1、考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为四阶实对称矩阵，且 A2+A=O，若 A 的秩为 3，则 A 相似于( )2 设二次型 f(x1，x 2，x 3)在正交变换 x=Py 下的标准形为 2y12+y22-y32，其中P=(e1，e 2，e 3)，若 Q=(e1，-e 3，e 2)，f(x 1，x 2，x 3)在正交变换 x=Qy 下的标准形为( )（A）2y 12-y22+y32。（B） 2y12+y22-y32。（C） 2y12-y22-y32。（D）2y 12+y22+y32。3 设矩阵 A=
2、 ，则 A 与 B( )（A）合同，且相似。（B）合同，但不相似。（C）不合同，但相似。（D）既不合同，也不相似。4 设 A= ，则在实数域上与 A 合同的矩阵为( )5 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=a(x12+x22+x32)+2x1x2+2x2x3+2x1x3 的正、负惯性指数分别为 1，2，则( )（A）a1。（B） a一 2。（C）一 2a1。（D）a=1 或 a=一 2。二、填空题6 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2 的秩为_。7 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 的秩为 1，A 中各行元素之和为 3，则
3、 f 在正交变换x=Qy 下的标准形为_ 。8 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3 的负惯性指数是 1，则 a 的取值范围是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设矩阵 A= 。()求 a，b 的值；()求可逆矩阵 P，使 P-1AP 为对角矩阵。10 已知矩阵 A= 。 ( )求 A99； ()设三阶矩阵 B=(1， 2， 3)满足B2=BA，记 B100=(1， 2， 3)，将 1， 2， 3 分别表示为 1， 2， 3 的线性组合。11 设矩阵 A= 。已知线性方程组 Ax= 有解但不唯一，试求：()a 的值； () 正交矩阵
4、 Q，使 QTAQ 为对角矩阵。12 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(b0)，其中二次型的矩阵A 的特征值之和为 1，特征值之积为一 12。 ()求 a，b 的值； ()利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。13 设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1=(1 一，2，一 1)T， 2=(0，一 1，1) T 是线性方程组 Ax=0 的两个解。 ()求 A 的特征值与特征向量；()求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 QTAQ=A； ()求 A 及(A 一 E)，其中 E为三阶单位矩
5、阵。14 设三阶实对称矩阵 A 的特征值 1=1， 2=2， 3=一 2， 1=(1，一 1，1) T 是 A 的属于 1 的一个特征向量。记 B=A5 一 4A3+E，其中 E 为三阶单位矩阵。 ()验证1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量； ()求矩阵 B。15 设 A= ，正交矩阵 Q 使得 QTAQ 为对角矩阵，若 Q 的第一列为(1， 2，1) T，求 a，Q。16 A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 。()求 A 的所有特征值与特征向量；()求矩阵 A。17 已知 A= ，二次型 f(x1，x 2，x 3)=xT(ATA)x 的秩为 2。 ()求实数a
6、 的值； ()求正交变换 x=Qy，将 f 化为标准形。18 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3()证明二次型 f 对应的矩阵为 2T+T；()若 ， 正交且均为单位向量，证明二次型 f 在正交变化下的标准形为 2y12+y22。19 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12-x22+ax32+2x1x2-8x1x3+2x2x3 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 1y12+2y22，求 a 的值及正交矩阵 Q。20 设 A 为 n 阶实对称矩阵，r(A)=n，A ij 是 A=(aij)nn 中元素 aij 的代数
7、余子式(i，j=1，2，n)，二次型 f(x1，x 2，x n)= xixj。 ()记xT=(x1，x 2，x n)，把 f(x1，x 2，x n)= xixj。写成矩阵形式，并证明二次型 f(x)的矩阵为 A-1； ()二次型 g(x)=xTAx 与 f(x)的规范形是否相同? 说明理由。21 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=ax12+ax22+(a 一 1)x32+2x1x3 一 2x2x3。 ()求二次型 f 的矩阵的所有特征值； ()若二次型 f 的规范形为 y12+y22，求 a 的值。22 设 A 为 mn 实矩阵，E 为 n 阶单位矩阵。已知矩阵 B=E+ATA，试证：当0
8、 时，矩阵 B 为正定矩阵。23 设有 n 元实二次型 f(x 1，x 2，x n)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2， 其中 ai(i=1，2，n) 为实数。试问：当 a1，a 2，a n 满足条件时，二次型 f(x1， x2，x n)为正定二次型。24 设 A 为三阶实对称矩阵，且满足 A2+2A=O。已知 A 的秩 r(A)=2。 ()求 A 的全部特征值； () 当 k 为何值时，矩阵 A+kE 为正定矩阵，其中 E 为三阶单位矩阵。25 设 D= 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为mn 矩阵。
9、 ()计算 PTDP，其中 P= ；()利用()的结果判断矩阵BCTA-1C 是否为正定矩阵，并证明你的结论。考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 设 A 的特征值为 ，因为 A2+A=O，所以 2+=0，即 (+1)=0=0或 =一 1。又因为 r(A)=3，A 必可相似对角化，对角阵的秩也是 3。所以 =一 1是三重特征根，则 A ，正确答案为 D。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 方法一：由题设可知 f=XTAxYT(PTAP)=2y12+y22-y32
10、。且所以 f=xTAx=yT(QTAQ)y=2y12-y22+y32。答案选 A。 方法二：由题意可知，二次型 f(x1，x 2，x 3)的矩阵 A的特征值为 2，1，一 1，对应的特征向量分别为 e1，e 2，e 3。由特征向量的性质可知，e 1，e 2，-e 3 仍然分别是属于特征值 2，1，一 1 的特征向量，同时 e1，e 2，-e 3仍为单位正交向量组，故 QTaQ=diag2，一 1，1。所以二次型 f(x1，x 2，x 3)在正交变换 x=Qy 下的标准形为 2y12-y22-y32。故选 A。【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 方法一：由E 一 A=0 得
11、A 的特征值为 0，3，3，而 B 的特征值为 0，1，1从而 A 与 B 不相似。 又 r(A)=r(B)=2，且 A，B 有相同的正惯性指数，因此 A 与 B 合同。故选 B。 方法二：因为 tr(A)=2+2+2=6，tr(B)=1+1=26，所以 A 与 B 不相似(不满足相似的必要条件)。又E 一 A=( 一 3)2，E 一B=( 一 1)2，A 与 B 是同阶实对称矩阵，其秩相等，且有相同的正惯性指数，故 A 与 B 合同。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 由矩阵 A 和 D 有相同的特征多项式，则矩阵 A 和 D 有相同的特征值。 又矩阵 A 和D 为同阶实
12、对称矩阵，那么矩阵 A 和 D 相似。 由于实对称矩阵相似必合同，故 D正确。【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 二次型矩阵为 ，可知其特征值为 a 一 1，a 一 1，a+2，于是 a 一 10，a+20，即一 2a1，故选 C。【知识模块】 线性代数二、填空题6 【正确答案】 2【试题解析】 方法一：因为 f(x 1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2 =2x12+2x22+2x32+2x1x2+2x1x32x2x3，于是，二次型的矩阵为从而 r(A)=2，即二次型的秩为 2。 方法二：因为 f(x 1，x 2， x3)=(x1+x2
13、)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2 =2x12+2x22+2x32+2x1x2+2x1x3-2x2x3 =2(x1+ (x2 一 x3)2 =2y12+ y22，其中 y1=x1+ x3，y 2=x2 一 x3。所以二次型的秩为 2。【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 f=3y 12【试题解析】 因为矩阵 A 的秩是 1，因此矩阵 A 有两个 0 特征值，又因为 A 的各行元素的和为 3，因此 。故 f 的特征值为 3，0，0。所以标准型为f=3y12。【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 一 2，2【试题解析】 方法一：由配方法可知， f(x 1，x 2，x 3)=x12-x22
14、+2ax1x3+4x2x3 =(x1+x3)2 一(x 22x3)2+(4 一 a2)x32，由已知二次型的负惯性指数为 1，故 4 一 a20，所以 a的取值范围是一 2，2 。 方法二：二次型的矩阵为 A= 。由题意可知A 的特征值中有且仅有一个为负数。又由于 tr(A)=0，矩阵 A 的惯性指数有两种可能：正惯性指数为 1、负惯性指数为 1；正惯性指数为 2，负惯性指数为 1。出现这两种情况之一的充要条件是A0。A=a 2 一 4，可知 a一 2，2。【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 () 由 A B 有 tr(A)=tr(B)，故
15、 a 一 b=一 1，又由A =B有2ab=3，解得 a=4，b=5 。 ()先求 A 的特征根，E 一 A=0，得1=2=1， 3=5。 再求 A 的特征向量，当 1=2=1 时，由(E 一 A)x=0 解得x1=(2，1，0) T，x 2=(一 3， 0，1) T，当 3=5 时，由(5EA)x=0 解得，x 3=(一 1，一1，1) T，令 P=(x1，x 2，x 3)= ，所以 P-1AP= 。【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 () 矩阵 A 的特征多项式为E 一A= =(+1)(+2)，则 A 的特征值为 1=一 1， 2=一2， 3=0。 解线性方程组( iEA)x=0(i
16、=1，2，3)可得特征值 1=一 1， 2=一2， 3=0 对应的特征向量分别为 1=(1，1，0) T， 2=(1，2，0) T， 3=(3，2，2) T。令P=(1， 2， 3)，则 P-1AP= ，所以()由B2=BAB 3=BBA=B2A=BA2B 100=BA99，即 (1， 2， 3)=(1， 2， 3)，则 1=(299 一 2)1+(2100 一 2)2， 2=(1299)1+(12100)2， 3=(2299)1+(2299)2。【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 () 线性方程组 Ax= 有解但不唯一，即有无穷多解r(A)= n=3，将增广矩阵作初等行变换，得因为方程
17、组 Ax= 有解但不唯一，所以 r(A)= 3，故 a=一 2。 ()由()，有故 A的特征值为 1=0， 2=一 3， 3=3。 当 1=0 时，得方程组(0E A)x=0 的同解方程组为 可见，r(0E 一 A)=2，可知基础解系的个数为 n 一r(0EA)=32=1，故有一个自由未知量，选 x2 为自由未知量，取 x2=1，解得对应的特征向量为 1=(1，1，1) T。 当 1=3 时，得方程组(3EA)x=0 的同解方程组为可见，r(3EA)=2 ，可知基础解系的个数为 n 一 r(3EA)=32=1，故有一个自由未知量，选 x1 为自由未知量，取 x1=1，解得对应的特征向量为 2=
18、(1，0，一 1)T。 当 1=一 3 时，得方程组(一 3E 一 A)x=0 的同解方程组为 可见，r(一 3E 一 A)=2，可知基础解系的个数为 n 一r(一 3EA)=32=1，故有一个自由未知量，选 x2 为自由未知量，取 x2=2，解得对应的特征向量为 3=(一 1，2，一 1)T。 由于 A 是实对称矩阵，其不同特征值的特征向量相互正交，故这三个不同特征值的特征向量相互正交，只需将 1， 2， 3单位化，【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 () 二次型 f 的矩阵为 设 A 的特征值为i(i=1，2，3)，由题设，有 1+2+3=a+2+(-2)=1， 123= =一 4a
19、-2b2=一 12。解得 a=1，b=2。()由矩阵 A 的特征多项式 E 一 A=(-2)2(+3)，得 A 的特征值 1=2=2， 3=一 3。 对于1=2=2，解齐次线性方程组(2E 一 A)x=0，得其基础解系 1=(2，0，1)T， 2=(0，1，0) T。 对于 3=一 3，解齐次线性方程组(一 3E-A)x=0，得基础解系 3=(1，0，一 2)T。 由于 1， 2， 3 已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，将 1， 2， 3 单位化，可得令矩阵 Q=( 1， 2， 3)= ，则 Q 为正交矩阵。在正交变换 x=Qy 下，有 Q TAQ=，且二次型的标准形为 f=2y12+2
20、y22-3y32。【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 () 因为矩阵 A 的各行元素之和均为 3，所以，则由特征值和特征向量的定义知，=3 是矩阵 A 的特征值，=(1， 1，1) T 是对应的特征向量。因此对应 =3 的全部特征向量为 k，其中 k 为不为零的常数。 又由题设知 A1=0，A 2=0，即 A1=0 1，A 2=0 2，而且1， 2 线性无关，所以 =0 是矩阵 A 的二重特征值， 1， 2 是其对应的特征向量。因此对应 =0 的全部特征向量为 k11+k22，其中 k1，k 2 为不全为零的常数。 ()因为 A 是实对称矩阵，所以 与 1， 2 正交，所以只需将 1，
21、2 正交。 取 1=1一(一 1，2，一 1)T，由施密特正交法则 2=2 一 。再将， 1， 2 单位化，得令Q=(1， 2， 3)，则 Q-1=QT，由 A 是实对称矩阵必可相似对角化，得 QTAQ=。() 由( ) 知 QTAQ= ，所以【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 () 由 A1=1 得 A21=A1 一 1，进一步 A 31=1， A 51=1，故 B1=(A5 一 4A3+E)1 =A514A31+1 =1 一 41+1 =一 21。从而 1 是矩阵 B 的属于特征值一 2 的特征向量。 因 B=A5 一 4A3+E，且 A 的三个特征值1=1， 2=2， 3=一 2，
22、则 B 的三个特征值为 1=一 2， 2=1， 3=1。 设 2， 3 为 B的属于 2=3=1 的两个线性无关的特征向量，又 A 为对称矩阵，得 B 也是对称矩阵，因此 1 与 2， 3 正交，即 1T2=0， 1T3=0。所以 2， 3 可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解：即 b 的全部特征值的特征向量为： 其中 k10 是不为零的任意常数，k2，k 3 是不同时为零的任意常数。()令 P=(1， 2， 3)=，得【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 根据题意，(1，2，1) T 是 A 的一个特征向量，于是解得 a=一 1， 1=2。 由于 A 的特征多项式为E一 A=( 一
23、2)( 一 5)(+4)，所以 A 的特征值为 2，5，一 4。当 2=一 4 时，由此得其基础解系含有一个解向量，即 2= ；当 3=一 5 时，由此得其基础解系含有一个解向量，即 3= 。把 2， 3 单位化得：此时，Q TAQ=，Q 即为所求的矩阵。【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 () 因为 r(A)=23，因此 A 有一个 0 特征值，另外两个特征值是 1=一 1， 2=1。 1=一 1， 2=1 对应的特征向量分别为： 设 3=0 对应的特征向量为是特征值 0 对应的特征向量。因此 k11，k 22，k 3 是对应于特征值一 1，1，0 的特征向量，其中 k1，k 2，k
24、3 为任意非零常数。()由于不同特征值对应的特征向量已经正交，故只需单位化，即 1=(0，1，0)T。令 Q=(1， 2， 3)，则 QTAQ= ，【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 ()A TA= ，由 r(ATA)=2，可得=(a+1)2(a2+3)=0，可知 a=一 1。 ()f=xTATAx=(x1，x 2，x 3) =2x12+2x22+4x32+4x1x2+4x3x3，令矩阵解得 B 矩阵的特征值为 1=0； 2=2； 3=6。 对于 1=0，解( 1EB)x=0 得对应的特征向量为1= ； 对于 2=2，解( 1EB)x=0 得对应的特征向量为 2= ； 对于3=6，解(
25、3EB)x=0 得对应的特征向量为 3= 。 将 1， 2， 3 单位化可得令 x=Qy 可将原二次型化为2y22+6y32。【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 () 方法一：由题意可知，f(x 1，x 2，x 3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2所以二次型 f 对应的矩阵为 2T+T。 方法二： f=(2a 12+b12)x12+(2a22+b22)x22+(2a32+b32)x32+(4a1a2+2b1b2)x1x2 +(4a1a3+b1b3)x1x3+(4a2a3+2b2b3)x2x3，则 f 对应的矩阵为=2T+T。 (11)设A=2T+
26、T，由于 ， 正交，所以 T=T=0，则 A=(2 T+T)=2 2+T=2，所以 为矩阵对应特征值 1=2 的特征向量； A=(2T+T)=2T+ 2=，所以 为矩阵对应特征值 2=1 的特征向量。 而矩阵 A 的秩 r(A)=r(2 T+T)r(2T)+r(T)=2，所以 3=0 也是矩阵的一个特征值。 故 f 在正交变换下的标准形为 2y12+y22。【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 二次型 f 的矩阵 A= 。因为其标准形为1y12+2y22，所以解得 1=6， 2=一 3， 3=0。当 =6 时，6EA= ，对应的一个特征向量为 (一 1，0，1) T；当=一 3 时，一 3
27、EA= ，对应的一个特征向量为(1 ，一 1，1) T；当 =0 时，0EA= ，对应的一个特征向量为(1，2，1) T。由于上述三个特征向量已经正交，故将其直接单位化，可得【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 () 由题设条件，其中(*)的理由： A 是可逆的实对称矩阵，故 (A-1)T=(AT)-1=A-1，因此由实对称的定义知，A -1 也是实对称矩阵，又由伴随矩阵的性质 A*A=AE，知 A*=AA -1，因此 A*也是实对称矩阵， =A*，故(*) 成立。 ()因为(A -1)TAA-1=(AT)-1E=A-1，所以由合同的定义知 A 与 A-1 合同。 由实对称矩阵 A 与 B
28、 合同的充要条件：二次型 xTAx 与 xTBx 有相同的正、负惯性指数。 可知，g(x)=x TAx 与 f(x)有相同的正、负惯性指数，故它们有相同的规范形。【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 () 二次型 f(x1，x 2，x 3)对应的实对称矩阵为 A=，E 一 A=( 一a)(a)( 一 a+1)一 1一0+( 一 a) =( 一 a)( 一 a)( 一 a+1)一 2=( 一 a)2 一2a+a2 一 a 一 2 =(-a)+ =(-a)(-a+2)( 一 a 一 1)。则1=a， 2=a 一 2， 3=a+1。 ()方法一：若规范形为 y12+y22，说明有两个特征值为正，
29、一个为 0。则由于 a 一 2a a+1 ，所以 a 一 2=0，即 a=2。 方法二：由于 f 的规范形为 y12+y22，所以 A 合同于 ，其秩为 2，故A = 1， 2， 3=0，于是 a=0 或 a=一 1 或 a=2。当 a=0 时， 1=0， 2=1， 3=一 2，此时 f 的规范形为y12-y22，不合题意。当 a=一 1 时， 1=一 1， 2=0， 3=一 3，此时 f 的规范形为一y12-y22，不合题意。当 a=2 时， 1=2， 2=3， 3=0，此时 f 的规范形为 y12+y22。 综上可知，a=2。【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 方法一：B T=(E+
30、ATA)T=ET+(ATA)T=E+AT(AT)T=E+ATA=B，根据实对称矩阵的定义，故 B 是实对称矩阵。对任意的非零向量 x，x TAT=(Ax)T，有 x T(E+ATA)x=xT(E)x+xT(ATA)x=xTx+xTATAx=xTx+(Ax)TAx，因 x0，故有xTx0。(设 x=(a1，a 2， ，a n)T0，则 ai，i=1 ，2，n 中至少有一个不为零，则 ai2，i=1，2，n 中至少有一个大于零，故 xTx= a20)。 (Ax) TAx0(设Ax=(b1，b 2，b n)T，(Ax) TAx= bi20，因为 Ax 有可能为零，即有可能bi=0， i=1，2，n，
31、故这里可能取等号。) 故当 0 时，x Tx0。对任意的x0，均有 x TBx=xT(E+ATA)x=xTx+(Ax)TAx0，由正定矩阵的定义， B 是正定矩阵。 方法二：B 正定B 的全部特征值大于零。设 B 有特征值 ，对应的特征向量为 ，由特征值和特征向量的定义，B=，将 B=E+ATA 代入，得 (E+A TA)=，其中 0，上式两边左乘 T，得 T(E+ATA)=T+TATAg=T+(A)T(A)=T，变形得 (A) T(A)=()T。 因 0，设 =(c1，c 2，c n)T0，则ci，i=1，2，n 中至少有一个不为零，则 ci2，i=1，2，n 中至少有一个大于零，故 T=
32、ci20，(A) T(A)0(设 A=(d1，d 2，d n)T，(A)TA= di20，因为 A 有可能为零，即有可能 di=0，i=1 ，2，n，故这里可能取等号。)故 所以，当 0 时，有 0，故知 N 的特征值 全部大于零，B 是正定矩阵。【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 方法一：用正定性的定义判别。已知对任意的 x1，x 2，x n 均有 f(x1，x 2， ，x n)0，其中等号成立当且仅当方程组仅有零解的充分必要条件是其系数行列式B= =1+(1)n+1a1a2an0，即当 a1，a 2，a n(一 1)n 时，方程组 (*)只有零解，此时f(x1，x 2， xn)=0。
33、若对任意的非零向量 x=(x1， x2，x n)0，(*)中总有一个方程不为零，则有 f(x 1，x 2，x n)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2 0，所以，根据正定二次型的定义，对任意的向量(x 1，x 2，x n)，如果 f(x1，x 2，x n)0，则二次型正定。由以上证明题中 f(x1，x 2，x n)是正定二次型。 方法二：将二次型表示成矩阵形式，有 f(x 1，x 2，x n)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2=(x1+x1x2，x 2+a2x3，x n-1
34、+an-1xn，x n+anx1)则 f(x 1，x 2， ，x n)=XTBTBx=(Bx)TBx0，当B=1+(一 1)n+1a1a2an0。 即当 a1a 2a n(一 1)n时，Bx=0 只有零解，故当任意的 X0 时，均有 f(x1，x 2，x n)=(Bx)TBx0，从而由正定二次型的定义，对任意的向量(x 1，x 2，x n)，如果 f(x1，x 2，x n)0，则 f(x1， x2，x n)是正定二次型。【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 () 设 为 A 的一个特征值，对应的特征向量为 ，则A=(0)，且 A 2=2。于是 (A 2+2A)=(2+2)。 由 A2+2A
35、=O 可知 ( 2+2)=0。又因 0，故有 2+2=0，故 =一 2 或 =0。 因为实对称矩阵 A 必可以对角化，且 r(A)=2。所以 因此，矩阵 A 的全部特征值为1=2=一 2， 3=0。( )矩阵 A+kE 仍为实对称矩阵，由()知，A+kE 的全部特征值为一 2+k，一 2+k，k。于是，当 k2 时，矩阵 A+kE 的全部特征值大于零，即矩阵 A+kE 为正定矩阵。【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 ()矩阵 B 一 CTA-1C 是正定矩阵。由()的结果可知，矩阵 D 合同于矩阵 M= ，因为 D 为正定矩阵，可知矩阵 M 为正定矩阵。 又因矩阵 M 为对称矩阵，所以 B一 CTA-1C 为对称矩阵。 则对 X=(0，0) T 及任意的 Y=(y1，y 2，y n)T0，有 (X T，Y T) =YT(B-CTA-1C)Y0。 因此 BCTA-1 为正定矩阵。【知识模块】 线性代数
