1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设二维随机变量(X 1，X 2)的密度函数为 f1(x1，x 2)，则随机变量(Y 1，Y 2)(其中Y1=2X1，Y 2= )的概率密度 f2(y1，y 2)等于( )2 设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，且它们不相关，则( )（A）X 与 Y 一定独立（B） (X，Y)服从二维正态分布（C） X 与 Y 未必独立（D）X+Y 服从一维正态分布3 设相互独立的两随机变量 X，Y 均服从0，3上的均匀分布，则 P1max(X，Y)2的值为( )4 设相互独立的两随机变
2、量 X 和 Y 分别服从 E()(0)和 E(+2)分布，则Pmin(X，Y)1 的值为( )（A）e -(+1)（B） 1 一 e-(+1)（C） e-2(+1)（D）1 一 e-2(+1)5 设相互独立的两随机变量 X，Y，均服从 E(1)分布，则 P1min(X，Y)2的值为( )（A）e -1 一 e-2（B） 1 一 e-1（C） 1 一 e-2（D）e -2 一 e-46 设(X，Y) 为二维随机变量，则下列结论正确的是( )（A）若 X 与 Y 不相关，则 X2 与 Y2 不相关（B）若 X2 与 Y3 不相关，则 X 与 Y 不相关（C）若 X 与 Y 均服从正态分布，则 X
3、与 Y 独立和 X 与 Y 不相关等价（D）若 X 与 Y 均服从 01 两点分布，则 X 与 Y 独立和 X 与 Y 不相关等价7 设随机变量 X 服从正态分布 N(1， 12)，Y 服从正态分布 N(2， 22)，且 P|X一 1| 1P|Y 2| 1则必有( )（A） 1 2（B） 1 2（C） 1 2（D） 1 28 设随机变量(X，Y) 服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关 fX(x),fY(y)分别表示X，Y 的概率密度，则在 Y=y，条件下，X 的条件概率密度 fX|Y(x|y)为( )（A）f X(x)（B） fY(y)（C） fX(x)fY(y)（D）9 随机变量 X，Y
4、 独立同分布，且 X 的分布函数为 F(x)，则 Z=maxX，Y的分布函数为( )（A）F 2(x)（B） F(x)F(y)（C） 1 一1 一 F(x)2（D）1 一 F(x)1 一 F(y)10 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 N(0，1)，Y 的概率分布为 PY=0=PY=1= 记 FZ(z)为随机变量 Z=XY 的分布函数，则函数 FZ(z)的间断点个数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）311 设 F1(x)，F 2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度 f1(x)与 f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是( )（A）f 1(x)f2(x)（B）
5、 2f2(x)F1(x)（C） f1(x)F2(x)（D）f 1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)二、填空题12 已知(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y)= _。13 设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布，且都服从 的 0 一 1 分布，则随机变量 Z=maxX，Y的分布律为_14 设随机变量 X 和 Y 的联合分布函数为则随机变量 X 的分布函数 F(x)为_15 已知随机变量 X 与 Y 独立同分布，且 X 的分布函数为 F(x)，记 Z=max(X，Y)，则(X ， Z)的联合分布函数 F(x，z)=_16 设(X，Y) N(，； 2， 2；0) ，则 PXY=_17 已知随机
6、变量 X 与 Y 的联合概率分布为 又 PX+Y=1 =04，则 =_；=_； PX+Y1 =_；PX 2Y2=1=_18 已知随机变量 X 与 Y 均服从 01 分布，且 E(XY)= 则 PX+Y1=_19 已知 且 n 维向量 1， 2， 3 线性无关，则1+2， 2+23，X 3+Y1 线性相关的概率为_20 设相互独立的两个随机变量 X 和 Y 均服从标准正态分布，则随机变量 XY 的概率密度函数的最大值等于_21 已知随机变量 X1，X 2，X n 相互独立，且都服从标准正态分布，Y1=X1，Y 2=X2- ，则 Y1 一 Y2 服从_分布，参数为_22 设随机变量(X，Y) 的概
7、率密度为则常数 k=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 设二维连续型随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|0yx3 一 y，y1上服从均匀分布，求边缘密度 fX(x)及在 X=x 条件下，关于 Y 的条件概率密度24 设随机变量 X 在区间(0，1)上服从均匀分布，当 X 取到 x(0x1)时，随机变量 Y 等可能地在(x，1) 上取值试求：(I)(X，Y) 的联合概率密度；()关于 Y 的边缘概率密度函数；()PX+Y125 设以 X 表示某一推销员一天花费在汽油上的款项 (以美元计)，以 Y 表示推销员一天所得的补贴(以美元计)，已知 X 和 Y 的联合概率密度为
8、(I)求边缘概率密度 fX(x),fY(y)；()求条件概率密度 fY|X(y |x),fX|Y(x|y)；()求 x=12 时 Y 的条件概率密度；()求条件概率 PY8 | X=1226 假设随机变量 X 与 Y 相互独立，如果 X 服从标准正态分布，Y 的概率分布为求：(I)Z=XY 的概率密度 fZ(z)；()V=|X Y|的概率密度 fV(v)27 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从参数为 p 的几何分布，即 PX=m=pqm-1，m=1 ，2，0p1，q=1 一 p，Y 服从标准正态分布 N(0，1)求： (I)U=X+Y 的分布函数； ( )V=XY 的分布函数28
9、设随机变量 X 和 Y 的联合密度为(I)试求 X 的概率密度 f(x)；(II)试求事件“X 大于 Y”的概率 PXY ；() 求条件概率 PY1 | X0529 已知(X，Y)的概率分布为 (I)求 Z=XY的概率分布；() 记 ，求(U 1，V 1)的概率分布；()记U2=max(X，Y)，V 2=min(X，Y) ，求(U 2，V 2)的概率分布及 U2V2 的概率分布30 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都在0，1上服从均匀分布，试求： (I)U=XY的概率密度 fU(u)； ()V=|XY|的概率密度 fV(v)考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下
10、列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 设(X 1，X 2)的分布为 F1(x1，x 2)，(Y 1，Y 2)的分布为 F2(y1，y 2)故选项 B 正确【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 因为只有当(X，Y)服从二维正态分布时，X 与 Y 不相关 X 与 Y 相互独立 本题已知 X 和 Y 服从正态分布，不能推得(X，Y) 服从二维正态分布，因此由不相关推不出 X 与 Y 一定独立，故排除选项 A 若 X 和 Y 都服从正态分布且相互独立，则(X，Y) 服从二维正态分布，但由题设并不知道 X 和 Y 是否相互独立，故排
11、除选项 B 同样，当 X 和 Y 都服从正态分布且相互独立时，才能推出X+Y 服从一维正态分布，又排除选项 D 综上可知，选择 C【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 P1max(X，Y)2=Pmax(X ，Y)2一 Pmax(X，Y)1 =PX2，Y2一 PX1，Y1 =PX2PY2一 PX1PY1 =故选项 C 正确【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 Pmin(X，Y) 1=PX1，Y1=PX1PY1 =e-.e-(+2) =e-2(+1) 故选项 C 正确【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 P1min(X，
12、Y)2=Pmin(X，Y) 1一 Pmin(X，Y)2 =PX1，Y1一 PX2，Y2 =PX1PY1一 PX2PY2 =e -1.e-1e-2.e-2=e-2e-4 故选项 D 正确【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 D【试题解析】 对于选项 D：设 XB(1，p)，YB(1，Q)，当 X 与 Y 独立时 X 与Y 不相关反之，当 X 与 Y 不相关，即 E(XY)=E(X)E(Y)=pq 时，可得下列分布律 由此可知 X 与 Y 独立故此时 X 与 Y 独立和 X 与 Y 不相关等价，故选项 D 正确根据不相关的性质可排除选项 A 和 B对于选项 C，当 X 与 Y 均服从正态
13、分布时，(X，Y) 未必服从二维正态分布，故选项 C 不正确【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 A【试题解析】 根据题干可知【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 A【试题解析】 因为(X，Y)服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，那么 X 与 Y 独立，且 f(x， y)=fX(x)fY(y)则 故正确答案为 A【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 A【试题解析】 设 Z 的分布函数为 Fz(z)，则 F Z(x)=P(Zx)=PmaxX，Yx=P(Xx)P(Yx)=F2(x) 故选项 A 正确【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 B【试题解析】
14、 根据题意可知， F Z(z)=P(XYz)=P(XYz|Y=0)P(Y=0)+P(XYz|Y=1)P(Y=1)= 一P(XYz|Y=0)+P(XYz|Y=1)，由于 X，Y 独立，所以所以 z=0 为间断点，因此选项 B 正确【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f1(x)与 f2(x)均为连续函数，故它们的分布函数 F1(x)与 F2(x)也连续根据概率密度的性质，应有 f(x)非负，且 -+f(x)dx=1在四个选项中，只有 D 项满足 -+f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)dx =-+F1(x)F2(x)dx =F1(x)F2(x)|-+=10
15、=1， 故选项 D 正确【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题12 【正确答案】 F(1，1)【试题解析】 根据题设可知(X，Y)服从二维正态分布且密度函数为故 XN(0，2 2)，YN(1 ，3 2)，X 与 Y 的相关系数 =0，所以 X 与 Y 独立， N(0，1)，根据 F 分布典型模式知【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 根据题意显然 Z 也是离散型随机变量，只取 0，1 两个值，且PZ=0=Pmax(X，Y)=0=PX=0 ，Y=0=PX=0PY=0= PZ=1=1 一 PZ=0=所以 Z 的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【
16、试题解析】 根据题意分布函数 F(x)是 F(x，y)的边缘分布函数，所以 F(x)=F(x，+)=F(x，1) ，因此 F(x)=【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 已知 X 与 Y 独立且有相同分布 F(x)，所以(X ，Z)的联合分布函数F(x，z)=PXx，max(X，Y)z=PXx，Xz,Yz【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 03；01；04；03【试题解析】 根据题意得知，01+02+01+02=1 及 PX+Y=1=PX=0，Y=1 +PX=1 ，Y=0=+01=0 4 解
17、得 =03，=01，于是PX+Y1= =PX=0，Y=一 1+PX=0，Y=0+PX=1，Y=一 1 =01+02+01=04：PX 2Y2=1=PX=1，Y=一 1+PX=1，Y=1=0 1+02=03【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 【试题解析】 因为 X 与 Y 均服从 0 一 1 分布，可以列出(X，Y) 的联合分布如下：【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 【试题解析】 因为 1， 2， 3 线性无关，所以“ 1+2， 2+23，X 3+Y1 线性相关” =X+2Y=0”，故所求的概率为【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 【试题解析】 根据题
18、意可知，XYN(0，2)，其概率密度函数f(x)的最大值在 x=0 处，最大值为【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 正态；【试题解析】 Y 1 一 Y2=X1 一 X2+ ，所以Y1 一 Y2 为相互独立正态变量和，且服从正态分布【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 【试题解析】 根据概率密度性质 -+-+f(x，y)dxdy=1，则有 02dx24k(6 一 x 一 y)dy=1，又知 由 8k=1，得常数【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 【正确答案】 如图 34 所示，区域 D 是一个底边平行于 x 轴的等腰梯形
19、，其面积 =2，所以(X ，Y)的联合概率密度为(4)当 x0 或 x3 时，由于 fX(x)=0，因此条件密度 fY|X(y |x)不存在注意在 x0 或x3 时,f Y|X(y|x)不是零，而是不存在【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 (I)根据题设 X 在(0 ，1)上服从均匀分布，因此其概率密度函数为而变量 Y，在 X=x 的条件下，在区间(x，1)上服从均匀分布，所以其条件概率密度为 再根据条件概率密度的定义，可得联合概率密度()根据求得的联合概率密度，不难求出关于 Y 的边缘概率密度()如图 35 所示【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 (I)如图 36
20、 所示(1I)(1)当 10 x20 时，f X(x)0，条件概率密度 fY|X(y|x)存在(2)当 10x20 时，有 (3)当 5y10 或10y20,f Y(y)0,fX|Y(x|y)存在当 5y10 时，(4)当 10y20 时，fX|Y(x|y)是单个自变量 x 的函数，y 是一个固定值()当 x=12 时 Y 的条件概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 (I)根据题意 ，XN(0 ，1)且X 与 Y 相互独立，所以 Z=XY 的分布函数为 FZ(z)=PXYz=PY=一 1PXYz|Y=一 1+PY=1PXYz |Y=1 =PY=一 1P一 Xz | Y=一
21、 1+PY=1PXz|Y=1 =PY=一 1PX一 z+PY=1PXz即 Z=XY 服从标准正态分布，所以其概率密度为 ()由于 V=|XY|只取非负值，因此当 v0 时，其分布函数 FV(v)=P|XY|v=0；当 v0 时，FV(v)=P一 vXYv =PY=一 1P一 vXYv|Y=一 1+PY=1P一 vXYv|Y=1综上计算可得， 由于 FV(v)是连续函数，且除个别点外，导数都是存在的，所以 V 的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 (I)根据全概率公式有【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 根据
22、矩阵法求解，由题设得由此即得：(I)Z=XY 的概率分布()(U1，V 1)的概率分布为 ()(U2，V 2)的概率分布 U2V2 的概率分布为【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 根据 X 与 Y 相互独立且密度函数已知，因此可以用两种方法：分布函数法和公式法求出 U、V 的概率密度 (I)分布函数法根据题设知(X，Y) 联合概率密度 所以 U=XY 的分布函数为(如图 37 所示) (1)当 u0 时，FU(u)=0；当 u1 时，F U(u)=1；(2)当 0u1 时，()公式法设Z=XY=X+(一 Y)其中 X 与(一 Y)独立，概率密度分别为根据卷积公式得 Z 的概率密度 f Z(z)=-+fX(zy)f-Y(y)dy=-10fX(zy)dyV=|XY|=|Z|的分布函数为 FV(v)=P|Z|v|，可得当 v0 时，F V(v)=0；当 v0 时，F V(v)=P一 vZv=-vvfZ(z)dz；由此知，当 0v1 时， F V(v)=-v0(z+1)dz+0v(1 一 z)dz=2v-v2；当 v1时， F V(v)=-v-10dz+-10(z+1)dz+01(1 一 z)dz+1v0dz=1综上可得【知识模块】 概率论与数理统计
