1、考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 n 阶实矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，则对于线性方程组()：Ax=0 和()：ATAx=0，必有( )（A）() 的解是 ()的解，()的解也是()的解。（B） ()的解是( )的解，但( )的解不是()的解。（C） ()的解不是( )的解，( )的解也不是()的解。（D）() 的解是 ()的解，但()的解不是()的解。2 设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵。已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P -1AP)T
2、属于特征值 的特征向量是( )（A）P -1。（B） PT。（C） P。（D）(P -1)T。3 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则1， A(1+2)线性无关的充分必要条件是( )（A） 1=0。（B） 2=0。（C） 10。（D） 20。4 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则 ( )（A）E 一 A=EB。（B） A 与 B 有相同的特征值和特征向量。（C） A 与 B 都相似于一个对角矩阵。（D）对任意常数 t，tEA 与 tE 一 B 相似。5 矩阵 相似的充分必要条件为( )（A）a=0 ，b=2。
3、（B） a=0，b 为任意常数。（C） a=2，b=0。（D）a=2 ，b 为任意常数。6 设 A，B 是可逆矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论错误的是( )（A）A T 与 BT 相似。（B） A-1 与 B-1 相似。（C） A+AT 与 B+BT 相似。（D）A+A -1 与 B+B-1 相似。7 设矩阵 A= ，则( )（A）A 与 C 相似，B 与 C 相似。（B） A 与 C 相似，B 与 C 不相似。（C） A 与 C 不相似，B 与 C 相似。（D）A 与 C 不相似，B 与 C 不相似。二、填空题8 设 =(1，1 ，1) T，=(1 ， 0，k) T，若矩阵 T 相似于
4、 ，则k=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设矩阵 A= ，E 为三阶单位矩阵。()求方程组 Ax=0 的一个基础解系；() 求满足 AB=E 的所有矩阵 B。10 设 3 阶矩阵 A=(1， 2， 3)有 3 个不同的特征值，且 3=1+22。 ()证明：r(A)=2； ()设 =1+2+3，求方程组 Ax= 的通解。11 设齐次线性方程组 其中 a0，b0，n2 。试讨论 a，b 为何值时方程组仅有零解、有无穷多组解? 在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解。12 已知齐次线性方程组 其中ai0，试讨论 a1，a 2，a n 和 b 满足何种关系时：
5、()方程组仅有零解； ()方程组有非零解。在有非零解时，求此方程组的一个基础解系。13 设矩阵 A= ，现矩阵 A 满足方程 Ax=b，其中x=(x1，x n)T，b=(1， 0，0)。 ()求证A=(n+1)a n； ()a 为何值，方程组有唯一解，并求 x1； ()a 为何值，方程组有无穷多解，并求通解。14 设 A= ，已知线性方程组 Ax=b 存在两个不同的解， ()求 ，a； ()求方程组 Ax=b 的通解。15 设 A= 。( )计算行列式A ；()当实数 a 为何值时，方程组 Ax= 有无穷多解，并求其通解。16 设 A= ，a ，b 为何值时，存在矩阵 C，使得 AC 一 CA
6、=B，并求所有矩阵 C。17 设矩阵 A= ，且方程组 Ax= 无解。 ()求 a的值； () 求方程组 ATAx=AT 的通解。18 已知齐次线性方程组同解，求a，b，c 的值。19 设线性方程组 (1)与方程 x1+2x2+x3=a 一 1(2)有公共解，求 a 的值及所有公共解。20 设向量 =(a1，a 2，a n)T，=(b 1，b 2，b n)T 都是非零向量，且满足条件T=0。记 n 阶矩阵 A=T。求： ()A 2； ()矩阵 A 的特征值和特征向量。21 设矩阵 A= ，其行列式A=一 1，又 A 的伴随矩阵 A*有一个特征值 0，属于 0 的一个特征向量为 =(一 1，一
7、1，1) T，求 a，b，c 和 0 的值。22 设 A 为三阶矩阵， 1， 2 为 A 的分别属于特征值一 1，1 的特征向量，向量 3满足 A3=2+3。( )证明 1， 2， 3 线性无关；()令 P=(1， 2， 3)，求 P-1AP。23 证明 n 阶矩阵 相似。24 设矩阵 A= ，矩阵 B=(kE+A)2，其中 k 为实数，E 为单位矩阵。求对角矩阵 A，使 B 与 A 相似，并求 k 为何值时，B 为正定矩阵。25 设 n 阶矩阵 A= 。( )求 A 的特征值和特征向量； ()求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵。考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编 10 答案与解
8、析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 若 是方程组 ()：Ax=0 的解，即 A=0，两边左乘 AT，得ATA=0，即 也是方程组()：A TAx=0 的解，即()的解也是( )的解。 若 是方程组() ： ATAx=0 的解，即 ATA=0，两边左乘 T 得 TATA-=(A)TA=0。A是一个向量，设 A=(b1，b 2，b n)T，则 (A) TA= bi2=0。 故有bi=0，i=1，2，n ，从而有 A=0，即 也是方程组()：Ax=0 的解。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 由已知 A=，于是 P T
9、A=PT，且(P -1AP)T=PTAT(P-1)T， 又由于AT=A，有 (P -1AP)T(PT)=PTA(P-1)TPT=PT， 可见矩阵(P -1AP)T 属于特征值 的特征向量是 PT，故答案选 B。【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 方法一：令 k11+k2A(1+2)=0，则(K 1+k21)1+k222=0。由于1， 2 线性无关，于是有 当 20 时，显然有 k1=0，k 2=0，此时 1，A( 1+2)线性无关；反过来，若 1，A( 1+2)线性无关，则必然有 20(否则， 1 与 A(1+2)=11 线性相关)。故应选 D。方法二：由于 1，A( 1+
10、2)=(1， 11+22)=(1， 2) ，可见 1，A( 1+2)线性无关的充要条件是 =20。故应选 D。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 A 相似于 B，根据矩阵相似的定义，则存在可逆阵 P，使得 P-1AP=B，则 P -1(tE 一 A)P=P-1tEP 一 P-1AP=tEB， 根据矩阵相似的定义，则 tEA 相似于 tEB，应选 D。【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 矩阵 是对角矩阵，所以矩阵 A=相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等。 易知 的特征值是 2，0，0，则可知 A= 的特征值也应该是2，b，0。因此 2E 一 A=
11、 =一4a2=0a=0，将 a=0 代入可知，A 的特征值是 2，b，0。两个矩阵相似，且与 b 的取值是无关的。故选择 B。【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A 与 B 相似，所以存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B，两边分别取转置和逆可得 P -1A-1P=B-1，P TAT(PT)-1=BT，P -1(A+A-1)P=B+B-1， 由此可知选项C 错误。【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 由E 一 A=0 可知，矩阵 A 的特征值为 1，2，2。又因为所以 3-r(2EA)=2，故矩阵 A 可相似对角化，且 A 。由E 一 B=0 可知，
12、矩阵 B 的特征值为 1，2，2。又因为 所以 3-r(2E 一 B)=1，故矩阵 B 不可相似对角化。矩阵 C 本身就是对角矩阵，且其特征值为 1，2， 2，所以 A 与 C 相似，B 与 C 不相似。【知识模块】 线性代数二、填空题8 【正确答案】 2【试题解析】 T 相似于 ，根据相似矩阵有相同的特征值，得到 T 的特征值为 3，0，0。而 T 为矩阵 T 的对角元素之和，因此 1+k=3+0+0，故k=2。【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 () 对系数矩阵 A 进行初等行变换如下：得到方程组 Ax=0 的同解方程组 ，得到 Ax=
13、0 的一个基础解系 1=。 ()显然 B 矩阵是一个 43 矩阵，设 B= ，对增广矩阵(AE)进行初等行变换如下：由方程组可得矩阵 B 对应的三列分别为即满足 AB=E 的所有矩阵为 ，其中 c1，c 2，c 3 为任意常数。【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 () 因为 A 有三个不同的特征值，所以 A 至多只有 1 个零特征值，故 r(A)2。 ()由 r(A)=2 可知，齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系只有 1 个解向量。 再由 3=1+22 可得， 1+22-3=0，从而可得 Ax=0 的基础解系为(1，2，一1)T。 由 =1+2+3 可得，Ax= 的特解为(1，1，1)
14、 T，所以 Ax= 的通解为 k(1，2 ，一 1)T+(1，1，1) T，其中 kR。【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 方程组的系数行列式A= =a+(n 一 1)b(ab)n-1。当 ab，且 a(1 一 n)b 时，方程组仅有零解。当 a=b 时，对系数矩阵 A 作初等变换，有原方程组的同解方程组为 x1，x 2，x n=0，其基础解系为： 1=(一 1，1，0，0) T， 2=(一1，0，1，0) T， n-1=(一 1，0，0，1) T。方程组的全部解是： x=c11+c22+cn-1n-1(c1，c 2，c n-1 为任意常数)。当 a=(1 一 n)b 时，对系数矩阵 A
15、 作初等变换，有原方程组的同解方程组为 其基础解系为 =(1，1，1) T，方程组的全部解是 x=c(c 为任意常数)。【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 方程组的系数行列式()当 b0 且b+ ai0 时，r(A)=n，方程组仅有零解。()当 b=0 时，原方程组的同解方程组为 a1x1+a2x2+anxn=0。由 ai0 可知，a i(i=1，2，n)不全为零。不妨设a10，得原方程组的一个基础解系为 1=(一 ，1，0，0) T， 2=(一 ，0，1，0) T， n-1=(一 ，0，0，1) T。当 b=一 ai 时，有 b0，原方程组的系数矩阵可化为由此得原方程组的同解方程组为
16、x2=x1，x 3=x1，x n=x1。原方程组的一个基础解系为 =(1， 1， ，1) T。【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 () 方法一：=(n+1)an。方法二：记 Dn=A，下面用数学归纳法证明 Dn=(n+1)an。当 n=1 时，D1=2a，结论成立。当 n=2 时，D 2= =3a2，结论成立。假设结论对小于 n一 1 阶行列式的情况成立。将 Dn 按第一行展开得 Dn=2aDn-2 一=2aDn-1 一 a2Dn-2=2anan-1 一 a2(n1)an-2=(n+1)an，故A=(n+1)a n。 方法三：记 Dn=A，将其按第一列展开得 Dn=2aDn-1 一a2D
17、n-2。所以 D n 一 aDn-1=aDn-1a2Dn-2=a(Dn-1 一 aDn-2) =a2(Dn-2 一 aDn-3)=an-2(D2一 aD1)=an。 即有 D n=an+aDn-1=an+a(an-1+aDn-2)=2an+a2Dn-2 =(n 一 2)an+an-2D2=(n1)an+an-1D1 =(n 一 1)an+an-1.2a=(n+1)an。 ( ) 因为方程组有唯一解，所以由Ax=b 知A0，又A =(n+1)a n，故 a0。 根据克拉默法则，将 Dn 的第一列换成 b，得行列式为()方程组有无穷多解，由A=0 ，得 a=0，则方程组 Ax=b 为此时，方程组系
18、数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为 n 一 1，所以方程组有无穷多解，其通解为 k(1，0，0，0)T+(0，1，0，0) T，k 为任意常数。【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 () 方法一：已知 Ax=b 有两个不同的解，故 r(A)= 3，对增广矩阵进行初等行变换，得可知 1 一 2=0或 一 1=0，也即 =1 或 =一 1。当 =1 时，故 Ax=b 无解(舍去)。当=一 1 时， 3，所以 a=一 2。故=一 1，a=一 2。方法二：已知 Ax=b 有两个不同的解，故 r(A)= 3，因此A=0，即A= =( 一 1)2(+1)=0，解得 =1 或 =一 1。 当=1 时，r(A)
19、=1 =2，此时，Ax=b 无解，因此 =一 1。由 r(A)= ，得 a=一 2。 () 对增广矩阵作初等行变换，即可知原方程组等价为 写成向量的形式，即(x 1，x 2，x 3)T=k(1，0，1)T+( ，0) T，因此 Ax=b 的通解为 x=k(1，0，1) T+( ，0)，其中 k 为任意常数。【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 可知要使得原线性方程组有无穷多解，则有 1 一 a4=0 且一 a 一 a2=0，解得 a=一1。此时，原线性方程组增广矩阵为 ，进一步化为行最简形得 可知导出组的基础解系为，故其通解为 ，其中 k 为任意常数。【知识模块】 线性代数16 【正确答案
20、】 显然由 ACCA=B 可知，如果 C 存在，则必须是二阶的方阵。设 则 ACCA=B 变形为，即得到线性方程组要使 C 存在，此线性方程组必有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下所以，当a=一 1，b=0 时，线性方程组有解，即存在矩阵 C，使得 ACCA=B。 此时，所以方程组的通解为即满足 ACCA=B 的矩阵 C 为其中 C1，C 2 为任意常数。【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 () 方法一：增广矩阵已知方程组 Ax= 无解，即要求系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，因此可得 a=0。 方法二：因为方程组 Ax= 无解，所以必有 r(A)3，则 A= =a2-2a=0 解
21、得a=0 或者 a=2。当 a=0 时，(A)= ，方程 Ax= 无解。当a=2 时，(A) ，方程 Ax= 有无穷多解，故舍去。()由()的结果，有【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 方程组()的未知量个数大于方程个数，故方程组()有无穷多解。因为方程组() 与()同解，所以方程组 ()的系数矩阵的秩小于 3。 对方程组( )的系数矩阵施以初等行变换 从而 a=2。此时，方程组()的系数矩阵可化为 故 k(-1，一 1，1) T 是方程组()的一个基础解系。 将 x1=一 1，x 2=一 1，x 3=1 代入方程组()可得 b=1，c=2或 b=0，c=1。 当 b=1，c=2 时，对
22、方程组()的系数矩阵施以初等行变换，有显然此时方程组()与()同解。 当 b=0，c=1 时，对方程组( )的系数矩阵施以初等行变换，有 而此时方程组()与() 的解不相同。 综上所述，当 a=2，b=1 ，c=2 时，方程组()与()同解。【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 方法一：将方程组与方程联立得非齐次线性方程组：若此非齐次线性方程组有解，则方程组与方程有公共解，且(*)的解即为所求全部公共解。对(*)的增广矩阵 作初等行变换得：于是： (1)当 a=1时，有 r(A)= =23，方程组(*)有解，即方程组与方程有公共解，其全部公共解即为(*)的通解，此时 方程组(*)为齐次线性
23、方程组，其基础解系为 ，所以方程组与方程的全部公共解为 ，k 为任意常数。 (2)当a=2 时，有 r(A)= =3，方程组(*)有唯一解，此时 故方程组(*)的解为 ，即方程组与方程的唯一公共解为 方法二：将线性方程组(1)的系数矩阵 A 作初等行变换当 a=1 时，r(A)=2 ，线性方程组 (1)的同解方程组为 由 r(A)=2，方程组有 n 一 r(A)=32=1 个自由未知量。选 x1 为自由未知量，取 x1=1，解得(1)的通解为 k(1，0，一 1)T，其中 k 是任意常数。将通解 k(1，0，一 1)T 代入方程(2)得 k+0+(一 k)=0，对任意的 k 成立，故当 a=1
24、 时，k(1，0，一 1)T 是(1)(2) 的公共解。 当 a=2 时，r(A)=2，方程组(1) 的同解方程组为 由 r(A)=2，方程组有 n 一 r(A)=32=1 个自由未知量。选 x2 为自由未知量，取 x2=1，解得(1)的通解为 (0，1，一 1)T，其中 是任意常数。将通解 (0，1，一 1)T 代入方程(2)得 2 一 =1，即 =1，故当 a=2 时，(1)和(2)的公共解为(0，1，一 1)T。【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 () 对等式 T=0 两边取转置，有( T)T=T=0，即 T=0。 利用T=0 及矩阵乘法的运算法则，有 A 2=(T)2=TT=(T
25、)T=0T=0T=0，即A2 是 n 阶零矩阵。 () 设 是 A 的任一特征值，(0)是 A 属于特征值 的特征向量，即 A=。 对上式两边左乘 A 得 A2=A=(A)=()=2，由()的结果A2=O，得 2=A2=0，因 0，故 =0(n 重根)，即矩阵的全部特征值为零。 下面求 A 的特征向量：先将 A 写成矩阵形式 A=T=。不妨设 a10，b 10，则有于是得方程组(0E A)x=0 的同解方程组 b1x1+b2x2+b3x3=0，这样基础解系所含向量个数为 n 一 r(0EA)=n 一 1。 选 x2，x n 为自由未知量，将它们的组值(b1，0， ，0) ，(0，b 1，0)
26、，(0，0， b1)代入，可解得基础解系为1=(一 b2，b 1，0，0)， 2=(一 b3，0，b 1，0)， n-1=(一bn，0，0，b 1)，则 A 的属于 =0 的全部特征向量为 k11+k22+kn-1n-1，其中 k1，k 2，k n-1 为不全为零的任意常数。【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 根据题设，A *有一个特征值 0，属于 0 的一个特征向量为 =(一1，一 1，1) T，根据特征值和特征向量的概念，有 A*=0，把A=一 1 代入AA*=AE 中，得 AA*=AE= 一 E，则 AA*=一 E=一 。把 A*=0 代入，于是 AA*=A0=0A，即一 =0A，
27、也即 因A= 一 10，A 的特征值 0，A *的特征值 *= 0，故 00，由(1)，(3)两式得 0(一(a+1+c)=一 0(一 1+c 一 a)，两边同除 0，得一 a+1+c=一(一 1+ca)，整理得 a=c，代入(1) 中，得 0=1。进一步可解得 a=2，b= 一 3，c=2 ， 0=1。【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 () 方法一：假设 1， 2， 3 线性相关。因为 1， 2 是分别属于不同特征值的特征向量，故 1， 2 线性无关，则 3 可由 1， 2 线性表出，不妨设3=l11+l22，其中 l1，l 2 不全为零(若 l1，l 2 同时为 0，则 3 为 0
28、，由 A3=2+3 可知 2=0，而特征向量都是非零向量，因此矛盾)。 由 A1=一 1，A 2=2，得A3=2+3=2+l11+l22，又 A3=A(l11+l22)=一 l11+l22，则一l11+l22=2+l11+l22。 整理得 2l11+2=0，则 1， 2 线性相关，矛盾。所以，1， 2， 3 线性无关。 方法二：设存在数 k1，k 2，k 3，使得 k11+k22+k33=0， (1)用 A 左乘(1)的两边并由 Aal=一 51，Aa 252 得 一 k11+(k2+k3)2+k33=0， (2)(1)一(2)得 2k 11 一 k32=0。 因为 1， 2 是 A 的属于不
29、同特征值的特征向量，所以1， 2 线性无关，从而 k1=k3=0，代人(1)得 k22=0，又由于 20，所以 k2=0，故1， 2， 3 线性无关。 ()记 P=(1， 2， 3)，由( )得 P 可逆，且 AP=A(1， 2， 3)=(A1，A 2，A 3)=(一 1， 2， 2+3)=(1， 2， 3)所以 P-1AP= 。【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 设 A= 。分别求解两个矩阵的特征值和特征向量如下：E-A= =( 一 n)n-1，所以 A 的 n 个特征值为 1=n， 2=3= n=0，而且 A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化，且 A =(一 n)n-1，所以 B 的
30、 n 个特征值也为 1=n， 2=3= n=0，对于 n 一 1 重特征值=0，由于矩阵(0EB)=一 B 的秩显然为 1，所以矩阵 B 对应 n 一 1 重特征值 =0的特征向量应该有 n 一 1 个且线性无关。矩阵 B 存在 n 个线性无关的特征向量，即矩阵 B 一定可以对角化，且 B 。从而可知 n 阶矩阵相似。【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 方法一：由E 一 A=( 一 2)2，可得 A 的特征值是1=2=2， 3=0。 那么，kE+A 的特征值是 k+2，k+2 ，k，而 B=(kE+A)2 的特征值是(k+2)2， (k+2)2，k 2。 又由题设知 A 是实对称矩阵，则
31、 AT=A，故 B T=(kE+A)2T=(kE+A)T2=(kE+A)2=B，即 B 也是实对称矩阵，故 B 必可相似对角化，且当 k一 2 且 k0 时，B 的全部特征值大于零，这时 B 为正定矩阵。方法二：由E 一 A=( 一 2)2，可得 A 的特征值是1=2=2， 3=0。 因为 A 是实对称矩阵，故存在可逆矩阵 P 使 P-1AP=P-1。那么 B=(kE+A) 2=(kPP-1+P P-1)2=P(kE+ )P-12 =P(kE+ )2P-1。即 P-1BP=(kE+。当 k一 2 且 k0 时，B 的全部特征值大于零，这时 B 为正定矩阵。【知识模块】 线性代数25 【正确答案
32、】 () 当 b0 时， =一 1 一(n 一 1)b- 一(1 b)n-1，得 A 的特征值为 1=1+(n1)b， 2= n=1 一b。 对 1=1+(n1)b，有解得 1=(1，1，1，1) T，所以 A 的属于 1 的全部特征向量为k1=k(1，1，1，1) T (k 为任意不为零的常数)。 对 2=1 一 b，有 2EA=，得基础解系为 2=(1，一1，0，0) T， 3=(1，0 ，一 1，0) T， 3=(1，0，0，0，一 1)T。 故A 的属于 1 的全部特征向量为 k22+k33+knn(k1，k 2，k n 是不全为零的常数)。 当 b=0 时， E 一 A= =( 一 1)n，特征值为1= n=1，任意非零列向量均为特征向量。 ()当 b0 时，A 有 n 个线性无关的特征向量，令 P=(1， 2， n)，则 P -1AP= 。当 b=0 时，A=E，对任意可逆矩阵P，均有 P-1AP=E。【知识模块】 线性代数
