，Y) Pmin(X，Y) ，XY ，lmax(X，Y) ，XYPmin(X，Y) ，XY ，lmax(X，Y) ，XY 其中 G 1 与 G 2 见图 2中阴影部分 6.设 X的密度为 f() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答
12、案：*）解析：解析：F() f(t)dt e t dt， 若 0，则 F() ； 若 0，则 7.设 X与 Y独立，右表列出(X，Y)的联合分布列和关于 X、Y 的边缘分布列中的部分数值，请填上空白处，并填空求 P(XY1) 1PXY1X0 2 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： P(XY1) PXY1X0）解析：解析：P(XY1)P(X0，Y0)P(X0，Y1)P(X1，Y0) PXY1X08.设随机变量 X服从(a，a)上的均匀分布(a0)，且已知 P(X1) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：9.随机变
13、量 X的密度为：f() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：这是指数分布，可知 AB，而 6EX ， ，故 A ，B三、解答题(总题数：24，分数：48.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：11.甲袋中有 2个白球，乙袋中有 2个黑球，每次从各袋中分别任取一球交换放人对方袋中，共交换 3次记 X为经过 3次交换后甲袋中的白球数，求 X的分布列（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 可能取的值是 0，1，2 这三个值记 A i 经过 2次交换后，甲袋中有 i个白球，i0，1，2则 P(X0A 0 )0，P(
14、X0A 1 ) ， P(X0A 2 )0，P(X1A 0 )1，P(X1A 1 ) ，P(X1A 2 )1， P(X2A 0 )0，P(X2A 1 ) ，P(X2A 2 )0 故 P(X0) P(X0A i )P(A i ) ，P(X1) P(x1A i )P(A i ) ，P(X2) P(X2A i )P(A i ) ， 即 X的分布列为 )解析：12.设 X服从参数为 1的指数分布，求 Ye X 的密度 f Y (y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的概率密度为：f X () Y的分布函数为：F Y (y)P(Yy)Pe X y 若 F Y (y)0，则 F Y (y)0，则
15、 f Y (y)F Y 0； 若 y0则 F Y (y)PXlny lny f X f()d 则 f Y (y)F Y (y) 故知 f Y (y) )解析：13.设随机变量 X的密度为 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.已知随机变量 X与 Y独立，且 X服从2，4上的均匀分布 YN(2，16)求 cov(2XXY，(Y1) 2 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：cov(2XXY，(Y1) 2 )cov(2XXY，Y 2 2Y1)cov(XY，Y 2 2Y) cov(XY，Y 2 )2cov(XY，Y)E(XY) 3 E(XY)E(Y 2 )2E(XY
16、 2 )E(XY)EY EXEY 3 EXEYEY 2 2EXE(Y 2 )EX(EY) 2 ， 本题中 EX3，EY2，E(Y 2 )DY(EY) 2 162 2 20， 而 N(0，1)，所以 Y42， 注意 E0，E( 2 )D(E) 2 1，E( 3 ) )解析：15.随机变量 X可能取的值为1，0，1且知 EX01，EX 2 09，求 X的分布列（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意X 的分布列可设为：X )解析：16.在ABC 中任取一点 P，而ABC 与ABP 的面积分别记为 S与 S 1 若已知 S12，求 ES 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图建立
17、坐标系，设 AB长为 r，ABC 高为 h，C 点坐标为(u，h)设ABC 所围区域为 G，则 G的面积 S rh12 又设 P点坐标为(X，Y)，则随机变量(X，Y)在 G上服从均匀分布，其概率密度为 而 S 1 rY易得线段 AC的方程为 y，BC 的方程为r y，故 ES 1 ，而 rh24，故 ES 1 4 )解析：17.袋中装有黑白两种颜色的球，黑球与白球个数之比为 3：2现从此袋中有放回地摸球，每次摸 1个记 X为直至摸到黑、白两种颜色都出现为止所需要摸的次数求 E(X)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A i 第 i次取白球，则 P(A i ) ，i1，2，且诸 A
18、i 相互独立 P(Xk)P(A 1 A k-1 )P( A k ) ，k2，3， 若记 g() k k-1 ，(1)，则 代入可得 ，故 )解析：18.已知线段 AB4，CD1，现分别独立地在 AB上任取点 A 1 ，在 CD上任取点 C 1 ，作一个以 AA 1 为底、CC 1 为高的三角形，设此三角形的面积为 S，求 P(S1)和 D(S)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 AA 1 长度为 X，CC 1 长度为 Y，则知 X与 Y为二相互独立的随机变量，分别服从区间0，4和0，1上的均匀分布，(X，Y)的概率密度为 其中D(，y)04，0y1而 S XY故 P(S1)P(XY2
19、) 其中 G为图中阴影部分而 DSES 2 (ES) 2 )解析：19.设随机变量 X在区间(1，1)上服从均匀分布，YX 2 ，求(X，Y)的协方差矩阵和相关系数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的概率密度为：f() 故 EX0， DX ， DYE(Y 2 )(EY) 2 E(X 4 )(EX 2 ) 2 ， cov(X，Y)cov(X，X 2 )E(X 3 )EX.EX 2 0， 故知(X，Y)的相关系数 (X，Y) 0，协方差阵为 )解析：20.现有 K个人在某大楼的一层进入电梯，该楼共 n1 层电梯在任一层时若无人下电梯则电梯不停(以后均无人再人电梯)现已知每个人在任何一层
20、(当然不包括第一层)下电梯是等可能的且相互独立，求电梯停止次数的平均值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 X i ，则 而 X X i 为电梯停的次数，故知平均停的次数为 EX )解析：21.设某种元件的寿命为随机变量且服从指数分布这种元件可用两种方法制得，所得元件的平均寿命分别为 100和 150(小时)，而成本分别为 C和 2C元如果制造的元件寿命不超过 200小时，则须进行加工，费用为 100元为使平均费用较低，问 C取何值时，用第 2种方法较好?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记用第一、第二种方法制得的元件的寿命分别为 X、Y，费用分别为 、，则知X、Y 的概率密度
21、分别为： E(C100)P(X200)CP(X200)C100P(X200)， E (2C100)P(Y200)2CP(Y200)2C100P(Y200)， 于是 E EC100P(Y200)P(X200)C100(e -2 )， 可见 C100( )解析：22.设作一次实验的费用为 1000元，如果实验失败，则要另外再花 300元对设备调整才能进行下一次的实验设各次实验相互独立，成功的概率均为 02，并假定实验一定要进行到出现成功为止求整个实验程序的平均费用（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设需进行 X次试验，则所需费用为 Y1000300(X1)，而 P(Xk)08 k-1 .02
22、.k1，2， 记 g() k k-1 ，1，则 于是 EX k.08 k-1 .0202g(08)02 )解析：23.现有奖券 100万张，其中一等奖 1张，奖金 5万元；二等奖 4张，每张奖金 2500元；三等奖 40张，每张奖金 250元；四等奖 400张，每张奖金 25元，而每张奖券 2元，试计算买一张奖券的平均收益（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 X和 分别为买 1张奖券的所得的奖金和净收益(单位为元)，则 X2，而 X的概率分布为： EEX2 )解析：24.设随机变量(X，Y)N(0，1；0，1；)，求 Emax(X，Y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E(XY
23、)EXEY0，D(XY)DXDY2cov(X，Y)1122(1)， XYN(0，2(1)， 而 max(X，Y) XYXY 故 Emax(X，Y) EXEYEXY )解析：25.设随机变 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布且 DX 1 2 ，令 ，试求 X i 与 X j （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 故 cov(X i ，X j )cov(X i ，X j )cov(X i ， )cov( ，X j )cov( ) 可见 D(X i ) 2 ，故 X i 与 X j 的相关系数为 )解析：26.设试验成功的概率为 ，失败的概率为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P
24、(Xk)P前 k1 次试验中恰出现 1次成功，第 k次试验成功 ，k2，3， 设出现第 1次成功时进行了 次试验，从第 1次成功(不含)到第 2次成功(含)进行了 次试验，则 X，且 与 服从同一几何分布：P(k) ，k1，2，可算得 EE ，故 EXE )解析：27.n个小球和 n个盒子均编号 1，2，n，将 n个小球随机地投入 n个盒中去，每盒投 1个球记 X为小球编号与所投之盒子编号相符的个数，求 E(X)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： EX i ，i1，2，n 而 X X i ，故 EX )解析：28.在长为 a的线段 AB上独立、随机地取两点 C，D，试求 CD的平均长度
25、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 AC、AD 的长度分别为 X、Y，由题意知 X与 Y独立同分布，均服从区间(0，a)上的均匀分布，故(X，Y)的概率密度为： 其中 D(，y)0a，0ya，而 CD的长度为XY，故知 EXY yf(，y)ddy )解析：29.设随机变量 X 1 ，X n ，X n+1 独立同分布，且 P(X 1 1)P，P(X 1 0)1P，记 Y i (i1，2，n) 求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：EY i P(X i X i+1 1)P(X i 0，X i+1 11)P(X i 1，X i+1 0)2p(1P)，i1，n， 2np(1p)，而
26、E(Y i 2 )P(X i X i+1 1)2p(1p)， DY i E(Y i 2 )(EY i ) 2 2p(1p)12p(1p)，i1，2，n 若 lk2，则 Y k 与 Y l 独立，这时 cov(Y k ，Y l )0， 而 E(Y k Y k+1 )P(Y k 1，Y k+1 1)P(X k X k+1 1，X k+1 X k+2 1)P(X k 0，X k+1 1，X k+2 0)P(X k 1，X k+1 0，X k+2 1)(1p) 2 pp 2 (1p)p(1p)，cov(Y k ，Y k+1 )E(Y k Y k+1 )EY k EY k+1 p(1p)4p 2 (1p
27、) 2 ， 故 2np(1p)12p(1p)2 )解析：30.对随机变量 X和 Y，已知 EX3，EY2，DX9，DY2，E(XY)5设 U2XY4，求EU，DU（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：EU2EXEY423244，DUD(2XY4)4DXDY4cov(X，Y)4924EE(XY)EX.EY3624(532)34)解析：31.对随机变量 X，Y，已知 EX 2 和 EY 2 存在，证明：E(XY) 2 E(X 2 ).E(Y 2 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.设 X 1 ，X 2 ，X n 是同分布的随机变量，且 EX 1 0DX 2 1不失一般性
28、地设 X 1 为连续型随机变量证明：对任意的常数 0，有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知可知：E(X i 2 )DX i (EX i )1，i1，n设(X 1 ，X n )的概率密度为 f( 1 ， 2 ， n )， 则 P f( 1 ， n )d 1 ，d n i f( 1 ， n )d 1 d n )解析：33.两家影院竞争 1000名观众，每位观众随机地选择影院且互不影响试用中心极限定理近似计算：每家影院最少应设多少个座位才能保证“因缺少座位而使观众离去”的概率不超过 1?(2328)09900)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设甲影院(乙影院完全同理)应设 N个座位才符合要求，而这 1000名观众中有 X名选择甲影院，刚 XB(1000， ) 由题意有：P(XN)099而由中心极限定理知： )解析：
