1、考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 n 阶方阵 A 的秩 r(A)=rn，那么在 A 的 n 个行向量中 【 】（A）必有，一个行向量线性无关（B）任意 r 个行向量都线性无关（C）任意 r 个行向量都构成极大线性无关向量组（D）任意一个行向量都可以由其它 r 个行向量线性表出2 设 A 为 n 阶方阵且A=0，则 【 】（A）A 中必有两行(列) 的元素对应成比例（B） A 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合（C） A 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合（D）A 中至少有
2、一行(列)的元素全为 03 向量组 1， 2， s 线性无关的充分条件是【 】（A） 1， 2， s 均不为零向量（B） 1， 2， s 中任意两个向量的分量不成比例（C） 1， 2， s 中任意一个向量均不能由其余 s 一 1 个向量线性表示（D） 1， 2， s 中有一部分向量线性无关4 设有任意两个 n 维向量组 1， m 和 1， m，若存在两组不全为零的数1， m 和 k1，k m，使( 1+k1)1+( m+km)m+(1 一 k1)1+( m 一 km)m=0，则【 】（A） 1， m 和 1， m 都线性相关（B） 1， m 和 1， m 都线性无关（C） 1+1， m+m，
3、1 一 1， m 一 m 线性无关（D） 1+1， ， m+m， 11， m 一 m 线性相关5 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组中，线性无关的是【 】（A） 1+2， 2+3， 3 一 1（B） 1+2， 2+3， 1+22+3（C） 1+22，2 2+33，3 3+1（D） 1+2+3，2 1 一 32+223，3 1+52 一 536 设向量 可由向量组 1， 2， m 线性表示，但不能由向量组()：1， 2， m-1。线性表示，记向量组()： 1， 2， m-1， ，则【 】（A） m 不能由 ()线性表示，也不能由()线性表示（B） m 不能由() 线性表示，但可由(
4、)线性表示（C） m 可由() 线性表示，也可由()线性表示（D） m 可由 ()线性表示，但不可由()线性表示7 设 1， 2， ， s 均为 n 维向量，下列结论不正确的是 【 】（A）若对于任意一组不全为零的数 k1，k 2， ks，都有 k11+k12+kss0，则 1， 2， ， s 线性无关（B）若 1， 2， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k 2，k s，有 k11+k22+kss=0（C） 1， 2， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s（D） 1， 2， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关8 设 1， 2， ， 3 均为 n 维列向量，
5、A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是【 】（A）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2， ，A s，线性相关（B）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2，A s，线性无关（C）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2，A s，线性相关（D）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2， ，A s，线性无关9 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是【 】（A） 1 一 2， 2 一 3， 3 一 1（B） 1+2， 2+3， 3+1（C） 1 一 22， 223， 321（D） 1+22， 2+23， 3+2110 设向量组： 1， 2， r 可由向
6、量组： 1， 2， s 线性表示下列命题正确的是【 】（A）若向量组线性无关，则 rs（B）若向量组线性无关，则 rs（C）若向量组线性无关，则 rs（D）若向量组线性无关，则 rs11 设 ，其中 c1，c 2，c 3，c 4 为任意常数，则下【 】列向量组线性相关的为（A） 1， 2， 3（B） 1， 2， 4（C） 1， 3， 4（D） 2， 3， 412 设 A，B，C 均为 n 阶矩阵若 AB=C，且 B 可逆，则 【 】（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩
7、阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价13 设 1， 2， 3 均为 3 维向量，则对任意常数 k，向量组 1+k3， 2+3 线性无关是向量组 1， 2， 3 线性无关的 【 】（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件二、填空题14 假设 D 是矩阵 A 的，r 阶子式，且 D0，但含 D 的一切 r+1 阶子式都等于0那么矩阵 A 的一切 r+1 阶子式都等于 0 【 】15 设矩阵 A= ，3 维列向量 =(，1，1) T，已知 A 与 线性相关，则=_16 设行向量组(2，1，1，1)，(2，1， ，)，(3， 2，1，) ，(4，3，
8、2，1)线性相关，且 1，则 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 已知向量组 1， 2， s(s2)线性无关设 1=1+2， 2=2+3， s-1=s-1+s， s=s+1试讨论向量组 1， 2， s 的线性相关性18 设 1=(1， 1，1) ， 2=(1，2，3) ， 3=(1，3，t) (1)问当 t 为何值时，向量组1， 2， 3 线性无关? (2)问当 t 为何值时，向量组 1， 2， 3 线性相关? (3)当向量组 1， 2， 3 线性相关时，将 3 表示为 1 和 2 的线性组合19 试证明 n 维列向量组 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是行列式
9、其中 Ti 表示列向量 i 的转置，i=1，2 ， n20 已知向量组() ： 1， 2， 3；() 1， 2， 3， 4；() ： 1， 2， 3， 5如果各向量组的秩分别为 R()=R()=3 ，R()=4 证明：向量组()：1， 2， 3， 5 一 4 的秩为 421 设向量 1， 2， t 是齐次线性方程组 AX=0 的一个基础解系，向量 不是方程组 AX=0 的解，即 A0试证明；向量组 ，+ 1，+ t 线性无关22 设 4 维向量组 1=(1+，1，1，1) T， 2=(2，2+，2，2) T， 3=(3，3，3+，3)T， 4=(4，4，4，4+) T，问 为何值时， 1， 2
10、， 3， 4 线性相关?当1， 2， 3， 4 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关蛆线性：表出23 设向量组 1=(1，0，1) T， 2=(0，1，1) T， 3=(1，3，5) T 不能由向量组1=(1，1，1) T， 2=(1，2，3) T， 3=(3，4，) T 线性表示 ()求 的值； ()将1， 2， 3 用 1， 2， 3 线性表示考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查矩阵的秩及向量组线性相关的概念注意矩阵的秩也等于矩阵的行秩，还等
11、于矩阵的列秩因此在题设条件下知 A 的行秩为 rn ，因此 A的行向量组中存在 r 个行向量线性无关并且可作为 A 的行向量组的极大无关组【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 因为，方阵 A 的行列式为 O 甘 A 的行(列)向量组线性相关，于是由向量组线性相关的等价定义即知(C)正确可以举例说明 (B)不对注意备选项(A)、(D)都是 A 的行( 列)向量组线性相关的充分条件而非必要条件【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 因为， 1， 2， s 线性相关该向量组中至少存在一个向量，它可以由该组中其余 s 一 1 个向量线性表示而“存在一个向量 ”的反面是
12、“任意一个向量都不”，故有： 1， 2， s 线性无关该组中任意一个向量都不能由其余 s-1 个向量线性表示，即知(C)正确注意备选项(A)、(B)及(D)都是向量组1， 2， s 线性无关的必要条件而非充分条件例如，向量组 1=(1，1)，2=(2，2)中不含零向量，但却线性相关，故 (A)不对；向量组 1(1，2，3)，2=(4，5，6)， 3=(3，3，3)中任意两个向量的分量不成比例，而且有一部分向量1 与 2 线性无关，但 1， 2， 3 线性相关，这说明(B)、(D) 都不对【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 由题设等式，得 1(1+1)+ m(m+m)+k1(
13、1 一 1)+km(m 一m)=0 且 1， m，k 1，k m 不全为零，故向量组 1+1， m+m， 1 一1， ， m 一 m 线性相关。 本题主要考查向量组线性相关的定义注意，本题备选项是关于“线性相关”或“线性无关”的结论，题设条件显然不能推出某组线性无关的结论，故只需考虑是哪个向量组线性相关，而题设等式又可整理成 (D)中向量的系数不全为零的线性组合等于零，即知(D)正确当然也可举例说明 (A)不对，排除(A)后就只有 (D)正确了【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 显然(A) 组线性相关 (第 3 个向量是前 2 个向量的差)；(B)组也线性相关(第 3 个向
14、量是前 2 个向量的和)；对于(C) 组，设有一组数 x1，x 2，x 3，使得 x1(1+22)+x2(22+33)+x3(33+1)=0 即 (x 1+x3)1+(2x1+2x2)2+(3x2+3x3)3=0 因为1， 2， 3 线性无关，所以 解得此齐次方程组只有零解x1=x2=x3=0，故(C)组线性无关或直接应用本章的方法，由于矩阵 的秩为 3，知(C)组线性无关，故选 (C)本题是一种常见题型首先应该运用观察法，而对于不易看出结论的情况，例如，运用这一方法，对于(D) 组，由于矩阵 的秩为 23(D)组合 3 个向量)，故知 (D)组线性相关【知识模块】 线性代数6 【正确答案】
15、B【试题解析】 解 由题设条件，存在常数 k1，k 2， ，k m 使得 k11+k22+kmm= (*) 且必有 km0(否则 km=0，则由上式知 可由()线性表示，这与已知条件矛盾)于是得 即 m 可由()线性表示 另一方面，如果 m 可由()线性表示： m=11+22+ m 一1m 一 1 将上式代入(*)式，则得 =(k 1+km1)1+(k2+km2)2+(km 一 1+kmm 一 1)m一 1 即 可由()线性表示，这与已知条件矛盾，故 m 不能由()线性表示 综合以上两方面的结果，即知(B)正确本题主要考查线性表示的概念及对向量之间线性关系的推理注意，在讨论向量之间的线性关系时
16、，反证法是一个常用的方法【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 解 1 可举如下反例，说明(B)不正确：向量组线性相关，虽然 k1=1、k 2=0 不全为零，但 k11+k22=解 2 由于(A) 、 (C)及(D)的结论正确，故只有(B)不正确本题主要考查线性有关与线性无关的定义注意(A)显然是向量组线性无关的等价定义；而线性相关定义中的“存在一组不全为零的数”显然与“对于任意一组不全为零的数”是不同的【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 A【试题解析】 解 1 若 1， 2， s 线性相关，则存在一组不全为零的常数1， 2， s，使得 k 11+k22+kss=0 两端左
17、乘矩阵 A，得 k1A1+k2A2+ksAs=0 因 k1，k 2，k s 不全为零，故由线性相关的定义，即知向量组 A1，A 2，A s 线性相关 解 2 用排除法 若 A=0 为零矩阵，则A1，A 2，A s 均为零向量，从而 A1，A 2，A s 线性相关，于是选项(B)(D)均不对若 ，则 1、 2 线性无关，且A1=1 与 A2=2 线性无关，故选项 (C)也不对，所以只有选项 (A)正确本题主要考查向量组线性相关性的定义及常用的讨论方法实际上，由于矩阵可以代表线性变换，而线性变换可将线性组合映射为线性组合，从而可将线性相关组映射为线性相关组，如果了解这一点，则可直接选(A)，而不必
18、再深一步考虑【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 A【试题解析】 观察易知 ( 1 一 2)+(2 一 3)+(3 一 1)=0 即选项(A)中 3 个向量之和为零向量，故为线性相关组，从而知选项(A)正确本题考查向量组线性相关、线性无关的定义及其基本判别法至于选项(B)、(C)及(D) 均为线性无关组的判定，可以用本书题中所给的方法例如对于选项(B)，由于矩阵 的秩为 3，故选项(B) 为线性无关组【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 A【试题解析】 解 1 由于()可由() 线性表示，所以有 r()r()，而 r()S ，当()线性无关时，就有 r=r()r( )S，所以选项(A)正
19、确 解 2 设 V 是由向量组()生成的向量空间，则 V 的维数S，由条件知 ，当()线性无关时，V 的维数r，故有 rS，从而知选项(A)正确本题考查向量组的线性相关性与向量组的秩的关系、线性表示问题与向量组的秩的关系及有关性质本题结论在不少教材中都是作为一个定理给出的(例如：魏战线编线性代数与解析几何，高等教育出版社，2004 年 7 月第 1 版，第 147 页，定理 431)，这是关于向量组之阀线性关系的一个基本性质【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 C【试题解析】 解 1 用排除法：当 c10 时，(A)组、(B)组都线性无关；当 c3+c40 时，(D)组线性无关因此，只有选
20、项(C) 正确 解 2 对下列矩阵作初等行变换： 可知矩阵 A 的秩最大是 2，因此，A 的列向量组 1， 3， 4 线性相关，故选项 (C)正确本题主要考查向量组线性相关与线性无关的基本概念与判别方法、及其与矩阵的秩的关系【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 B【试题解析】 解 1 因为矩阵 B 可逆，所以 B 可以表示成若干个初等矩阵之积，而用初等矩阵右乘矩阵相当于对矩阵施行初等列变换经一次初等列变换，变换前与变换后的矩阵的列向量组可以相互线性表示，经若干次初等列变换，亦是如此，即变换前与变换后矩阵的列向量组等价，所以选(B) 解 2 用排除法若取矩阵 则 B 可逆，C=AB= 可见：
21、矩阵 c 的行向量组与矩阵 A 的行向量组不等价；矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组不等价；矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组不等价，所以，选项 (A)，(B)，(C)都不正确，因而只有选项 (B)正确本题综合考查可逆矩阵的性质、初等变换和向量组等价等基本概念对矩阵施行初等行变换与初等列变换，反映在矩阵的行向量组与列向量组上，有哪些不同呢?正确的结论是： (1)若矩阵 A 经初等行变换变成了矩阵 C，则 A 的行向量组与 C 的行向量组等价(但 A 的列向量组与 C的列向量组未必等价)，且 A 的列向量之间的线性关系与 C 的列向量之间的线性关系是相同的(但经初等行变换，矩阵行
22、向量组之间的线性关系未必保持不变) (2)若矩阵 A 经初等列变换变成了矩阵 C，则 A 的列向量组与 C 的列向量组等价(但A 的行向量组与 C 的行向量组未必等价)，且 A 的行向量之间的线性关系与 C 的行向量之间的线性关系是相同的(但经初等列变换，矩阵列向量组之间的线性关系未必保持不变)【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 A【试题解析】 解 1 记向量组()： 1+k3， 2+3； 向量组( )： 1， 2， 3 ()是由( )线性表出的，写成矩阵形式即是： 当()线性无关时，矩阵1， 2， 3为列满秩的由于用列满秩阵左乘矩阵后，矩阵的秩不变，而矩阵 的秩为 2，所以此时上式等号
23、左边矩阵的秩也为 2，也就是该矩阵的列秩为2，从而知向量组() 线性无关，所以，() 线性无关是()线性无关的必要条件 但()线性无关不是 ()线性无关的充分条件，例如当 k=0 时，()线性无关即向量组 1， 2 线性无关，却不能保证()线性无关 解 2 设有常数 x1，x 2，使得 x1(1+k3)+x2(2+3)=0 即 x 11+x22+(x1k+x2)3=0，若()线性无关，则x1=x2=x1k+x2=0，故由定义知 ()线性无关但若( )线性无关，()却未必线性无关，例如 1=(1，0，0) T， 2=(0，1，0) T， 3=0则()线性无关，但()却线性相关因此，() 线性无关
24、是() 线性无关的必要非充分条件本题主要考查判别向量组线性相关或线性无关的基本方法注意要弄清何谓必要条件、何谓充分条件，若 P、Q 均为命题或条件，若能由 P 推出 Q则称 Q 为 P 的必要条件，而 P 为 Q的充分条件；若 P 与 Q 能互相推出，则称 Q 为 P 的充分必要条件【知识模块】 线性代数二、填空题14 【正确答案】 “ 是” 【试题解析】 证 在题设条件下可以证明 A 的秩为 r，故 A 中一切 r+1 阶子式都为0 证明 A 的秩为 r 的方法不是唯一的，下面利用“初等变换不改变矩阵的秩”来证明 A 的秩为 r，设 A= (ij)mn 满足题设条件，不失一般性，设 rmn
25、，并设 A 的非零的 r 阶子式 D 位于 A 的左上角，即 由题设，A 的左上角的 r+1 阶子式(它含 D) 故 Dr+1 的行向量组线性相关，而 Dr+1 的前 r 行线性无关，所以 Dr+1 的第 r+1 行可由前 r 行线性表示因此，通过把 A 的前 r 行的适当倍数加到 A 的第 r+1 行，就可把 A 化成 由行列式的性质知上面化成矩阵的前 r+1 行中的一切 r+1 阶子式都是 A 的相应子式因此前 r+1 行中含 D 的子式都为 0，于是有 r+1，r+1 = r+1，n =0，即经上述初等变换已将 A 的第 r+1 行化成了零行，同理可通过初等行变换将 A 的第 r+2，
26、，第 m 行都化成零行，即经若干次初等行变换可将 A 化成 由于 D0，故 B 中非零子式的最高阶数为 r，即 B 的秩为 r，故 A 的秩为 r本题主要考查矩阵的秩的概念注意证明中利用了“对于方阵 P， P0P 的行(列)向量组线性无关；换句话说就是：P=0 甘 P 的行(列)向量组线性相关”【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 一 1【试题解析】 由条件，存在常数 ，使得 A=，即 或 由此解得 =一 1两个向量线性相关这两个向量中至少有一个向量可由另一个向量线性表出本题如果从=A( 为某常数)出发来求解，结果是一样的【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 【试题解析】 解 由条件知
27、行列式 =( 一 1)(2 一 1)=0 又 1，所以， 本题解答利用了“n 个 n 维向量线性相关由这 n 个向量构成的 n 阶方阵的行列式等于零” 的命题【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 假设有一组数 x1，x 2，x s，使得 x 11+x22+xss=0 将题设的线性表示式代人上式并整理，得 (x s+x1)1+(x1+x2)2+(xs-1+xs)s=0 由于1， 2， s 线性无关，故有 此方程组的系数行列式为 s 阶行列式： 因此有 (1) 若 s 为奇数，则 D=20，故方程组 (*)只有零解，即 x1，x 2，x s 必
28、全为 0这时，1， 2， s 线性无关； (2)若 s 为偶数，则 D=0，故方程组(*)有非零解，即存在不全为 0 的一组数 x1，x 2，x s，使 x11+x22+xss=0这时，向量组1， 2， s 线性相关【试题解析】 本题考查向量组线性相关与线性无关的基本概念注意本题问题归结为齐次方程组(*)是存在非零解还是只有零解的问题，亦即方程组(*)的系数矩阵的秩是小于 s 还是等于 s 的问题运用本题的推导方法，可证明下述的一般结论： 设向量组 1， 2， r，线性无关，又有(其中 ij 为常数，i=1，r；j=1，s) 1=111+212+ r1lr 2=121+222+ r2r s=1
29、s1+2s2+ rsr 则向量组 1， 2， s 线性无关矩阵 A=(ij)rs 的秩为s【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 解 1 由于行列式 所以，当 t5 时，D0 ，此时向量组 1， 2， 3 线性无关； 当 t=5 时，D=0，此时向量组 1， 2， 3 线性相关 当t=5 时，对矩阵 T1， T2T3作初等行变换： 由此即知 3=一 1+22 解 2 对矩阵 A=T1， T2， T3作初等行变换： 由此可知，当 t5 时，r(A)=3，此时向量组 1， 2， 3 线性无关；当 t=5 时，r(A)=2，此时向量组 1， 2， 3 线性相关，此时，有 于是得 3=一 1+22【
30、试题解析】 本题主要考查向量组的线性相关性与向量组所构成矩阵的秩的关系，以及如何求解线性表示的问题注意，向量 由向量组 1， n 线性表示的问题，等价于一个非齐次线性方程组的问题，这个方程组的增广矩阵为 【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 证 记 n 阶矩阵 A1 与 2 n，则 1 与 2 n 线性无关的充分必要条件是A 0 另一方面，由 有ATA=AAT=A2=D从而， A0 与 D0 等价由此可见， 1 与 2 n 线性无关的充分必要条件是 D0【试题解析】 本题主要考查满秩方阵性质的应用及矩阵乘法的概念注意，矩阵乘法的本质是“在行乘右列”，由此可知矩阵( iTj)mn 的第 i
31、行 Ti1Ti2 Tin可以写成 Ti1 2 n，因此可将矩阵 ( Tij)mn 写成 ATA 的形式，从而建立起行列式 D 与A的关系，这是本题证明之关键【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 证 1 因 R()=R()=3 ，所以 1， 2， 3 线性无关，而1， 2， 3， 4 线性相关，故存在数 1， 2， 3，使得 4=11+12+13 (*) 设有数k1，k 2，k 3，k 4，使得 k 11+k22+k33+k4(5 一 4)=0 将(*)式代入上式并化简，得 (k1 一 1k4)1+(k2 一 2k4)2+(k3 一 3k4)3+k45=0，由 R()=4 知 1， 2， 3
32、， 5 线性无关，所以 得 k1=k2=k3=k4=0，故 1， 2， 3， 5 一 4 线性无关，即其秩为 4 证 2 同证 1 可知存在数 1， 2， 3，使得 4=11+22+33 所以有 5 一 4=一 11 一 22 一 33+5 即 5 一 4 可由向量组()线性表示，于是知 () 可由()线性表示又 5 一 4+(5 一 4)=15+15+35+(5 一 4)即 5 可由向量组。( )线性表示，于是知()可由()线性表示因此，向量组()。与向量组() 等价，=R( )=R( )=4【试题解析】 本题主要考查向量组线性相关性的概念及线性相关性与向量组的秩的关系注意证 1 是利用定义
33、证明向量组()线性无关，其中利用了“若1， ， r 线性先关，而 1， r， 线性相关，则 可由 1， r 线性表示”的结论证 2 则利用了“等价的向量组必具有相同的秩”这一结论【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 证 设有一组数 k0，k 1，k t使得 k0+k1(+1)+kt(+1)=0 即 (k0+k1+kt)+k11+ktt=0 (*) 用矩阵 A 左乘(*) 式两端并注意Ai=0(i=1，t)，得 (k 0+k1+kt)A=0 因为 A0，所以有 k 0+k1+kt=0 (*)代入(*)式，得 k11+kt1=0 由于向量组 1， t 是方程组 AX=0 的基础解系，所以 k
34、1=kt=0 因而由(*)式得 k0=0因此，向量组 ，+ 1，+ t 线性无关【试题解析】 本题主要考查向量组线性无关的定义证明法及齐次方程组基础解系的概念利用定义证明向量组线性无关，就是从向量组的线性组合等于零出发，由已知条件来推证线性组合的系数都为零，本题的推证关键是“用 A 左乘”这一变换【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 解 1 记 A=(1， 2， 3， 4)，则 于是当 =0 或 =一 10时， 1， 2， 3， 4 线性相关 当 =0 时， 10，且 2， 3， 4 均可由 1 线性表出，故 1 为 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组，且 2=21， 3=31，
35、4=41 当 =一 10 时，对 A 施以初等行变换，有 由于2， 3， 4 为 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组，且 1=一 2 一 3 一 4，故2， 3， 4 为 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组，且 1=一 2 一 3 一 4 解 2 记 A=(1， 2， 3， 4)，对 A 施以初等行变换，有 当 =0 时，A 的秩为1，因而 1， 2， 3， 4 线性相关，此时 1 为， 12， 3， 4 的一个极大线性无关组，且 2=21， 3=31， 4=41 当 0 时，再对 B 施以初等行变换，有 如果 一 10，C的秩为 4，从而 A 的秩为 4，故 1， 2， 3，
36、 4 线性无关 如果 =一 10，C 的秩为 3，从而 A 的秩为 3，故 1， 2， 3， 4 线性相关 由于 2， 3， 4 为1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组，且 1=一 2 一 3 一 4于是 2， 3， 4 为1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组，且 1=一 2 一 3 一 4【试题解析】 本题综合考查向量组线性相关与线性无关，向量组的极大无关组等基本概念及线性表出问题的基本计算方法本题当 =0 时，容易观察得到所给向量组的秩为 1，从而知极大无关组只含 1 个向量，于是选其中一个非零向量便可作极大无关组，而且线性表出问题也由观察即可直接得到当 0 时，无论是解 1还
37、是解 2，都用到了一个重要结论：矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组之间的线性关系【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 () 解 1 4 个 3 维向量 1， 2， 3， i 线性相关(i=1 ，2，3)，若1， 2， 3 线性无关，则 i 可由 1， 2， 3 线性表示(i=1，2，3)，这与题设矛盾，于是 1， 2， 3 线性相关，从而 于是=5此时， 1 不能由向量组 1， 2， 3 线性表示 解 2 考虑下列矩阵的初等行变换 可见当 5 时， 1， 2， 3可由 1， 2， 3 线性表示；当 =5 时， 1， 2 不能由 1， 2， 3 线性表示，故=5 () 解 令矩阵 A=1 2 31， 2， 3，对 A 施行初等行变换 从而， 1=22+42 一3， 2=1+22， 3=51+10223【试题解析】 本题主要考查向量空间的基本知识及求线性表示式的基本运算注意，3 个线性无关的 3 维向量必可作为 3 维向量空间的基，从而可线性表示任一 3维向量，由此立即可知题给的向量组 1， 2， 3 线性相关，于是由矩阵 1 2 3的秩小于 3 或行列式 1 2 3=0，便可求出 来【知识模块】 线性代数
