1、考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编 16 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设矩阵 若集合 =1，2，则线性方程组 Ax=b 有无穷多解的充分必要条件为( )2 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征根，则 A 的伴随矩阵 A*的特征值之一是( )（A） 1 |A|n（B） 1 |A|（C） |A|（D）|A| n3 n 阶方阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A 与对角阵相似的( )（A）充分必要条件（B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件（D）既非充分也非必要条件4 设咒阶矩阵 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则( )
2、A）EA=E B（B） A 与 B 有相同的特征值和特征向量（C） A 和 B 都相似于一个对角矩阵（D）对任意常数 t，tEA 与 tEB 相似二、填空题5 设 4 阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 12，13，14，15，则行列式|B 1 E|=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 设矩阵 且方程组 Ax= 无解6 求 a 的值；7 求方程组 ATAx=AT 的通解7 设 3 阶矩阵 A=(1， 2， 3)有 3 个不同的特征值，且 3=1+228 证明 r(A)=2；9 若 =1+2+3，求方程组 Ax= 的通解9 已知 a 是常数，且矩阵 A= 可经初
3、等列变换化为矩阵 B=10 求 a；11 求满足 AP=B 的可逆矩阵 P12 求矩阵 的实特征值及对应的特征向量13 设矩阵 (1)求 A 的特征值；(2)利用(1)的结果，求矩阵 E+A1的特征值，其中 E 是 3 阶单位矩阵14 设 1， 2 是 n 阶方阵 A 的两个不同特征值，x 1，x 2 分别是属于 1， 2 的特征向量证明：x 1+x2 不是 A 的特征向量15 设矩阵 A 与 B 相似，其中 (1)求 x 和 y 的值；(2)求可逆矩阵 P，使 P1 AP=B16 设 A= 有 3 个线性无关的特征向量，求 x 和 y 应满足的条件16 设矩阵17 已知 A 的一个特征值为
4、3，试求 y；18 求可逆矩阵 P，使(AP) T(AP)为对角矩阵18 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1，2，3；矩阵 A 的属于特征值 1，2 的特征向量分别是 1=(1，1，1) T， 2=(1，2，1) T19 求 A 的属于特征值 3 的特征向量；20 求矩阵 A20 设向量 =(a1，a 2，a n)T，=(b 1，b 2，b n)T 都是非零向量，且满足条件T=0记 n 阶矩阵 A=T求：21 A2；22 矩阵 A 的特征值和特征向量23 设矩阵 矩阵 B=(kE+A)2，其中 k 为实数， E 为单位矩阵求对角矩阵 A，使 B 与 A 相似；并求 k 为何值时，B 为正
5、定矩阵24 设矩阵 且|A|=1，又设 A 的伴随矩阵 A*有特征值 0，属于 0 的特征向量为 =(1，1，1) T求 a，b，c 及 0 的值24 设矩阵 已知线性方程组 AX= 有解但不惟一，试求25 a 的值；26 正交矩阵 Q，使 QTAQ 为对角矩阵考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编 16 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 对方程组的增广矩阵施行初等行变换(化成阶梯形)：由于方程组有无穷多解，当然不能有唯一解，所以有(a1)(a2)=0，即 a=1 或 a=2，此时系数矩阵的秩为 2，由有解判定定理知，当且
6、仅当 a 且 d，所以选 D【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 为可逆方阵 A 的特征值，故 0，且存在列向量 x0，使Ax=x用 A*左乘两端并利用 A*A=|A|E，得|A|x=A *x，两端同乘 1，得A*x=1 |A|x，由特征值的定义即知 1|A| 为 A*的一个特征值且 x 对应的一个特征向量，故只有 B 正确【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 因为，A nn 相似于对角阵 A 有 n 个线性无关特征向量，故备选项A 不对若 Ann 有 n 个互不相同的特征值，则 A 必有 n 个线性无关的特征向量，因而 A 必相于对角阵；但与对角阵相
7、似的方阵 A 也可能有重特征值，故 B 正确【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 由已知条件，存在可逆矩阵 P，使得 P1 AP=B 所以 P1 (tEA)P=tEP 1 AP=tEB 这说明 tEA 与 tEB 相似，故 D 正确【知识模块】 线性代数二、填空题5 【正确答案】 24【试题解析】 1 由于相似矩阵有相同的特征值，故 B 的特征值为：12，13，14，15，因此，B 1 的特征值为：2，3，4，5从而知 B1 E的特征值为：1，2，3，4由特征值的性质，得|B 1 E|=1234=242 由题设条件知 4 阶矩阵 B 的特征值为 12，13，14，15，B 的
8、特征值互不相同，故B 相似于对角矩阵即存在可逆矩阵 P，使得 两端取逆矩阵，得 P1 B1 P 故有 p1 (B1 E)P=P 1 B1 P1 E两端取行列式，即得|B 1 E|=24 【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 对矩阵(A，)施以初等行变换：由阶梯形矩阵可见：当a0 且 a2 时，秩 (A)=秩(A，)=3，此时方程组有唯一解；当 a=2 时，秩(A)=秩(A， )=2，此时方程组有无穷多解；当 a=0 时，秩(A)秩(A ，)，此时方程组无解，故只有 a=0 符合题意，得 a=0【知识模块】 线性代数7 【
9、正确答案】 对矩阵(A TA AT)施以初等行变换：所以方程组 ATAx=AT 的通解为 (k 为任意常数)【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 由于矩阵 A 的第 3 列可以由其前两列线性表示，即 A 的列向量组线性相关，从而知 A 的秩 r(A)2；又因为 A 有 3 个不同的特征值，所以 A 至少有2 个不为零的特征值，从而 r(A)2；故 r(A)=2【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 由 0=1+22 3 知 = 是方程组Ax=0 的一个解又由 r(A)=2 知方程组 Ax=0 的基础解系所含解向量的个数为32=1 ，所以 = 是方程组 Ax=0 的一个基
10、础解系因为 =1+2+3是方程组 Ax= 的一个特解，故方程组 Ax= 的通解为 其中 k 为任意常数【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 对矩阵 A 作初等行变换：由此知 A 的秩，r(A)=2 ；又因为初等列变换不改变矩阵的秩，所以矩阵 B 的秩也为 2，对 B 作初等行变换：由此可知 r(B)=2 a=2，所以 a=2【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 对矩阵 A 作初等列变换，把 A 化成矩阵 B：=B 由于对矩阵作一次初等列变换，相当于用一个相应的初等矩阵左乘矩阵，因此所求的矩阵 P 可以是( 不唯一)【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 |EA|
11、 =(1)( 2+4+5)=0 得 A 有唯一实特征值 =1解齐次线性方程组(EA)x=0 ，由 得其基础解系为 =(0，2，1) T故对应于特征值 =1 的全部特征向量为 x=k(0，2，1)T(k 为任意非零常数 )【试题解析】 本题考查特征值与特征向量的求法注意，A 的属于特征值 0 的特征空间的基就是齐次方程组( 0EA)x=0 的基础解系所以，如果求出了此基础解系： 1， t，则 A 的属于 0 的全部特征向量为 x=k11+ktt，其中k1，k t，是任意一组不全为零的常数【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 (1)由 A 的特征方程|EA|=(1)( 2+45)=(1)2(+
12、5)=0 得 A 的全部特征值为 1=2=1， 3=5 (2)因为 A 为实对称矩阵，所以A 必相似于对角阵，即存在可逆阵 P，使得 P1 AP 两端取逆矩阵，得P1 A1 P 所以 P1 (E+A1 )P=P1 EP+P1 A1 P上式说明矩阵 E+A1 的全部特征值为：2，2，45【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 用反证法设 x1+x2 为方阵 A 的属于特征值 0的特征向量，则有 A(x 1+x2)=0(x1+x2) 或 Ax1+Ax2=0x1+0x2 由已知，有 Axi=ix2(i=1，2)，于是有 1x1+2xi=0x1+0xx 即( 1 0)x1+(2 0)x2=0 因为
13、x1、x 2 分别是属于不同特征值的特征向量，故 x1 与 x2 线性无关，因此由上式得 1 0=0， 2 0=0 于是得1=0=2，这与 12 矛盾所以 x1+x2 不是 A 的特征向量【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 (1)因为 A 与 B 相似，故它们的特征多项式相同，即|IA|=|I B|，得(+2) 2(x+1)+(x2)(+1)(2)(y)令 =0，得 2(x2)=2y，可见 y=x2；令 =1，得 y=2，从而 x=0或由 A 与对角阵 B 相似知 A 的全部特征值为：1，2，y将 =1 代入 A 的特征方程，有故 x=0，再由特征值的性质，有1+2+y=2+x+1=2+
14、0+1=1，得 y=2(2)由(1)知且 A 的全部特征值为1=1， 2=2， 3=2，计算可得对应的特征向量分别可取为 1=(0，2，1)T， 2=(0，1，1) T， 3=(1，0，1) T 故可逆矩阵 P=1 2 3 满足P1 AP=B【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 由 A 的特征方程|EA| =(1) 2(+1)=0 得 A的全部特征值为 1=2=1， 3=1因为不同特征值所对应的特征向量线性无关，且对应于单特征值 3=1 有且仅有一个线性无关的特征向量，故 A 有 3 个线性无关的特征向量 对应于 2 重特征值 1=2=1 必须有 2 个线性无关的特征向量 齐次方程组(EA
15、)x=0 的基础解系含 2 个向量 r(EA)=1矩阵的秩必须等于 1，故 =yx=0，于是得 x+y=0，而且当 x+y=0 时，E+A 的秩的确为 1，故 x 和 y 应满足条件 x+y=0【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 因为 0=|3IA| =8(2y)所以 y=2，于是【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 由 AT=A，得(AP) T (AP)=PTA2P，而矩阵 以下欲求矩阵 P，使 PTA2P 为对角矩阵，可以有几种方法：方法 1 考虑二次型XTA2X=x12+x22+5x32+5x42+8x3x4=x12+x22+5(x3+ x4)2+x42
16、令y1=x1， y2=x2，y 3=x3+ x4，y 4=x4，得 方法 2 因为 A2 为实对称矩阵，所以存在正交矩阵 P，使得 P1 A2P=PTA2P 为对角矩阵下面来求这样的正交矩阵 P首先求出 A2 的全部特征值：1=2=3=1， 4=9计算可得对应于 1=2=3=1 的特征向量为 1=(1，0，0，0)T， 2=(0，1，0，0) T， 3=(0，0，1，1) T1， 2， 3 已两两正交，经单位化后，得向量组 1=(1，0，0，0) T， 2=(0，1，0，0) T， 3=(0，0， )T 计算可得对应于 4=9 的特征向量为 4=(0，0，1，1) T，经单位化后，得 令矩阵
17、P=1 2 3 4 则有 PTA2P=(AP)T(AP) 方法 3 易求出实对称矩阵 A 的特征值为 1，1；1，3，对应的规范正交的特征向量可取为因此有正交矩阵 P=e1 e2 e3 e4 使 P1 AP=PTAP=diag(1，1，1，3)，从而有 PTA2P=(PTAP)(PTAP)=diag(1，1，1，9) 【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 设 A 的属于特征值 3 的特征向量为 3=(x1，x 2，x 3)T。因对于实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量相互正交，所以 1T3=0， 2T3=0，即(x1，x 2，x 3)T 是齐次方程组 的非零解解上列方
18、程组，得其基础解系为 =(1，0，1) T因此 A 的属于特征值 3 的特征向量为 3=k(1，0，1) T(k 为任意非零常数)【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 令矩阵 P=1 2 则有【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 由 T=0，有 T=0由 A=T，有 A 2=AA 一( T)(T)=(T)T=(T)(T)=O 即 A2 为 n 阶零矩阵【试题解析】 主要考查矩阵乘法，注意这里首先由 T 是 1 阶方阵，知其转置不变，得 0=T=(T)T=T；其次，在求 A2 时，利用了矩阵乘法的结合律，并利用已推得的 T=0，很快推得 A2=O，而并没有具体计算
19、A 并进而计算 A2，可见作矩阵运算时一般要先作“字母运算”进行化简【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 设 为 A 的任一特征值，x(0)为对应的特征向量，则 Ax=x，两端左乘 A，得 A2x=Ax=2x，因为 A2=O，所以 2x=0，又 x0，故 =0即矩阵 A的特征值全为零不妨设向量 ， 中分量 a10， b10，对齐次方程组(0EA)x=0的系数矩阵施行初等行变换：由此可得方程组(0EA)X=0 的基础解系为： 1=(b 2b 1，1 ，0，0)T， 2=(b 3b 1，0，1，0) T， n1 =(b nb 1，0，0，1) T 于是，A 的属于特征值 =0 的全部特征向量为
20、c 11+c22+cn1 n1 (c1，c 2，c n1 是不全为零的任意常数)【试题解析】 主要考查幂零方阵(即满足 Am=O 的方阵 A，其中 m 为正整数)的特征值的计算及方阵特征向量的求法，注意 0，0，故 ， 的分量不全为零，而假设 a10，b 10，对于消元最为简单【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由|EA| =(2) 2=0 得 A 的特征值为1=2=2， 3=0记对角矩阵 因 A 是实对称矩阵，故存在正交矩阵P，使得 P1 AP=PTAP=D 所以 A=PDP1 于是 B=(kE+A)2=(kPP1 +PDP1 )2=P(kE+D)P1 2=P(kE+D)P1 P(k
21、E+D)P1 =P(kE+D)2P1由此可得亦可由 A 的特征值为： 2，2，0，得 kE+A 的特征值为：k+2，k+2，k ，进而得 B=(kE+A)2 的特征值为：(k+2) 2，(k+2) 2，k 2，从而得实对称矩降 B 相似于对角阵 A由上面的结果立刻得到：当 k2，且 k0 时，B 的特征值均为正数，这时 B 为正定矩阵【试题解析】 本题主要考查实对称矩阵及其多项式相似于对角矩阵的问题注意，若方阵 A 相似于对角阵，则 A 的多项也必相似于对角阵事实上，若存在可逆矩阵 P，使 P1 AP=D 则对任意正整数 m，有 P1 AmP=(P1 AP)m=Dm由此可知 A 的任一多项式也
22、必相似于对角阵例如，由P1 (A3+2A3E)P=P 1 A3P+2P1 AP3E 即知 A 的多项式 A3+2A3E 相似于对角阵本题第 1 种解法就是这个思想另外，B 为实对称矩阵，所以 B 必相似于对角阵 A，而且 A 的主对角线元素就是 B 的全部特征值，因而，只要求出了 B 的全部特征值，也就求出了对角阵 A这就是本题第 2 种解法的思想还需注意，本题只要求求出 B 的相似对角矩阵，不必求出相似变换的矩阵 P【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由 A*=0，AA *=|A|E=E 有 AA*=0A，从而有= 0A 或由(1)和(3)解得 0=1将 0=1 分别代入(2) 和(1
23、)，得 b=3，a=c由|A|=1 和 a=c有 故 a=c=2因此 a=2，b= 3，c=2 ， 0=1【试题解析】 本题综合考查特征值与特征向量、伴随矩阵、矩阵乘法和向量相等等概念注意，利用 AA*=|A|E 将方程 A*=0 转化为 0A= 是本题简化运算的关键【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 对方程组的增广矩阵 B作初等行变换：由此可见 1)当 a1 且 a2 时，r(A)=r( )=3，方程组有惟一解；2)当 a=1 时，r(A)=1，r( )=2，方程组无解；3)当 a=2 时，r(A)=r( )=23，方程组有无穷多解故 a=2 满足题设条件或解：因
24、线性方程组 AX= 有解但不惟一，所以=(a1) 2(a+2)=0当 a=1 时，秩(A) 秩A B，此时方程组无解；但 a=2 时，秩(A)= 秩A B，此时方程组的解存在但不惟一，于是知 a=2【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由 a=2 知得 A 的特征值为 1=0， 2=3， 3=3对于 1=0，解方程组(0E A)X=0 ，由得对应的特征向量为1=(1， 1，1) T，单位化，得对应的单位特征向量为 对于 2=3，解方程组(3E A)X=0，由 得对应的特征向量为 2=(1，0，1) T单位化，得对应的单位特征向量为对于特征值3，解方程组(3EA)X=0，由得对应的特征向量为e3=(1，2，1) T，单位化，得对应的单位特征向量为 故所求的正交矩阵为 Q=e1 e2 e3【知识模块】 线性代数
