考研数学线性代数真题汇编

1、 AB BA（D）(AB) -1A -1B -13 (94 年 )设 A 是 mn 矩阵， C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 BAC 的秩为 r1，则 【 】（A）rr 1（B） rr 1（C） rr 1（D）r 与 r1 的关系依 C 而定4 (96 年 )设 n 阶矩阵 A 非奇异 (n2)，A *是矩阵 A 的伴随矩阵，则 【 】（A）(A *)* A n-1A（B） (A*)*A n+1A（C） (A*)*A n-2A（D）(A *)* A n+2A5 (97 年 )设 A、B 为同阶可逆矩阵，则 【 】（A）ABBA（B）存在可逆矩阵 P，使 P-1APB（C）存在可逆矩阵 C，使 CTACB（D）存在可逆矩阵 P 和 Q，使 PAQB 6 (98 年 )设 n(n3)阶矩阵 A 的秩为 n1，则 a 必为 【 】（A）1（B）（C） 1（D）7 (01 年 ) 其中 A 可逆，则 B-1 等于 【 】（A）A -1P1P2（B） P1A-1P2（C） P1P2A。

2、2+223，3 1+525 32 设向量 可由向量组 1， 2， m 线性表示，但不能由向量组()：1， 2， m1 线性表示，记向量组()： 1， 2， m1 ，则( )（A） m 不能由 ()线性表示，也不能由()线性表示（B） m 不能由() 线性表示，但可由()线性表示（C） m 可由() 线性表示，也可由()线性表示（D） m 可由 ()线性表示，但不可由()线性表示3 设 1， 2， ， s 均为 n 维向量，下列结论不正确的是( )（A）若对于任意一组不全为零的数 k1，k 2， ks，都有 k11+k12+kss0，则 1， 2， ， s 线性无关（B）若 1， 2， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k 2，k s，有 k11+k22+kss=0（C） 1， 2， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s（D） 1， 2， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关4 设 。

3、可逆，E+A 可逆。
（C） EA 可逆，E+A 可逆。
（D）E A 可逆，E+A 不可逆。
3 设 是 n 维单位列向量，E 为 n 阶单位矩阵，则( )（A）E 一 T 不可逆。
（B） E+T 不可逆。
（C） E+2T 不可逆。
（D）E 一 2T 不可逆。
4 设矩阵 A=(aij)33 满足 A*=AT，其中 A*是 A 的伴随矩阵，A T 为 A 的转置矩阵。
若 a11，a 12，a 13 为三个相等的正数，则 a11 为( )（A） 。
（B） （C） 。
（D） 。
5 设 A，B 均为二阶矩阵，A *，B *分别为 A，B 的伴随矩阵。
若A=2，B =3，则分块矩阵 的伴随矩阵为( )6 设 A=，其中 A 可逆，则 B-1 等于( )（A）A -1P1P（B） P1A-1P（C） P1P2A-（D）P 2A-1P7 设 A 为三阶矩阵，将 A 的第二行加到第一行得 B，再将 B 的第一列的一 1 倍加到第二列得 c，记 P= ，则( )（A）C=P -1AP。
（B） C=PAP-（C） C=P-1AP。
（D）C=。

4、 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则1， A(1+2)线性无关的充分必要条件是( )（A） 1=0（B） 2=0（C） 10（D） 203 设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A2+A=O若 A 的秩为 3，则 A 相似于( )4 矩阵 相似的充分必要条件为( )（A）a=0 ，b=2（B） a=0，b 为任意常数（C） a=2，b=0（D）a=2 ，b 为任意常数5 设 A，B 是可逆矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论错误的是( )（A）A T 与 BT 相似（B） A1 与 B1 相似（C） A+AT 与 B+BT 相似（D）A+A 1 与 B+B1 相似6 已知矩阵 A= ，则( )（A）A 与 C 相似，B 与 C 相似（B） A 与 C 相似，B 与 C 不相似（C） A 与 C 不相似，B 与 C 相似（D）A 与 C 不相似，B 与 C 不相似二、填空题7 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，2，2，E 为 3 阶单位矩阵，则|4A 1 E|=_8 设 =(1，1 ，1。

5、的标准形为 2y12+y22y 32 其中P=(e1，e 2，e 3)若 Q=(e1，e 3，e 2)，则 f(x1，x 2， x3)在正交变换 x=Qy 下的标准形为( )（A）2y 12y 22+y32（B） 2y12+y22y 32（C） 2y12y 22y 32（D）2y 12+y22+y325 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=a(x12+x22+x32)+2x1x2+2x2x3+2x1x3 的正、负惯性指数分别为 1，2，则( )（A）a1（B） a2（C） 2a1（D）a=1 或 a=2二、填空题6 若二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+x22+x32+2x1x2+tx2x3 是正定的，则 t 的取值范围是_7 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2x 3)2+(x3+x1)2 的秩为_8 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 的秩为 1，A 的各行元素之和为 3，则 f 在正交变换x=Qy 下的标准形为_ 9 设二次型 f(x1，x 2，x 3)。

6、n 阶方阵且A=0，则 【 】（A）A 中必有两行(列) 的元素对应成比例（B） A 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合（C） A 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合（D）A 中至少有一行(列)的元素全为 03 向量组 1， 2， s 线性无关的充分条件是【 】（A） 1， 2， s 均不为零向量（B） 1， 2， s 中任意两个向量的分量不成比例（C） 1， 2， s 中任意一个向量均不能由其余 s 一 1 个向量线性表示（D） 1， 2， s 中有一部分向量线性无关4 设有任意两个 n 维向量组 1， m 和 1， m，若存在两组不全为零的数1， m 和 k1，k m，使( 1+k1)1+( m+km)m+(1 一 k1)1+( m 一 km)m=0，则【 】（A） 1， m 和 1， m 都线性相关（B） 1， m 和 1， m 都线性无关（C） 1+1， m+m， 1 一 。

7、n 阶方阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A 与对角阵相似的( )（A）充分必要条件（B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件（D）既非充分也非必要条件4 设咒阶矩阵 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则( )（A）EA=E B（B） A 与 B 有相同的特征值和特征向量（C） A 和 B 都相似于一个对角矩阵（D）对任意常数 t，tEA 与 tEB 相似二、填空题5 设 4 阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 12，13，14，15，则行列式|B 1 E|=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
5 设矩阵 且方程组 Ax= 无解6 求 a 的值；7 求方程组 ATAx=AT 的通解7 设 3 阶矩阵 A=(1， 2， 3)有 3 个不同的特征值，且 3=1+228 证明 r(A)=2；9 若 =1+2+3，求方程组 Ax= 的通解9 已知 a 是常数，且矩阵 A= 可经初等列变换化为矩阵 B=10 求 a；11 求满足 AP=B 的可逆矩阵 P12 求矩阵。

8、的解，( )的解也不是()的解。
（D）() 的解是 ()的解，但()的解不是()的解。
2 设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵。
已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P -1AP)T 属于特征值 的特征向量是( )（A）P -（B） PT。
（C） P。
（D）(P -1)T。
3 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则1， A(1+2)线性无关的充分必要条件是( )（A） 1=（B） 2=（C） （D） 24 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则 ( )（A）E 一 A=EB。
（B） A 与 B 有相同的特征值和特征向量。
（C） A 与 B 都相似于一个对角矩阵。
（D）对任意常数 t，tEA 与 tE 一 B 相似。
5 矩阵 相似的充分必要条件为( )（A）a=0 ，b=（B） a=0，b 为任意常数。
（C） a=2，b=（D）a=2 ，b 为任意常数。
6 设 A，B 是。

9、x 3)在正交变换 x=Qy 下的标准形为( )（A）2y 12-y22+y3（B） 2y12+y22-y3（C） 2y12-y22-y3（D）2y 12+y22+y33 设矩阵 A= ，则 A 与 B( )（A）合同，且相似。
（B）合同，但不相似。
（C）不合同，但相似。
（D）既不合同，也不相似。
4 设 A= ，则在实数域上与 A 合同的矩阵为( )5 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=a(x12+x22+x32)+2x1x2+2x2x3+2x1x3 的正、负惯性指数分别为 1，2，则( )（A）a（B） a一 （C）一 2a（D）a=1 或 a=一 二、填空题6 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2 的秩为_。
7 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 的秩为 1，A 中各行元素之和为 3，则 f 在正交变换x=Qy 下的标准形为_ 。
8 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3 的负惯性指数是 1，则 a 。

10、A1 +B13 设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为r1，则( )（A）rr 1（B） rr 1（C） r=r1（D）r 与 r1 的关系依 C 而定4 设 n 阶矩阵 A 非奇异(n2)，A *是矩阵 A 的伴随矩阵，则( )（A）(A *)*=|A|n1 A（B） (A)*)*=|A|n+1A（C） (A*)*=|A|n2 A（D）(A *)*=|A|n+2A5 设 A、A 为同阶可逆矩阵，则( )（A）AB=BA （B）存在可逆矩阵 P，使 P1 AP=B（C）存在可逆矩阵 C，使 CTAC=B（D）存在可逆矩阵 P 和 Q，使 PAQ=B6 设 n(n3)阶矩阵 的秩为 n1，则 a 必为( )（A）1（B） 1(1n)（C） -1（D）1(n 1)7 设 其中 A 可逆，则 B1 等于( )（A）A 1 P1P2（B） P1A1 P2（C） P1P2A 1（D）P 2A1 P18 设三阶矩阵 A= ，若 A 的伴随矩阵的秩等于 1，则必有( )（A）a=。

11、求 y的值；（分数：2.00）_(2).求可逆方阵 P，使(AP) T (AP)为对角阵（分数：2.00）_2.设 4阶方阵 A满足条件 （分数：2.00）_3.设 （分数：2.00）_4.设 （分数：2.00）_。

12、不能由() 线性表示，但可由()线性表示（C） m 可由() 线性表示，也可由()线性表示（D） m 可由 ()线性表示，但不可由()线性表示2 (03 年 )设 1， 2， s 均为 n 维向量，下列结论不正确的是 【 】（A）若对于任意一组不全为零的数 k1，k 2， ks，都有k11 k12 k ss0，则 1， 2， s 线性无关（B）若 1， 2， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k 2，k s，有 k11k 22k ss0（C） 1， 2， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s（D） 1， 2， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关3 (06 年 )设 1， 2， s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是 【 】（A）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2， ，A s 线性相关（B）若 1， 2， s，线性相关，则 A1，A 2，A。

13、AC 的秩为 r，则 【 】 （A）r 1（B） rr 1（C） r=r1（D）r 与 r1 的关系依 C 而定3 设 n 阶矩阵 A 非奇异(行2)，A *是矩阵 A 的伴随矩阵，则 【 】（A）(A *)*=An-1A（B） (An)n=An+1A（C） (An)n=An-2A（D）(A n)n=An+2A4 设 A、B 为同阶可逆矩阵，则 【 】（A）AB=BA （B）存在可逆矩阵 P，使 p-1AP=B（C）存在可逆矩阵 C，使 CTAC=B（D）存在可逆矩阵 P 和 Q，使 PAQ=B5 设 n(n3)阶矩阵 的秩为，n 一 1，则 a 必为 【 】 6 设 其中 A 可逆，则 B-1 等于（A）A -1P1P2（B） P1A-1P2（C） P1P2A-1（D）P 2A-1P17 设 n 阶矩阵 A 与 B 等价，则必有【 】（A）当A=a(a0)时，B =a（B）当 A=a(a0)时， B=一 a（C）当 A0 时，B=0 （D）当A=0 时，B=08 设矩阵 A=(aij)3。

14、 A 是 n 阶实对称矩阵， P 是 n 阶可逆矩阵已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P -1AP)T 属于特征值 的特征向量是 【 】（A）P -1（B） PT（C） P（D）(P -1)T3 (05 年 )设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则 1， A(1 2)线性无关的充分必要条件是 【 】（A） 10（B） 20（C） 10（D） 204 (10 年 )设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A2AO若 A 的秩为 3，则 A 相似于 【 】（A）（B）（C）（D）5 (13 年 )矩阵 相似的充分必要条件为 【 】（A）a0， b2（B） a0，b 为任意常数（C） a2，b0（D）a2， b 为任意常数6 (16 年 )设 A，B 是可逆矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论错误的是 【 】（A）A T 与 BT 相似（B） A-1 与 B-1 相似（C） AA T 与 BB T 相似（D）AA -1 与 BB 。

15、 均为 2 阶矩阵，A *，B *分别为 A，B 的伴随矩阵若A2，B3，则分块矩阵 的伴随矩阵为 【 】（A）（B）（C）（D）3 (09 年 )设 A，P 均为 3 阶矩阵，P T 为 P 的转置矩阵，且 PTAP 若P( 1， 2， 3)，Q( 1 2， 2， 3)，则 QTAQ 为 【 】（A）（B）（C）（D）4 (11 年 )设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B，再交换 B 的第 2行与第 3 行得单位矩阵记 则 A 【 】（A）P 1P2（B） P1-1P2（C） P2P1（D）P 2P1-15 (12 年 )设 A 为 3 阶矩阵， P 为 3 阶可逆矩阵，且 P-1AP 若P( 1， 2， 3)，Q( 1 2， 2， 3)，则 Q-1AQ 【 】（A）（B）（C）（D）6 (87 年 )设 n 阶方阵 A 的秩 r(A)rn，那么在 A 的 n 个行向量中 【 】（A）必有 r 个行向量线性无关（B）任意 r 个行向量都线性无关（C）任意 r 个行向量。

16、B=a。
（B）当 A=a(a0)时，B=一 a。
（C）当 A0 时，B=（D）当A=0 时，B=0 。
3 设向量 可由向量组 1， 2， m 线性表出，但不能由向量组()1， 2， m-1 线性表出，记向量组() 1， 2， m-1， ，则( )（A） m 不能由 ()线性表出，也不能由()线性表出。
（B） m 不能由() 线性表出，但可由()线性表出。
（C） m 可由() 线性表出，也可由()线性表出。
（D） m 可由 ()线性表出，但不可由()线性表出。
4 设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，若 AB=C，且 B 可逆，则 ( )（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价。
（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价。
（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价。
（D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价。
5 设 a= ，其中 c1，c 2，c 3，c 4，为任意常数，则下列向量组线性相关的是( )（A） 1， 2， （B） 1，。

17、 列的1 倍加到第 2 列得 C，记 P= ，则( )（A）C=P 1 AP（B） C=PAP1 （C） C=PTAP（D）C=PAP T3 设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 A3=O，则( )（A）E A 不可逆，E+A 不可逆（B） EA 不可逆，E+A 可逆（C） EA 可逆，E+A 可逆（D）E A 可逆，E+A 不可逆4 设 A，B 均为 2 阶矩阵，A *，B *分别为 A，B 的伴随矩阵若|A|=2 ，|B|=3 ，则分块矩阵 的伴随矩阵为( )5 设 A，P 均为 3 阶矩阵，P T 为 P 的转置矩阵，且 PTAP 若P=(1， 2， 3)，Q=( 1+2， 2， 3)，则 QTAQ 为( )6 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B，再交换 B 的第 2 行与第3 行得单位矩阵记 P1= ，则 A=( )（A）P 1P2（B） P11 P2（C） P2P1（D）P 2P11 7 设 A 为 3 阶矩阵，P 为 3 阶可逆矩阵，且 P1 AP= 若 P=。

18、性方程组 Ab 的 3 个解向量，且 A 的秩r(A)3， 1(1 ，2，3，4) T， 2 3(0，1，2，3)T，c 表示任意常数，则线性方程组 AXb 的通解 X 【 】（A）（B）（C）（D）3 (00 年 )设 A 为 n 阶实矩阵， AT 是 A 的转置矩阵，则对于线性方程组( )：A0和()：A TA0，必有 【 】（A）() 的解是 ()的解，()的解也是()的解（B） ()的解是( )的解，但( )的解不是()的解（C） ()的解不是( )的解，( )的解也不是()的解（D）() 的解是 ()的解，但()的解不是()的解4 (01 年 )设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，且秩 秩(A)，则线性方程组 【 】（A）AX 必有无穷多解（B） AX 必有惟一解（C） 0 仅有零解（D） 0 必有非零解5 (02 年 )设 A 是 mn 矩阵， B 是 nm 矩阵，则线性方程组(AB)0 【 】（A）当 nm 时仅有零解（B）当 n。

19、设 n 阶方阵 A 的秩 r(A)=rn，那么在 A 的 n 个行向量中 【 】（分数：2.00）A.必有，一个行向量线性无关B.任意 r 个行向量都线性无关C.任意 r 个行向量都构成极大线性无关向量组D.任意一个行向量都可以由其它 r 个行向量线性表出3.设 A 为 n 阶方阵且A=0，则 【 】（分数：2.00）A.A 中必有两行(列)的元素对应成比例B.A 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合C.A 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合D.A 中至少有一行(列)的元素全为 04.向量组 1 ， 2 ， s 线性无关的充分条件是【 】（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， s 均不为零向量B. 1 ， 2 ， s 中任意两个向量的分量不成比例C. 1 ， 2 ， s 中任意一个向量均不能由其余 s 一 1 个向量线性表示D. 1 ， 2 ， s 中有一部分向量线性无关5.设有任意两个 n 维向量组 1 ， m 和 1 ， m ，若存在两组不全为零的数。

20、设 A和 B都是 nn矩阵，则必有 【 】（分数：2.00）A.A+B=A+BB.AB=BAC.AB=BAD.(A+B) -1 =A -1 +B -13.设 A是 mn矩阵，C 是 n阶可逆矩阵，矩阵 A的秩为 r，矩阵 B=AC的秩为 r，则 【 】 （分数：2.00）A.r 1 B.rr 1 C.r=r 1 D.r与 r 1 的关系依 C而定4.设 n阶矩阵 A非奇异(行2)，A * 是矩阵 A的伴随矩阵，则 【 】（分数：2.00）A.(A * ) * =A n-1 AB.(A n ) n =A n+1 AC.(A n ) n =A n-2 AD.(A n ) n =A n+2 A5.设 A、B 为同阶可逆矩阵，则 【 】（分数：2.00）A.AB=BAB.存在可逆矩阵 P，使 p -1 AP=BC.存在可逆矩阵 C，使 C T AC=BD.存在可逆矩阵 P和 Q，使 PAQ=B6.设 n(n3)阶矩阵 的秩为，n 一 1，则 a必为 【 】 （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 （分数：2。