1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 69及答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自正态总体 N(0， 2 )的简单随机样本， （分数：2.00）A.B.C.t(n 一 1)D.F(n 一 1，1)3.设 X 1 ，X n ，X n+1 ，X 2n ，X 2n+1 ，X 3n 是取自正态分布总体 N(， 2 )的一个简单随机样本(n2)， （分数：2.00）A.N(0，1)B.S i 2 2 (n一 1)C.t(n1)
2、D.F 1 = 4.设 Y 1 ，Y 2 ，Y n 是取自总体 X的一个简单随机样本，DX= 2 ， 是样本均值，则下列估计量的期望为 2 的是 （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，记 EX=，DX= 2 ， （分数：2.00）A.ES=B.ES 2 = 2 C.E D.E( 6.设 是从总体 X中取出的简单随机样本 X 1 ，X n 的样本均值，则 （分数：2.00）A.XN(， 2 )B.X服从参数为 的指数分布C.PX=m=(1 一 )m m1 ，m=1，2，D.X服从0，上均匀分布二、填空题(总题数：12，分数：24.00
3、)7.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n ，Y 1 ，Y 2 ，Y n 相互独立，且 X i 服从参数为 的泊松分布，Y i 服从参数为 的指数分布，i=1，2，n，则当 n充分大时， （分数：2.00）填空项 1:_8.假设随机变量 X 1 ，X n 相互独立，服从同参数 的泊松分布记 S n = （分数：2.00）填空项 1:_9.假设排球运动员的平均身高(单位：厘米)为 ，标准差为 4求 100名排球运动员的平均身高与所有排球运动员平均身高之差在(一 1，1)内的概率（分数：2.00）填空项 1:_10.一大袋麦种的发芽率为 80，从中任意取出 500粒进行发芽试验，计算其发芽率的偏
4、差不超过 2的概率（分数：2.00）填空项 1:_11.有 100道单项选择题，每个题中有 4个备选答案，且其中只有一个答案是正确的规定选择正确得 1分，选择错误得 0分假设无知者对于每一个题都是从 4个备选答案中随机地选答，并且没有不选的情况，计算他能够超过 40分的概率（分数：2.00）填空项 1:_12.设某种商品的合格率为 90，某单位要想给 100名职工每人一件这种商品试求：该单位至少购买多少件这种商品才能以 975的概率保证每人都可以得到一件合格品?（分数：2.00）填空项 1:_13.设总体 X服从参数为 p的 01分布，则来自总体 X的简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n
5、的概率分布为 1（分数：2.00）填空项 1:_14.假设总体 X服从标准正态分布，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，则统计量 Y 1 = （分数：2.00）填空项 1:_15.设总体 X服从正态分布 N(0， 2 )，而 X 1 ，X 2 ，X 15 是取自总体 X的简单随机样本，则 （分数：2.00）填空项 1:_16.设总体 X与 Y独立且都服从正态分布 N(0， 2 )，已知 X 1 ，X m 与 Y 1 ，X n 是分别来自总体 X与 Y的简单随机样本，统计量 T= （分数：2.00）填空项 1:_17.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机
6、样本， （分数：2.00）填空项 1:_18.设总体 X服从(a，b)上的均匀分布，X 1 ，X 2 ，X n 是取自 X的简单随机样本，则未知参数a，b 的矩估计量为 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：38.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本，其均值和方差分别为 （分数：4.00）(1).试求： （分数：2.00）_(2).证明：B= （分数：2.00）_20.设正态总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 为来自 X的简单随机样本，求证： （分数：2.00）_21.
7、设 X 1 ，X 2 ，X 10 是来自正态总体 XN(0，2 2 )的简单随机样本，求常数 a，b，c，d，使 Q=aX 2 +b(X 2 +X 3 ) 2 +c(X 4 +X 5 +X 6 ) 2 +e(X 7 +X 8 +X 9 +X 10 ) 2 服从 2 分布，并求自由度m（分数：2.00）_22.设总体 X和 Y相互独立，分别服从 N(， 1 2 )，N(， 2 2 )X 1 ，X 2 ，X m 和 Y 1 ，Y 2 ，Y n 是分别来自 X和 Y的简单随机样本，其样本均值分别为 ，样本方差分别为 S X 2 ，S Y 2 令 Z= （分数：2.00）_已知 X 1 ，X n 是来
8、自总体 X容量为 n的简单随机样本，其均值和方差分别为 （分数：4.00）(1).如果 EX=，DX= 2 ，试证明：X i 一 (ij)的相关系数 p=一 （分数：2.00）_(2).如果总体 X服从正态分布 N(0， 2 )，试证明：协方差 Cov(X 1 ，S 2 )=0（分数：2.00）_23.设 XN(， 2 )，从中抽取 16个样本，S 2 为样本方差， 2 未知，求 P （分数：2.00）_24.设总体 XN(， 2 )，Y 1 ，Y 2 ，Y n (n=16)是来自 X的简单随机样本，求下列概率： ()P (X i 一 ) 2 2 2 ； ()P （分数：2.00）_25.设
9、X和 Y都是来自正态总体 N(， 2 )的容量为 n的两个相互独立的样本均值，试确定 n，使得两个样本均值之差的绝对值超过 的概率大约为 001（分数：2.00）_26.设总体 X的概率分布为 （分数：2.00）_27.设总体 X的概率密度为 f(x；，)= （分数：2.00）_28.已知总体 X服从瑞利分布，其密度函数为 X 1 ，X n 为取自总体 X的简单随机样本，求 的矩估计量 （分数：2.00）_29.接连不断地、独立地对同一目标射击，直到命中为止，假定共进行 n(n1)轮这样的射击，各轮射击次数相应为 k 1 ，k 2 ，k n ，试求命中率 p的最大似然估计值和矩估计值（分数：2
10、.00）_30.设 X服从a，b上的均匀分布，X 1 ，X n 为简单随机样本，求 a，b 的最大似然估计量（分数：2.00）_31.已知总体 X的密度函数为 （分数：2.00）_32.设总体 X服从韦布尔分布，密度函数为 （分数：2.00）_33.设某种电子器件的寿命(以小时计)T 服从指数分布，概率密度为 f(t)= （分数：2.00）_34.设有一批同型号产品，其次品率记为 p现有五位检验员分别从中随机抽取 n件产品，检测后的次品数分别为 1，2，2，3，2 ()若已知 p=25，求 n的矩估计值 ； ()若已知 n=100，求 p的极大似然估计值 ； ()在情况()下，检验员从该批产品
11、中再随机检测 100个产品，试用中心极限定理近似计算其次品数大于 3的概率(注：( （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 69答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自正态总体 N(0， 2 )的简单随机样本， （分数：2.00）A.B.C.t(n 一 1)D.F(n 一 1，1) 解析：解析：根据正态总体抽样分布公式知3.设 X 1 ，X n ，X n+1 ，X 2n ，X 2n+1 ，X 3
12、n 是取自正态分布总体 N(， 2 )的一个简单随机样本(n2)， （分数：2.00）A.N(0，1)B.S i 2 2 (n一 1)C.t(n1)D.F 1 = 解析：解析：由于 与 S i 2 分别是取自正态总体 N(， 2 )的一个容量为 n的简单随机样本，根据正态总体的抽样分布知，对 i=1，2，3，有 因此选项 A、(B)、(C)均不成立，应选 D 进一步分析，因 X 1 ，X n ，X n+1 ，X 2n ，X 2n+1 ，X 3n 相互独立，因此 S 1 2 ，S 2 2 ，S 3 2 也相互独立又因 (n 一 1)S i 2 2 2 (n一 1)，所以根据 F分布的典型模式可得
13、 4.设 Y 1 ，Y 2 ，Y n 是取自总体 X的一个简单随机样本，DX= 2 ， 是样本均值，则下列估计量的期望为 2 的是 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析： 因 EX 2 =DX+(EX) 2 = 2 + 2 ， + 2 ，所以有 5.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，记 EX=，DX= 2 ， （分数：2.00）A.ES=B.ES 2 = 2 C.E D.E( 解析：解析：从上题知 ES 2 = 2 ，应选 B进一步分析 DS=ES 2 一(ES) 2 0(ES) 2 ES 2 = 2 ES， 6.设 是从总体 X中取出的简单随机样本 X
14、1 ，X n 的样本均值，则 （分数：2.00）A.XN(， 2 ) B.X服从参数为 的指数分布C.PX=m=(1 一 )m m1 ，m=1，2，D.X服从0，上均匀分布解析：解析：若 XN(， 2 )，则 EX=， 的矩估计为 ，应选 A若 X服从参数为 的指数分布，则 EX= ；对于选项 C，X 服从参数为 的几何分布，EX= ，=2EX，于是 的矩估计 二、填空题(总题数：12，分数：24.00)7.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n ，Y 1 ，Y 2 ，Y n 相互独立，且 X i 服从参数为 的泊松分布，Y i 服从参数为 的指数分布，i=1，2，n，则当 n充分大时， （分
15、数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：正态，=E (X i +Y i )=2n，D ）解析：解析：X 1 +Y 1 ，X 2 +Y 2 ，X n +Y n 相互独立同分布因 EX i =DX i =，EY i =，DY i = 2 ， 故 E(X i +Y i )=2，D(X i +Y i )=+ 2 ，当 n充分大时， (X i +Y i )近似服从正态分布，其分布参数 =E (X i +Y i )=2n，D 8.假设随机变量 X 1 ，X n 相互独立，服从同参数 的泊松分布记 S n = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由于 X i 服从泊松分布，故
16、 EX i =DX i =，又因 X 1 ，X n 相互独立，所以 ）解析：9.假设排球运动员的平均身高(单位：厘米)为 ，标准差为 4求 100名排球运动员的平均身高与所有排球运动员平均身高之差在(一 1，1)内的概率（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：设 100名中第 i名运动员身高为 X i ，i=1，100，可以认为 X 1 ，X 2 ，X 100 相互独立同分布，且 EX i =，DX i =16， =016，应用独立同分布中心极限定理， 近似服从正态分布 N(，042)，于是 ）解析：10.一大袋麦种的发芽率为 80，从中任意取出 500粒进行发芽试验，计算其发
17、芽率的偏差不超过 2的概率（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：设 500粒麦种中发芽粒数为 X，则 X近似服从二项分布 8(500，08)由于 n=500相当大，根据拉普拉斯中心极限定理 X近似服从正态分布 N(400，80)，于是有 ）解析：11.有 100道单项选择题，每个题中有 4个备选答案，且其中只有一个答案是正确的规定选择正确得 1分，选择错误得 0分假设无知者对于每一个题都是从 4个备选答案中随机地选答，并且没有不选的情况，计算他能够超过 40分的概率（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：设 X表示 100个题中他能选对的题数，则 X服从二项分
18、布 B(100，025)，从而 EX=25，DX=1875应用拉普拉斯中心极限定理，X 近似服从正态分布N(25，1875)，于是 PX40=1PX40=1 ）解析：12.设某种商品的合格率为 90，某单位要想给 100名职工每人一件这种商品试求：该单位至少购买多少件这种商品才能以 975的概率保证每人都可以得到一件合格品?（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：设至少购买 n件，n 件中合格品数为 X，易见 X服从二项分布 B(n，09)，且 n100，根据拉普拉斯中心极限定理，X 近似服从二项分布N(09n，009n)依题意 PX100=0975， 即 0975=PX100
19、= 解方程 ）解析：13.设总体 X服从参数为 p的 01分布，则来自总体 X的简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n 的概率分布为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：总体 X的概率分布为 ，此概率分布也可以表示为 于是样本 X 1 ，X 2 ，X n 的概率分布为 p(x 1 ，x 2 ，x n )= 如果记 x i ，则样本 X 1 ，X 2 ，X n 的概率分布为 p(x 1 ，x 2 ，x n )= 14.假设总体 X服从标准正态分布，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，则统计量 Y 1 = （分数：2.00）填空项 1:
20、_ （正确答案：正确答案：t 分布，2 和 n一 1）解析：解析：根据简单随机样本的性质，X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同服从分布 N(0，1)，所以 X 1 X 2 与 X 3 2 +X 4 2 相互独立，X 1 与 X i 2 也相互独立，且有 X 1 一 X 1 N(0，2)， N(0，1)，X 3 2 +X 4 2 2 (2)， X i 2 2 (n一 1)， 15.设总体 X服从正态分布 N(0， 2 )，而 X 1 ，X 2 ，X 15 是取自总体 X的简单随机样本，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：N(0， 2 )，f(10，5)）解析：解析：根据
21、简单随机样本的性质，X 1 ，X 2 ，X 15 相互独立且都服从分布 N(0， 2 )，所以 X 1 2 +X 1 2 与 X 11 2 +X 15 2 相互独立，由于 N(0，1)，因此 (X 1 2 +X 10 2 ) 2 (10)， (X 11 2 +X 15 2 ) 2 (5)， 16.设总体 X与 Y独立且都服从正态分布 N(0， 2 )，已知 X 1 ，X m 与 Y 1 ，X n 是分别来自总体 X与 Y的简单随机样本，统计量 T= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：依题意 X i N(0，)，Y i N(0，)且相互独立，所以 U与 V相
22、互独立，由 t分布典型模式知 17.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：样本方差 S 2 = 由 ES 2 = 2 可得 a= 18.设总体 X服从(a，b)上的均匀分布，X 1 ，X 2 ，X n 是取自 X的简单随机样本，则未知参数a，b 的矩估计量为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：EX= 2 ，解方程组 三、解答题(总题数：18，分数：38.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体
23、 X的简单随机样本，其均值和方差分别为 （分数：4.00）(1).试求： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 XB(1，p)，故 X的概率分布为 B(n，p)于是 Pn =k=C n k p k (1一 p) nk ，k=0，1，2，n， 即 P )解析：(2).证明：B= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设正态总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 为来自 X的简单随机样本，求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据简单随机样本的性质，X 1 ，X 2 ，X n 相互独立与 X同分布且 与 S 2 相互独立，于是 又因 2 (n1
24、)，且 W与 S 2 相互独立，所以 )解析：21.设 X 1 ，X 2 ，X 10 是来自正态总体 XN(0，2 2 )的简单随机样本，求常数 a，b，c，d，使 Q=aX 2 +b(X 2 +X 3 ) 2 +c(X 4 +X 5 +X 6 ) 2 +e(X 7 +X 8 +X 9 +X 10 ) 2 服从 2 分布，并求自由度m（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 X i 独立同分布，则有 X 1 N(0，4)，X 2 +X 3 N(0，8)， X 4 +X 5 +X 6 N(0，12)，X 7 +X 8 +X 9 +X 10 N(0，16) 于是 (X 7 +X 8 +X 9
25、 +X 10 )相互独立都服从标准正态分布 N(0，1)由 分布的典型模式可知 (X 4 +X 5 +X 6 ) 2 + (X 7 +X 8 +X 9 +X 10 ) 2 2 (4) 所以，当 a= )解析：22.设总体 X和 Y相互独立，分别服从 N(， 1 2 )，N(， 2 2 )X 1 ，X 2 ，X m 和 Y 1 ，Y 2 ，Y n 是分别来自 X和 Y的简单随机样本，其样本均值分别为 ，样本方差分别为 S X 2 ，S Y 2 令 Z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 与 也相互独立因此 于是 EZ= )解析：已知 X 1 ，X n 是来自总体 X容量为 n的简单
26、随机样本，其均值和方差分别为 （分数：4.00）(1).如果 EX=，DX= 2 ，试证明：X i 一 (ij)的相关系数 p=一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于总体分布未知，因此只能应用定义与性质证明因为 X 1 ，X n 相互独立且与总体 X同分布，故 EX i =，DX i = 2 ， ， )解析：(2).如果总体 X服从正态分布 N(0， 2 )，试证明：协方差 Cov(X 1 ，S 2 )=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于总体 XN(0， 2 )，故 EX i =0，DX i = 2 )解析：23.设 XN(， 2 )，从中抽取 16个样本，S 2 为
27、样本方差， 2 未知，求 P （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 查 2 分布的上分位数表，得知 P 2 (15)3058=o01，因此 P 30585=o99，即 P )解析：24.设总体 XN(， 2 )，Y 1 ，Y 2 ，Y n (n=16)是来自 X的简单随机样本，求下列概率： ()P (X i 一 ) 2 2 2 ； ()P （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： () P8 2 (16)32=P 2 (16)8一 P 2 (16)32=095001=O94 () )解析：25.设 X和 Y都是来自正态总体 N(， 2 )的容量为 n的两个相互独立的样本均值，试确定 n
28、，使得两个样本均值之差的绝对值超过 的概率大约为 001（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 相互独立，则 查标准正态分布表，得 )解析：26.设总体 X的概率分布为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩估计 =p，故 p的矩估计量 最大似然估计：似然函数 )解析：解析：由题设知，E(X)=p， x i ，不难求出矩估计对最大似然估计，关键是写出似然函数由于 x i 取自总体 x i 故 x i 不是取 0就是取 1因此，X i 的分布可表示成 27.设总体 X的概率密度为 f(x；，)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x；，)0 和 - + f(x；，)
29、dx=1，得到 0，0 且+=1于是 ()求矩估计值 由于 E(x)= -1 0 xdx+ 0 1 (1)xdx= ， ()求最大似然估计值 由于在给定的 8个样本值中，属(一 1，0)的有 5个，属0，1)的有3个，故似然函数为 L()= (x i ； 5 (1一 ) 3 ， lnL()=5ln+3ln(1 一 )， 令 =0，解得 的最大似然估计值 )解析：28.已知总体 X服从瑞利分布，其密度函数为 X 1 ，X n 为取自总体 X的简单随机样本，求 的矩估计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 EX=，DX= 2 ，则 由等式 = ，因此参数 的矩估计量为 X i 由于样本
30、均值 与总体 X的期望相等，因此 2 ， )解析：29.接连不断地、独立地对同一目标射击，直到命中为止，假定共进行 n(n1)轮这样的射击，各轮射击次数相应为 k 1 ，k 2 ，k n ，试求命中率 p的最大似然估计值和矩估计值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：依题意，总体 X服从参数为 p的几何分布，即 PX=k=p(1一 p) k1 ，k=1，2，由于 EX= 样本(k 1 ，k 2 ，k n )的似然函数 L为 L(k 1 ，k 2 ，k n ；p)=PX 1 =k 1 ，X 2 =k 2 ，X n =k n )解析：30.设 X服从a，b上的均匀分布，X 1 ，X n 为简单
31、随机样本，求 a，b 的最大似然估计量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 X的样本观测值为 x 1 ，x n ，则似然函数 显然( ) n 0，且 b一 a越小 L值越大，但是bx i ，i=1，n=bmax(x i ，x n )，同理ax i ，i=1，n=a (x i ，x n )，所以只有当 b=maxx i ，a= x i 时，L 才达到最大值，故 a，b 的最大似然估计值分别为 x i ，从而可知其最大似然估计量分别是 )解析：31.已知总体 X的密度函数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 于是有 =，盯由于 ， 2 的矩估计分别为 因此 与 的矩估计量分别为
32、)解析：32.设总体 X服从韦布尔分布，密度函数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x 1 ，x 2 ，x n 是样本 X 1 ，X n 的观测值，当 x 1 0(i=1，2，n)时其似然函数为 因此 的最大似然估计值为 )解析：33.设某种电子器件的寿命(以小时计)T 服从指数分布，概率密度为 f(t)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：考虑事件 A：“试验直至时间 T 0 为止，有 k只器件失效，而有 n一 k只未失效”的概率记 T的分布函数为 F(t)，即有 一只器件在 t=0时投入试验，则在时间 T 0 以前失效的概率为 PTT 0 =F(T 0 )=1一 ；而
33、在时间 T 0 未失效的概率为 PTT 0 =1一 F(T 0 )= 由于各只器件的试验结果是相互独立的，因此事件 A的概率为 L(A)=C n k (1一 ) nk ， 这就是所求的似然函数取对数得 lnL()=lnC n k +kln(1一 )+(n一 k)(一 T 0 )， 令 于是 A的最大似然估计为 )解析：34.设有一批同型号产品，其次品率记为 p现有五位检验员分别从中随机抽取 n件产品，检测后的次品数分别为 1，2，2，3，2 ()若已知 p=25，求 n的矩估计值 ； ()若已知 n=100，求 p的极大似然估计值 ； ()在情况()下，检验员从该批产品中再随机检测 100个产品，试用中心极限定理近似计算其次品数大于 3的概率(注：( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 X为 n件产品中的次品数，则 XB(n，p) ()由 =80 ()L= =C 100 1 (C 100 2 ) 3 C 100 3 10 (1一 p) 490 ， lnL=lnC 100 1 (C 100 2 )C 100 3 +10lnp+490ln(1一 p)， 令 ()在情况()下，XB(100， )，由中心极限定理知 X近似服从N(2， )，于是 P
