1、考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编 17 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P 1 AP)T 属于特征值 的特征向量是( )（A）P 1 （B） PT（C） P（D）(P 1 )T2 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则1， A(1+2)线性无关的充分必要条件是( )（A） 1=0（B） 2=0（C） 10（D） 203 设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A2+A=O若 A 的秩为 3，则
2、A 相似于( )4 矩阵 相似的充分必要条件为( )（A）a=0 ，b=2（B） a=0，b 为任意常数（C） a=2，b=0（D）a=2 ，b 为任意常数5 设 A，B 是可逆矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论错误的是( )（A）A T 与 BT 相似（B） A1 与 B1 相似（C） A+AT 与 B+BT 相似（D）A+A 1 与 B+B1 相似6 已知矩阵 A= ，则( )（A）A 与 C 相似，B 与 C 相似（B） A 与 C 相似，B 与 C 不相似（C） A 与 C 不相似，B 与 C 相似（D）A 与 C 不相似，B 与 C 不相似二、填空题7 设 3 阶矩阵 A 的特征
3、值为 1，2，2，E 为 3 阶单位矩阵，则|4A 1 E|=_8 设 =(1，1 ，1) T，=(1 ， 0，k) T若矩阵 T 相似于 ，则 k=_9 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，2，1，B=A 2A+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵，则行列式|B|=_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设 A 为 3 阶实对称矩阵，且满足条件 A2+2A=O，A 的秩 r(A)=2 (1)求 A 的全部特征值； (2)当 k 为何值时，矩阵 A+kE 为正定矩阵，其中 E 为三阶单位矩阵10 设 n 阶矩阵11 求 A 的特征值和特征向量；12 求可逆矩阵 P，使 P1 A
4、P 为对角矩阵12 设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1=(1，2，1)T， 2=(0，1，1) T 是线性方程组 Ax=0 的两个解13 求 A 的特征值与特征向量；14 求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 QTAQ=A；15 求 A 及(A E)6，其中 E 为 3 阶单位矩阵16 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 1=1， 2=2， 3=2。且 1=(1，1，1) T 是 A的属于 1 的一个特征向量记 B=A54A 3+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵 ()验证1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量； ()求矩阵 B17 设 A 为 3
5、阶矩阵， 1， 2 为 A 的分别属于特征值1，1 的特征向量，向量 3满足 A3=2+3 ( )证明 1， 2， 3 线性无关； ()令 P=1， 2， 3，求P1 AP18 正交矩阵 Q 使得 QTAQ 为对角矩阵若 Q 的第 1 列为(1， 2，1) T，求 a，Q18 设 A 为 3 阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且19 求 A 的所有特征值与特征向量20 求矩阵 A21 证明 n 阶矩阵 相似21 设矩阵 A= 相似于矩阵 B=22 求 a，b 的值；23 求可逆矩阵 P，使 p1 AP 为对角矩阵23 已知矩阵 A=24 求 A99；25 设 3 阶矩阵 B=(1， 2， 3)满足
6、 B2=BA，记 B100=(1， 2， 3)，将 1， 2， 3 分别表示为 1， 2， 3 的线性组合考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编 17 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由条件有 AT=A，A=，故有 (P 1 AP)T(PT)=PTA(PT)1 PT=PTA=PT=(PT) 因为 PT0(否则 PT=0，两端左乘(P T)1 ，得 =0，这与特征向量必为非零向量矛盾)，故由特征值与特征向量的定义，即知非零向量PT 是方阵(P TAP)T 的属于特征值 的特征向量因此，B 正确【知识模块】 线性代数2 【正
7、确答案】 D【试题解析】 由条件知 1， 2 线性无关向量组 1，A( 1+2)，即向量组1， 11+22，显然等价于向量组 1， 22，当 2=0 时， 1， 22 线性相关，当20 时， 1， 22 线性无关，故向量组 1，A( 1+2)线性无关 向量组 1， 22 线性无关 20，只有选项 D 正确【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 1 设 为 A 的特征值且 为对应的特征向量，则有Am=m(m=1，2，)，故有 (A 2+A)=O=0， 即( 2+)=0， 因 0，得 2+=0，从而有 =0 或 =1，又因 r(A)=3，所以 A 的非零特征值有 3 个，有 1 个
8、特征值为 0，即 A 的全部特征值为：1，1，1，0，所以只有选项 D 正确 2 设 A按列分块为 A=1234，由 r(A)=3，知 A 的列向量组的极大无关组含 3 个向量，不妨设 a1， 2， 3 是 A 的列向量组的极大无关组由于 A2=A ，即 A 1234= 1234， 即A 1A2A3A4= 1 2 3 4， 得Aj= j，j=1，2，3，4 由此可知一1 是 A 的特征值值且 1， 2， 3 为对应的 3 个线性无关的特征向量，故1 至少是 A 的 3 重特征值而 r(A)=34，知 0也是 A 的一个特征值于是知 A 的全部特征值为：1，1，1，0，且每个特征值对应的线性无关
9、特征向量个数正好等于该特征值的重数，故 A 相似于对角矩阵 D=diag( 1，1，1，0)，故选项 D 正确【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 B 为对角矩阵，B 的特征值为其主对角线元素 2，b，0若 A 与 B相似，则由相似矩阵有相同的特征值，知 2 为 A 的一个特征值，从而有 0=|2IA|=4a 2由此得 a=0当 a=0时，矩阵 A 的特征多项式为 由此得 A的全部特征值为 2，b ，0 以下可分两种情形：情形 1：若 b 为任意实数，则 A 为实对称矩阵，由于实对称矩阵必相似于对角矩阵，且对角矩阵的主对角线元素为该实对称矩阵的全部特征值，所以此时 A 必相似
10、于 B综上可知，A 与 B 相似的充分必要条件为 a=0，b 为任意常数所以只有选项 B 正确情形 2：若 b 是任意复数而不是实数，则 3 阶矩阵 A 有 3 个互不相同的特征值，因此 A 必相似于对角矩阵 B只有选项 B 正确【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 1 由已知条件知，存在可逆矩阵 P，使得 P1 AP=B(1)由(1)两端取转置，得 PTAT(PT) 1=BT，可见 AT 与 BT 相似，因此选项 A 正确；由(1)两端取逆矩阵，得 P1 A1 P=B1 (2)，可见 A1 与 B1 相似，因此选项 B 正确；将(1)与(2)相加，得 P1 (A+A1 )P
11、=B+B1 ，可见 A+A1 与 B+B1 相似，因此选项 D正确故只有选项 C 错误2 可以举例来说明选项 C 错误：令矩阵计算可得矩阵A+AT= 的特征值是 1 和 3；而矩阵 B+BT= 的特征值是 7 和3，由于相似矩阵有相同的特征值，所以 A+AT 与 B+BT 不相似，故选 C【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 本题要判别 3 阶矩阵 A，B 是否与 3 阶对角矩阵 C 相似的问题，易知这 3 个矩阵具有相同的特征值 2，2，1，它们都有一个 2 重特征值 2利用结论：方阵 A 与对角矩阵相似的充要条件，是 A 的每个重特征值对应的线性无关特征向量的个数正好等于
12、该特征值的重数因此问题归结为齐次线性方程组(2I A)x=0的基础解系是否含 2 个向量、亦即矩阵 2IA 的秩是否为 1 的问题由知矩阵 2IA 的秩为 1，2IB 的秩为 2，因此 A 与 C 相似，而 B 与 C 不相似，故只有选项 B 正确【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 3【试题解析】 |A|= 123=40，故 A 可逆，A 1 的特征值为 1，12，12，由4A1 E 的特征值为 411=3，41 21=1，41 21=1，故 |4A1 E|=311=3【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 2【试题解析】 1 矩阵 A=T 由 A 的特征方程=2(k+1)=0
13、得 A 的特征值为1=2=0， 3=k+1又由 A 与对角矩阵相似，知 A 的特征值为 3，0，0比较得k+1=3，所以 k=22 由 A 与对角矩阵相似，知 A 的特征值为 3，0，0又由 A 的特征值之和等于 A 的主对角元之和，得 3+0+0=1+0+k，故 k=2【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 21【试题解析】 1 因为 B=A2A+E=f(A)，其中多项式 f(t)=t2t+1 ，所以由 A 的特征值 2，2，1，得 B 的特征值为 f(2)=3，f(2=7，f(1)=1 这是 3 阶矩阵 B 的全部特征值，由特征值的性质得|B|=371=212 因为 3 阶矩阵 A 有 3
14、 个互不相同的特征值，所以 A 相似于对角矩阵，即存在可逆矩阵 P，使得 P1 AP 于是有 P1 BP=P1 (A2A+E)P=(P 1 Ap)2P 1 AP+E两端取行列式，得|P| 1 |B|P|=21，即|B|=21【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 (1)设 为 A 的一个特征值，对应的特征向量为 ，则A=，0；A 2=2于是(A 2+2A)=(2+2) 由条件 A2+2A=O，推知( 2+2)=O 又由于 O，故有 2+2=0 解得 =2，=0 因为实对称矩阵 A 必可对角化，且 r(A)=2，所以 因此，矩阵 A 的全部特征
15、值为1=2=2， 3=0(2)1 矩阵 A+kE 仍为实对称矩阵，由(1)知 A+kE 的全部特征值为：2+k ， 2+k，k于是，当 k2 时，矩阵 A+kE 的全部特征值都大于零，此时，矩阵 A+kE 为正定矩阵2 实对称矩阵必可对角化，故存在可逆矩阵 P，使得 P1 AP 于是有 P1 (A+kE)P 1AP+kE因此，由 A+kE 的相似对角矩阵即知 A+kE 的全部特征值为 k2，k2，k以下同解 13 实对称矩阵必可用正交矩阵化为对角矩阵，故存在正交矩阵 P，使 P1 AP=P1 AP 从而有P1 (A+kE)P=PT(A+kE)P 即 A+kE 与矩阵 D 合同，因合同的矩阵有相
16、同的正定性，故 A+kE 为正定矩阵 D 为正定矩阵 D 的各阶顺序主子式都大于零 k20，(k2) 20，(k2) 2k0 k2，因此，当 k2 时，A+kE为正定矩阵【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 1 当 b0 时，A 的特征多项式为=1(n1)b(1b) n1 ，故 A 的特征值为1=1+(n1)b， 2= n=1b对于 1=1+(n1)b，设对应的一个特征向量为 1，则 =1+(n1)b 1，解得 1=(1，1，) T。所以，属于 1 的全部特征向量为 k1=k(1，1，1) T，其中 k 为任意非零常数对于 2= n=1b，解齐次线性方程组(1b)EA
17、x=0 ，由解得基础解系为2=(1，1，0，0) T， 3=(1，0，1，0) T， n=(1，0，0，1)T故属于 2= n 的全部特征向量为 k22+k33+knn，其中 k2，k 3，k n 为不全为零的任意常数2当 b=0 时，A=E，A 的特征值为 1=2= n=1，任意 n维非零列向量均是 A 的特征向量【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 1 当 b0 时，A 有 n 个线性无关的特征向量，令矩阵 P=1 2 n，则有 P 1 AP=diag(1+(n1)b，1b，1b) 2 当 b=0 时，A=E，对任意 n 阶可逆矩阵 P，均有 P1 AP=E【知识模块】 线性代数【知识
18、模块】 线性代数13 【正确答案】 由于矩阵 A 的各行元素之和均为 3，所以 因为A1=0，A 2=0，即 A1=01，A 2=02 故 1=2=0 是 A 的二重特征值， 1， 2 为 A的属于特征值 0 的两个线性无关特征向量； 3=3 是 A 的一个特征值， 3=(1，1，1)T 为 A 的属于特征值 3 的特征向量总之， A 的特征值为 0，0，3属于特征值 0的全体特征向量为 k11+k22(k1，k 2 不全为零)，属于特征值 3 的全体特征向量为k33(k30)【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 1 对 1， 2 正交化令 1=1=( 1，2，1)T2=2 1=12( 1
19、，0，1) T 再分别将 1， 2， 3 单位化，得那么 Q 为正交矩阵，且 QTAQ=A2 由于 A 只有一个重特征值 1=2=0，故要求 A 的 3 个两两正交的特征向量，只须求出 A 的属于二重特征值 0 的两个相互正交的特征向量即可由于 2=1+22=(1，2，1) T+2(0，1，1) T=(1，0，1) T 也是 A 的属于特征值 0 的特征向量，且 12，故 1=1=(1，2，1) T， 2=(1，0，1)T， 3=3=(1，1，1) T 就是 A 的 3 个两两正交的特征向量 (分别属于特征值 0，0，3) ，再将它们单位化，即令 ej=j j(j=1，2，3)，则所求的正交矩
20、阵 Q 可取为 Q=e1 e2 e3，且有 QTAQ=diag(0，0，3)，以下具体求解同解 13 由实对称矩阵的性质，知 A 的属于特征值 1=2=0 的特征向量 =(x1，x 2，x 3)T 与属于特征值 3=1 的特征向量 3=(1， 1，1) T 正交，即 x1+x2+x3=0 求解此齐次方程，得其基础解系即属于 1=2=0 的两个线性无关特征向量为 1=(1，1，0) T， 2=(1，1，2) T1 与 2 已经正交，故 1， 2， 3 为 A 的 3 个两两正交的特征向量，再将它们单位化，便得所求的正交矩阵可取为 且使QTAQ=diag(0，0，3)【知识模块】 线性代数15 【
21、正确答案】 因 QTAQ= ，且 Q 为正交矩阵，故 A=Q QT(A E) 6=Q( E) 6QT=(32) 6E【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 () 记矩阵 A 的属于特征值 i 的特征向量为 i(i=1，2，3)，由特征值的定义与性质，有 Aki=iki(i=1，2，3，k=1，2，)，于是有B1=(A54A 3+E)1=(154 13+1)1=2 1 因 10，故由定义知2 为 B 的一个特征值且 1 为对应的一个特征向量类似可得 B2=(254 23+1)2=2B3=(354 33+1)3=3 因为 A 的全部特征值为 1， 2， 3，所以 B 的全部特征值为 i54 i3
22、+1(i=1，2 ，3) ，即 B 的全部特征值为 2，1，1因2 为 B 的单特征值，故 B 的属于特征值2 的全部特征向量为 k11，其中 k1 是不为零的任意常数设 x=(x1，x 2，x 3)T 为 B 的属于特征值 1 的任一特征向量因为 A 是实对称矩阵，所以 B 也是实对称矩阵因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，所以有(x 1，x 2，x 3)1=0，即 x1x 2+x3=0 解得该方程组的基础解系为 2=(1，1，0)T， 3=(1，0，1) T 故 B 的属于特征值 1 的全部特征向量为 k22+k33，其中 k2，k 3为不全为零的任意常数()由() 知 1， 2，
23、 3 为 B 的 3 个线性无关的特征向量，令矩阵 P=1 2 3 则有 P1 BP 从而有【试题解析】 本题主要考查特征值与特征向量的定义与性质、矩阵相似对角化的概念与应用本题中方阵 B=f(A)为方阵 A 的多项式，其中多项式 f(t)=t54t 3+1我们知道，若 为方阵 A 的一个特征值，则 f()为 f(A)=B 的一个特征值但是，为什么能由 A 的全部特征值为 1， 2， 3，而断言 f(1)，f( 2)，f( 3)为B 的全部特征值呢?对此问题，可有以下几种推导方法：(1)由于属于互不相同特征值的特征向量线性无关，知向量组 1， 2， 3 线性无关，从而知 2， 3 线性无关，再
24、由 B2=2，B 3=3，知 1 为 B 的特征值，且对应的线性无关特征向量至少有 2个，故知 1 至少为 B 的二重特征值又因 3 阶矩阵 B 的全部特征值(重特征值按重数计算)有且仅有 3 个，故知 B 的全部特征值为2，1，1(2)由 3 阶矩阵 A 有 3个互不相同的特征值 1，2，2，或由 A 为实对称矩阵，知 A 可相似对角化，即存在可逆矩阵 Q，使 Q1 AQ 于是有 Q1 BQ=Q1 (A54A 3+E)Q=Q1 A5Q4Q 1 A3Q+E=(Q1 AQ)54(Q 1 AQ)3+E=D54D 3+E即矩阵 B 与对角矩阵 M 相似，由于相似矩阵有相同的特征值，故知 B 的全部特
25、征值为2，1，1(3)也可以直接利用下面更为一般的结论：设 n 阶矩阵 A(不一定为实对称矩阵)的全部特征值为1， 2， n，则对于任一多项式 f(t)，n 阶矩阵 f(A)的全部特征值为 f(1)，f( 2)，f( n)另外，需要指出，由方程 x1x 2+x3=0 所求基础解系，即 B 的属于特征值 1 的线性无关特征向量虽然不是唯一的，从而所得相似变换矩阵 P 不是唯一的，但由 B=Pdiag(2，1，1)P 1 所计算出的矩阵 B 却是唯一的例如，也可由x1x 2+x3=0 解得 B 的属于特征值 1 的线性无关特征向量为(1，1，0)T，(1，1，2) T，从而可取相似对角化的变换矩阵
26、为 得B=Pdiag(2 ，1，1)P 1【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 () 设存在一组常数 k1，k 2，k 3，使得 k11+k22+k33=0 用 A左乘式两端，并利用 A1= 1，A 2=2，k 11+(k2+k3)2+k33=0 ，得 2k11k 32=0 因为 1， 2 是 A 的属于不同特征值的特征向量，所以 1， 2线性无关，从而由式知 k1=k3=0，代入式得 k22=0，又由于 20，所以k2=0，故 1， 2， 3 线性无关()由题设条件可得 AP=A1， 2， 3=A1，A 2，A 3= 1， 2， 2+3 由( )知矩阵 P 可逆，用 P1 左乘上式两端，
27、得 P1 AP【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 由题设，=(1，2，1) T 为 A 的一个特征向量，于是有 A=1，即解得 1=2，a=1所以由 A 的特征方程=(2)(5)(+4)=0，得 A 的特征值为 2，5，4对于特征值 5，求齐次线性方程组(5IA)x=0 的基础解系，由 得通解 x1=x3， x2=x 3(x3 任意)令 x3=1，得基础解系为 (1，1，1) T，将其单位化，得属于特征值 5 的一个单位特征向量为 (1，1，1) T同理可求得属于特征值4 的一个单位特征向量为 (1，0，1) T故 Q 为所求的正交矩阵【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数19 【
28、正确答案】 由于 A 的秩为 2，故 0 是 A 的一个特征值由题设可得所以，1 是 A 的一个特征值，且属于 1 的特征向量为 k1(1，0，1) T，k 1 为任意非零常数；1 也是 A 的一个特征值，且属于 1 的特征向量为 k2(1，0，1) T，k 2 为任意非零常数设 x=(x1，x 2，x 3)T 为 A 的属于 0 的特征向量，由于 A 为实对称矩阵，A 的属于不同特征值的特征向量相互正交，则解得上面齐次线性方程组的基础解系为(0，1，0) T，于是属于 0 的特征向量为 k3(0，1，0) T，其中 k3 为任意非零常数【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 令矩阵 于是【
29、知识模块】 线性代数21 【正确答案】 因为|EA|=(1) n1 |EB| =(n) n1 所以A 与 B 有相同的特征值 1=n， n=0(n1 重)由于 A 为实对称矩阵，所以 A 相似于对角矩阵 因为 r(2EB)=r(B)=1，所以 B 的对应于特征值 2=0有 n1 个线性无关的特征向量，于是由方阵相似于对角矩阵的充要条件知 B 也相似于 A再由矩阵的相似关系具有对称性和传递性知 A 与 B 也相似证 2 设存在可逆矩阵 P，使得 P1 AP=B，或 AP=PB，设 P 按列分块为 P=p1，p 2，p n，则AP=PB Ap1，p 2， pnAp1=0，Ap n1 =0，Ap n
30、=p1+2p2+，np n由解上面的方程组，可求出可逆矩阵 P=p1，p 2，p n满足 P1 AP=B，所以 A 相似于 B【试题解析】 本题综合考查特征值的计算、方阵相似于对角矩阵的条件本题中计算行列式|EA|可以利用行( 列)和相等行列式的计算方法求实对称矩阵 A 的特征值还可以用下法：因为 A 的秩为 1所以 A 只有一个非零特征值 1，其它特征值均为 0： 2= n=0，再由 1+2+ n=(A 的对角元之和)n ，知 1=n本题证法 2 是一个构造性的证明，当 n4 时计算满足 P1 AP=B 的矩阵 P 都是比较容易的，当然 P 不是唯一的【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性
31、代数22 【正确答案】 由于矩阵 A 与 B 相似，所以二矩阵有相同的迹 (主对角线元素之和)、有相同的行列式，由此得a+3=b+2，2a3=b解得 a=4，b=5【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由于矩阵 A 与 B 相似，所以它们有相同的特征多项式：|E A|=|EB|=(1) 2(5)由此得 A 的特征值为 1=2=1， 3=5 对于 1=2=1，解方程组(E A)x=0，有 得对应于 1=2=1 的线性无关特征向量 对于 3=5，解方程组(5EA)x=0 ，由得对应于 3=5 的特征向量 令矩阵 P=1 2 3 则矩阵 P 可作为所求的可逆矩阵，使得 P 1AP 为对角矩阵【知
32、识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 利用方阵 A 的相似对角化来求方阵 A 的幂，为此先来求 A 的特征值与特征向量，由|EA| =(+1)(+2)=0，得 A 的全部特征值为 1=0， 2=1， 3=2，对于特征值 1=0，解方程组 Ax=0，得对应的特征向量 1=(3，2，2) T，对于特征值 2=1，解方程组( EA)x=0，得对应的特征向量2=(1，1，0) T，对于特征值 3=2，解方程组( 2EA)x=0，得对应的特征向量3=(1，2，0) T，令矩阵 P=(1， 2， 3) 于是得 A99=(PDP1 )99=PD99P1【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因为 B2=BA，所以 B100=B98B2=B99A=B97B2A=B98A2=BA99。即(1， 2， 3)【知识模块】 线性代数
