1、考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (99 年 )设向量 可由向量组 1， 2， m 线性表示，但不能由向量组()：1， 2， m-1 线性表示，记向量组()： 1， 2， m-1， ，则 【 】（A） m 不能由 ()线性表示，也不能由()线性表示（B） m 不能由() 线性表示，但可由()线性表示（C） m 可由() 线性表示，也可由()线性表示（D） m 可由 ()线性表示，但不可由()线性表示2 (03 年 )设 1， 2， s 均为 n 维向量，下列结论不正确的是 【 】（A）若对于任意一组不全为零
2、的数 k1，k 2， ks，都有k11 k12 k ss0，则 1， 2， s 线性无关（B）若 1， 2， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k 2，k s，有 k11k 22k ss0（C） 1， 2， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s（D） 1， 2， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关3 (06 年 )设 1， 2， s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是 【 】（A）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2， ，A s 线性相关（B）若 1， 2， s，线性相关，则 A1，A 2，A s 线性无关（C）若 1， 2，
3、 s 线性无关，则 A1，A 2，A s 线性相关（D）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2， ，A s 线性无关4 (07 年 )设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是 【 】（A） 1 2， 2 3， 3 1（B） 1 2， 2 3， 3 1（C） 12 2， 22 3， 321（D） 12 2， 22 3， 32 15 (10 年 )设向量组 ： 1， 2， r 可由向量组： 1， 2， s 线性表示下列命题正确的是 【 】（A）若向量组线性无关，则 rs（B）若向量组线性无关，则 rs（C）若向量组线性无关，则 rs（D）若向量组线性无关，则 rs6 (
4、12 年 )设 ，其中 c1，c 2，c 3，c 4 为任意常数，则下列向量组线性相关的为 【 】（A） 1， 2， 3（B） 1， 2， 4（C） 1， 3， 4（D） 2， 3， 47 (13 年 )设 A，B ，C 均为 n 阶矩阵若 ABC，且 B 可逆，则 【 】（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价8 (14 年 )设 1， 2， 3 均为 3 维向量，则对任意常数 k，l，向量组1 k3， 2l 3 线性无关是向
5、量组 1， 2， 3 线性无关的 【 】（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件9 (92 年 )设 A 为 mn 矩阵，则齐次线性方程组 AX0 仅有零解的充分条件是 【 】（A）A 的列向量线性无关（B） A 的列向量线性相关（C） A 的行向量线性无关（D）A 的行向量线性相关10 (95 年) 设矩阵 Amn 的秩为 r(A)mn，I m 为 m 阶单位矩阵，则下述结论中正确的是 【 】（A）A 的任意 m 个列向量必线性无关（B） A 的任意一个 m 阶子式不等于零（C）若矩阵 B 满足 BA O，则 BO（D）A 通过初等行变换，必可以化
6、为I mO的形式二、填空题11 (06 年) 设矩阵 A ，E 为 2 阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BAB2E ，则B _12 (10 年) 设 A，B 为 3 阶矩阵，且A3，B2，A -1B2，则AB -1_13 (12 年) 设 A 为 3 阶矩阵， A3，A *为 A 的伴随矩阵若交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，则BA *_14 (13 年) 设 A(a ij)是 3 阶非零矩阵， A为 A 的行列式，A ij 为 aij 巧的代数余子式若 aij Aij0(i ，j 1，2，3)，则A _15 (02 年) 设矩阵 A ，3 维列向量 (a ，1，1) T，已知 A 与
7、 线性相关，则a_16 (05 年) 设行向量组 (2，1，1，1) ，(2，1，a，a)，(3，2，1，a) ，(4 ，3，2，1)线性相关，且 a1，则 a_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 (09 年) 设 ()求满足 A2 1，A 23 1 的所有向量 2， 3； ()对()中的任意向量 2， 3，证明 1， 2， 3 线性无关18 (10 年) 设 已知线性方程组 Ab 存在 2 个不同的解 ()求 ，a； ()求方程组 A b 的通解19 (13 年) 设 当 a，b 为何值时，存在矩阵 C 使得 ACCA B，并求所有矩阵 C20 (14 年) 设 A ，E
8、 为 3 阶单位矩阵 ( )求方程组 A0 的一个基础解系；()求满足 ABE 的所有矩阵 B21 (16 年) 设矩阵 ，且方程组 A 无解 ( )求 a 的值； () 求方程组ATAA T 的通解22 (87 年) 求矩阵 A 的实特征值及对应的特征向量23 (89 年) 设矩阵 A (1)求 A 的特征值； (2)利用 (1)的结果，求矩阵 EA -1 的特征值，其中 E 是 3 阶单位矩阵24 (90 年) 设 1， 2 是 n 阶方阵 A 的两个不同特征值， 1， 2 分别是属于 1， 2 的特征向量证明： 1 2 不是 A 的特征向量25 (92 年) 设矩阵 A 与 B 相似，其
9、中 (1)求 和 y 的值； (2) 求可逆矩阵 P，使P-1APB26 (94 年) 设 A 有 3 个线性无关的特征向量，求 和 y 应满足的条件27 (96 年) 设矩阵 A (1)已知 A 的一个特征值为 3，试求 y； (2)求可逆矩阵P，使(AP) T(AP)为对角矩阵28 (97 年) 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1，2， 3；矩阵 A 的属于特征值 1，2 的特征向量分别是 1( 一 1，1，1) T， 21，2，1) T (1)求 A 的属于特征值3 的特征向量； (2)求矩阵 A29 (98 年) 设向量 (a 1，a 2，a n)T，(b 1，b 2，b n)T
10、 都是非零向量，且满足条件 T0记 n 阶矩阵 A T 求：(1)A 2； (2)矩阵 A 的特征值和特征向量考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由题设条件，存在常数 k1，k 2， km 使得 k11 k22 k mm (*) 且必有 km0(否则 km0，则由上式知 可由()线性表示，这与已知条件矛盾)于是得 即 m 可由()线性表示 另一方面，如果 m 可由() 线性表示： m 11 22 m-1m-1 将上式代入(*)式，则得 (k 1 m1)1(k 2k m2)2(k m
11、-1k mm-1)m-1 即 可由()线性表示，这与已知条件矛盾，故 m 不能由()线性表示 综合以上两方面的结果，即知 B 正确【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 可举如下反例，说明 B 不正确：向量组 线性相关，虽然k11、k 20 不全为零，但 k12k 22 0【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 若 1， 2， s 线性相关，则存在一组不全为零的常数k1，k 2，k s，使得 k 11k 22k ss0 两端左乘矩阵 A，得 k1A1 k2A2k sAs0 因 k1，k 2，k s，不全为零，故由线性相关的定义，即知向量组 A1，A 2，A s，
12、线性相关【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 观察易知 ( 1 2)( 2 3)( 3 1)0 即选项 A 中 3 个向量之和为零向量，故为线性相关组，从而知选项 A 正确【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 由于() 可由() 线性表示，所以有，r(I)r()，而 r()S，当()线性无关时，就有， rr()r()S，所以选项 A 正确【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 用排除法：当 c10时，A 组、B 组都线性无关；当 c3c 40时，D组线性无关因此，只有选项 C 正确【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 因为矩
13、阵 B 可逆，所以 B 可以表示成若干个初等矩阵之积，而用初等矩阵右乘矩阵相当于对矩阵施行初等列变换经一次初等列变换，变换前与变换后的矩阵的列向量组可以相互线性表示，经若干次初等列变换，亦是如此，即变换前与变换后矩阵的列向量组等价，所以选 B【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 A【试题解析】 设有常数 1， 2，便得 1(1k 3) 2(2l 3)0 即11 22 (1k 2l)0， 若()线性无关，则 1 2 1k 2l0，故由定义知()线性无关但若 () 线性无关，()却未必线性无关，例如 1(1，0，0)T， 2(0，1，O) T， 30，则()线性无关，但()却线性相关因此，()线
14、性无关是() 线性无关的必要非充分条件【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 A【试题解析】 设 A 按列分块为 A 1 2 n，X ( 1， 2， n)T，则方程组AX0 的向量形式为 11 22 nn0，因此，AX0 只有零解 X0，等价于上式只在 1 2 n0 时成立，亦即 A 的列向量组 1， 2， n 线性无关故 A 正确，B 显然不对，读者可以举例说明 C、D 都不对【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 C【试题解析】 由 BAO 知 A 的每个列向量都是齐次方程组 B0 的解，由题设知 A 的列向量中有 m 个是线性无关的，故 B0 的解集合中至少有 m 个线性无关的解向量，
15、因而 B0 的基础解系所含向量个数不小于 m，即 mr(B)m，所以，r(B)0，故 r(B)0，即 BO【知识模块】 线性代数二、填空题11 【正确答案】 2【试题解析】 由给定矩阵方程得 BAB2E B(AE)2E 两端取行列式，得B AE 2E 因AE 2，2E2 2E4 所以有2B 4，从而得B 2【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 3【试题解析】 由于 AB -1(ABE)B -1A(BA -1)B-1A(A -1B)B -1，两端取行列式，并利用ABCABC及B -1B -1，得 AB -1A.A -1B.B -132 3【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 27【试题解
16、析】 由于互换行列式的两行，则行列式仅变号，于是知B3再利用A *A n-1A 29，得BA *BA *27【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 1【试题解析】 由 AO，不妨设 a110，由已知的 Aija ij(i，j1，2，3)，得及 A(A *)T，其中 A*为 A 的伴随矩阵 用 AT 右乘 A(A *)T 的两端，得 AA T(A *)AT(AA *)T( AI) T， 其中 I 为 3 阶单位矩阵，上式两端取行列式，得 A 2(1) 3A 3，或A 2(1A )0， 因A 0，所以A1【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 1【试题解析】 由条件，存在常数 ，使得 A，即
17、由此解得 a1【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 【试题解析】 由条件知行列式 又 a1，所以，a 【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 () 设考 2( 1， 2， 3)T，解方程组 A2 1，由 得1 2， 312 2(2 任意) 令自由未知量 2c，则得 设3(y 1，y 2，y 3)T，解方程组 A23 1，由 得 y1 y 2(y2，y 3 任意)令自由未知量 y2c 2，y 3 c3，则得 其中 c2，c 3 为任意常数 ()3 个 3 维向量1， 2， 3 线性无关的充要条件是 3 阶行列式 D 1 2 30而 所以1，
18、 2， 3 线性无关【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 () 因为 A 为方阵且方程组 Ab 的解不唯一，所以必有A0，而A(1) 2(1)，于是 1 或 1 当 1 时，因为r(A)rA b，所以 Ab 无解(亦可由此时方程组的第 2 个方程为矛盾方程知Ab 无解)，故舍去 1 当 1 时，对 Ab 的增广矩阵施以初等行变换因为 Ab 有解，所以 a2 ()当 1、a 2 时， 所以， 1 3， 2 ， 3 任意，令自由未知量 3k，则得 Ab 的通解为【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 设矩阵 C ，由同型矩阵相等的充分必要条件是它们的对应元素都相等，得 ACCAB 成立的充分
19、必要条件是 对方程组(*)的增广矩阵施以初等行变换，得 当 a1 或 b0 时，方程组(*)的系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，方程组(*)无解 当 a1 且 b0 时，方程组(*)的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，方程组(*)有解，通解为 综上，当且仅当 a1 且 b0 时，存在满足条件的矩阵 C，且 C ，k 1，k 2 为任意常数【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 () 对方程组的系数矩阵 A 施以初等行变换 设( 1， 2， 3， 4)T，选取 为自由未知量，则得方程组的一般解：1 4， 22 4， 33 4(4 任意) 令 41，则得方程组 A0 的一个基础解系为 ( 1 ，2，3
20、，1) T ()对矩阵A E施以初等行变换 记Ee 1，e 2，e 3，则 方程组 Ae 1 的同解方程组为 从而得 Ae 1 的通解为 k 1 k1 为任意常数， 同理得方程组 Aye 2 的通解为 yk 2 k2 为任意常数， 方程组 Aze 3 的通解为 zk 3 ，k 3 为任意常数，于是得所求矩阵为【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 () 对矩阵(A，) 施以初等行变换： 由阶梯形矩阵可见：当a0 且 a2 时，秩 (A)秩(A，)3，此时方程组有唯一解；当 a2 时，秩(A) 秩(A ， )2，此时方程组有无穷多解；当 a0 时，秩(A)秩(A ，)，此时方程组无解，故只有
21、a0 符合题意，得 a0 ()对矩阵 (ATA AT)施以初等行变换： 所以方程组 ATAA T 的通解为【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 EA ( 1)( 245)0 得 A 有唯一实特征值1 解齐次线性方程组(EA)0，由 EA 得其基础解系为(0，2，1) T故对应于特征值 1 的全部特征向量为 k(0，2，1) T(k 为任意非零常数)【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由 A 的特征方程 得 A 的全部特征值为 1 21， 35 (2)解：由(1)知 A-1 的全部特征值为：1，1， 因此有 E A -10，EA -10 作变换，可得 0EA -1(EE)(E A -1
22、)2E (EA -1) 0 EA -1( EE) (EA -1)(E(E A -1) 因此，矩阵 EA -1 的全部特征值为：2，2， 【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 用反证法设 1 2 为方阵 A 的属于特征值 0的特征向量，则有 A( 1 2) 0(1 2) 或 A1A 2 01 02 由已知，有 Ai i2(i1，2)，于是有 11 2i 01 0 即( 1 0)1( 2 0)20 因为 1、 2 分别是属于不同特征值的特征向量，故 1 与 2 线性无关，因此由上式得 1 00， 2 00 于是得 1 0 2，这与 12 矛盾所以 1 2 不是 A 的特征向量【知识模块】 线性
23、代数25 【正确答案】 (1)因为 A 与 B 相似，故它们的特征多项式相同，即IA IB，得 (2) 2(1) (2)( 1)(2)(y) 令0，得 2(2)2y，可见 y2；令 1，得 y2，从而 0 (2)由(1)知 且 A 的全部特征值为 11， 22， 32，计算可得对应的特征向量分别可取为 1(0，2， 1)T， 2(0，1，1) T， 3(1 ，0，1) T 故可逆矩阵 P 1 2 3 满足 P-1APB【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由 A 的特征方程 EA (1) 2(1)0 得 A 的全部特征值为 11， 3 1 因为不同特征值所对应的特征向量线性无关，且对应于单
24、特征值 31 有且仅有一个线性无关的特征向量，故 A 有 3 个线性无关的特征向量 对应于 2 重特征值 1 21 必须有 2 个线性无关的特征向量齐次方程组(E A) 0 的基础解系含 2 个向量 3r(EA) 2 r(EA)1矩阵 的秩必须等于 1，故 y0，于是得 y0，而且当y0 时， EA 的秩的确为 1，故 和 y，应满足条件 y0【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (1)因为 所以 y2，于是 A (2)由 ATA ，得(AP) T(AP)p TA2P，而矩阵 以下欲求矩阵 P，使 pTA2P 为对角矩阵， 考虑二次型 XTA2X 12 225 325 428 34 12
25、225( 3 4)2 42 令y1 1，y 2 2，y 3 3 4，y 4 4，得【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 (1)设 A 的属于特征值 3 的特征向量为 3( 1， 2， 3)T因对于实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量相互正交，所以 1T30， 2T30，即(1， 2， 3)T 是齐次方程组 的非零解 解上列方程组，得其基础解系为(1，0，1) T因此 A 的属于特征值 3 的特征向量为 k(1，0，1) T(k 为任意非零常数) (2)令矩阵【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 (1)由 T0，有 T0由 A T，有 A 2AA( T)(T)( T)T( T)(T) O 即 A2 为 n 阶零矩阵 (2)设 为 A 的任一特征值，(0)为对应的特征向量，则 A ，两端左乘 A，得 A2A 2，因为 A2O ，所以 20，又 0，故 0即矩阵 A 的特征值全为零 不妨设向量 ， 中分量 a10，b 10，对齐次方程组(0EA) 0 的系数矩阵施行初等行变换： 由此可得方程组(OE A) 0 的基础解系为： 1( ，1，0，0) T， 2( ，0，1，0) T， n-1( ，0，0， ，1) T 于是，A 的属于特征值0 的全部特征向量为： c 11c 22c n-1n-1(c1，c 2，c n-1 是不全为零的任意常数)【知识模块】 线性代数
