1、考研数学三（线性代数）历年真题汇编 2及答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：15，分数：30.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A和 B都是 nn矩阵，则必有 【 】（分数：2.00）A.A+B=A+BB.AB=BAC.AB=BAD.(A+B) -1 =A -1 +B -13.设 A是 mn矩阵，C 是 n阶可逆矩阵，矩阵 A的秩为 r，矩阵 B=AC的秩为 r，则 【 】 （分数：2.00）A.r 1 B.rr 1 C.r=r 1 D.r与 r 1 的关系依 C而定4.设 n阶矩阵 A非奇异(行2
2、)，A * 是矩阵 A的伴随矩阵，则 【 】（分数：2.00）A.(A * ) * =A n-1 AB.(A n ) n =A n+1 AC.(A n ) n =A n-2 AD.(A n ) n =A n+2 A5.设 A、B 为同阶可逆矩阵，则 【 】（分数：2.00）A.AB=BAB.存在可逆矩阵 P，使 p -1 AP=BC.存在可逆矩阵 C，使 C T AC=BD.存在可逆矩阵 P和 Q，使 PAQ=B6.设 n(n3)阶矩阵 的秩为，n 一 1，则 a必为 【 】 （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 （分数：2.00）A.A -1 P 1 P 2B.P 1 A -1 P 2C
3、.P 1 P 2 A -1D.P 2 A -1 P 18.设 n阶矩阵 A与 B等价，则必有【 】（分数：2.00）A.当A=a(a0)时，B=aB.当A=a(a0)时，B=一 aC.当A0 时，B=0D.当A=0 时，B=09.设矩阵 A=(a ij ) 33 满足 A * =A T ，其中 A * 为 A的伴随矩阵，A T 为 A的转置矩阵若 a 11 ，a 12 ，a 13 为三个相等的正数，则 a 11 ，为【 】 （分数：2.00）A.B.C.D.10.设 A为 3阶矩阵，将 A的第 2行加到第 1行得 B，再将 B的第 1列的一 1倍加到第 2列得 C，记（分数：2.00）A.C=
4、P -1 APB.C=PAP -1 C.C=P T APD.C=PAP T 11.设 A为 n阶非零矩阵，E 为 n阶单位矩阵，若 A_=0，则【 】（分数：2.00）A.EA不可逆，E+A 不可逆B.EA不可逆，E+A 可逆C.EA可逆，E+A 可逆D.EA可逆，E+A 不可逆12.设 A，B 均为 2阶矩阵，A * ，B * 分别为 A，B 的伴随矩阵若A=2，B=3，则分块矩阵 的伴随矩阵为【 】 （分数：2.00）A.B.C.D.13.设 A，P 均为 3阶矩阵，P T 为 P的转置矩阵，且 若 P=(a 1 ，a 2 ，a 3 )，Q=(a 1 +a 2 ，a 2 ，a 3 )，则
5、Q T AQ为【 】 （分数：2.00）A.B.C.D.14.设 A为 3阶矩阵，将 A的第 2列加到第 1列得矩阵 B，再交换 B的第 2行与第 3行得单位矩阵记（分数：2.00）A.P 1 P 2 B.P -1 1 P 2 C.P 2 P 1 D.P 2 P -1 1 15.设 A为 3阶矩阵，P 为 3阶可逆矩阵，且 若 P=(a 1 ，a 2 ，a 3 )，Q= (a 1 +a 2 ，a 2 ，a 3 )，则 Q -1 AQ=【 】 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：15，分数：30.00)16.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_17.若 A和 B都是 n阶非
6、零方阵，且 AB=0，则 A的秩必小于 n( )（分数：2.00）填空项 1:_18.设 A和 B为可逆矩阵， （分数：2.00）填空项 1:_19.设 A为 m阶方阵，B 为 n阶方阵，且A=a，B=b， （分数：2.00）填空项 1:_20.设 4阶方阵 A的秩为 2，则其伴随矩阵 A * 的秩为 1（分数：2.00）填空项 1:_21.设 （分数：2.00）填空项 1:_22.设 （分数：2.00）填空项 1:_23.设矩阵 A，B 满足 A * BA=2B48E，其中 （分数：2.00）填空项 1:_24.设 （分数：2.00）填空项 1:_25.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:
7、_26.设 n维向量 a=(a，0，0，a) T ，a0；E 为 n阶单位矩阵，矩阵 A=E一 aa T ，B=E+ （分数：2.00）填空项 1:_27.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_28.设 A，B 为 3阶矩阵，且A=3，B=2，A_ -1 +B=2，则A+B -1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_29.设 A为 3阶矩阵，A=3，A * 为 A的伴随矩阵若交换 A的第 1行与第 2行得矩阵 B，则BA * = 1（分数：2.00）填空项 1:_30.设 A=(a ij )是 3阶非零矩阵，A为 A的行列式，A ij 为 a ij 的代数余子式若 a ij +A ij =
8、0(i，j=1，2，3)，则A= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：7，分数：14.00)31.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_32.设矩阵 A、B 满足关系式 AB=A+2B，其中 （分数：2.00）_33.设 A是 3阶方阵，A * 是 A的伴随矩阵，A 的行列式 （分数：2.00）_34.已知 X=AX+B，其中 （分数：2.00）_35.已知对于 n阶方阵 A，存在自然数 k，使得 A k =0，试证明矩阵 E一 A可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E为 n阶单位阵)（分数：2.00）_36.设 A为 n阶非奇异矩阵，a 为 n维列向量
9、，b 为常数，记分块矩阵 （分数：2.00）_37.设矩阵 （分数：2.00）_考研数学三（线性代数）历年真题汇编 2答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：15，分数：30.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A和 B都是 nn矩阵，则必有 【 】（分数：2.00）A.A+B=A+BB.AB=BAC.AB=BA D.(A+B) -1 =A -1 +B -1解析：解析：由于AB=AB=BA，及BA=BA即知AB=BA总成立，故(C)正确注意其它备选项都未必成立3.设 A是 mn矩阵，C 是 n阶可逆
10、矩阵，矩阵 A的秩为 r，矩阵 B=AC的秩为 r，则 【 】 （分数：2.00）A.r 1 B.rr 1 C.r=r 1 D.r与 r 1 的关系依 C而定解析：解析：因为，用可逆矩阵 c右乘矩阵 A相当于对 A施行若干次初等列变换，而初等变换不改变矩阵的秩，故有 r(AC)=r(A) 本题主要考查“初等变换不改变矩阵的秩(即等价的矩阵具有相同的秩)”的性质注意，用矩阵乘法表示等价矩阵的形式：A 与 B行等价存在可逆矩阵 P，使得 PA=B；A 与 B列等价存在可逆矩阵 Q，使得 AQ=B；A 与 B等价存在可逆矩阵 P和 Q，使得 PAQ=B4.设 n阶矩阵 A非奇异(行2)，A * 是矩
11、阵 A的伴随矩阵，则 【 】（分数：2.00）A.(A * ) * =A n-1 AB.(A n ) n =A n+1 AC.(A n ) n =A n-2 A D.(A n ) n =A n+2 A解析：解析：由 A * =AA -1 ，得(A * ) * =A(A * ) -1 ，又A * =A n-1 ，故(A * ) * =A n-1 (AA n-1 ) -1 = 故(C)正确 本题综合考查 A * 与 A -1 的关系、A * 的行列式、逆矩阵的运算等知识本题亦可由(A * ) -1 = 5.设 A、B 为同阶可逆矩阵，则 【 】（分数：2.00）A.AB=BAB.存在可逆矩阵 P，
12、使 p -1 AP=BC.存在可逆矩阵 C，使 C T AC=BD.存在可逆矩阵 P和 Q，使 PAQ=B 解析：解析：因为，方阵 A可逆A 与同阶单位阵 E行等价，即存在可逆矩阵 P，使 PA=E同理，由于B可逆，存在可逆矩阵 M，使 MB=E故有 PA=MB，=PAM -1 =B，记 M -1 =Q，则 P、Q 可逆，使 PAQ=B于是知(D)正确 本题考查矩阵可逆、等价、相似、合同、可否乘法交换等概念及其相互关系注意，A、B 为同阶可逆矩阵，则 A、B 都等价于同阶单位阵，由等价的对称性和传递性立即可知(D)正确但A、B 却未必相似，故(B)不对；也未必合同，故(C)不对这里应特别注意，
13、A 和 B有相同的秩，这只是 A与 B相似的必要条件而非充分条件，也只是 A与 B合同的必要条件而非充分条件至于备选项(A)，可举反例如下： 和 B= 都可逆，但 6.设 n(n3)阶矩阵 的秩为，n 一 1，则 a必为 【 】 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为 r(A)=n1n，故必有A=0，而 因此，或者 ，或者 a=1显然，当 a=1时，有 r(A)=1n1，所以，有 时，A 的左上角的 n一 1阶子式等于7.设 （分数：2.00）A.A -1 P 1 P 2B.P 1 A -1 P 2C.P 1 P 2 A -1 D.P 2 A -1 P 1解析：解析：矩阵 B是经
14、 A的列重排后所得的矩阵，由初等列变换与初等方阵的关系，有 B=AP 2 P 1 ，故 B -1 =P -1 1 p 2 -1 A -1 ，而 P -1 1 =P 1 ，P -1 2 =P 2 ，故有 B -1 =P 1 P 2 A -1 本题主要考查矩阵的初等列变换与初等方阵的关系、方阵乘积取逆矩阵及初等方阵的逆矩阵等运算注意，由于矩阵乘法不满足交换律，所以本题 4个备选项中的矩阵乘积一般是不同的8.设 n阶矩阵 A与 B等价，则必有【 】（分数：2.00）A.当A=a(a0)时，B=aB.当A=a(a0)时，B=一 aC.当A0 时，B=0D.当A=0 时，B=0 解析：解析：A 与 B等
15、价是指 A可经若干次初等变换化成 B如果对 A分别施行一次第 1、2、3 种初等变换得到方阵 B，则由行列式的性质知，依次有B=一A，B=kA(常数 k0)，B=A可见，经初等变换后，方阵的行列式等于零或者不等于零的事实不会改变，但在不等于零时，行列式的值可能改变因此，只有(D)正确 本题主要考查等价矩阵的概念及行列式的性质9.设矩阵 A=(a ij ) 33 满足 A * =A T ，其中 A * 为 A的伴随矩阵，A T 为 A的转置矩阵若 a 11 ，a 12 ，a 13 为三个相等的正数，则 a 11 ，为【 】 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由题设条件 A * =A
16、 T ，即 其中 A ij 为A中元素 a ij 的代数余子式(i，j=1，2，3)，得 a ij =A ij (i，j=1，2，3)，故有 再从 A T =A * 两端取行列式，得 A=A T =A * =A 2 ，即A(1 一A)=0 由此得A=1所以，有 10.设 A为 3阶矩阵，将 A的第 2行加到第 1行得 B，再将 B的第 1列的一 1倍加到第 2列得 C，记（分数：2.00）A.C=P -1 APB.C=PAP -1 C.C=P T APD.C=PAP T 解析：解析：将单位矩阵 E的第 2行加到第 1行即得初等矩阵 P，由初等变换与初等矩阵的关系，有B=PA令矩阵 则将 E的第
17、 1列的一 1倍加到第 2列即得矩阵 Q，于是有 C=BQ，从而有 C=PAQ由于 11.设 A为 n阶非零矩阵，E 为 n阶单位矩阵，若 A_=0，则【 】（分数：2.00）A.EA不可逆，E+A 不可逆B.EA不可逆，E+A 可逆C.EA可逆，E+A 可逆 D.EA可逆，E+A 不可逆解析：解析：由于(EA)(E+A+A 2 )=E一 A 3 =E，(E+A)(EA+A 2 )=E+A 3 =E，故由可逆矩阵的定义知：EA和 E+A均是可逆的 本题主要考查逆矩阵的定义，其中的方阵多项式分解因式可以类比通常多项式的公式：1 一 x 3 =(1一 x)(1+x+x 2 )，1+x 3 =(1+
18、x)(1一 x+x 2 )12.设 A，B 均为 2阶矩阵，A * ，B * 分别为 A，B 的伴随矩阵若A=2，B=3，则分块矩阵 的伴随矩阵为【 】 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：解 1 记矩阵 ，则 C的行列式 ，因此 C为可逆矩阵，由公式 CC * =CE，得 故只有选项(B)正确 解 2 记矩阵 ，并记C的(i，j)元素的代数余子式为 A ij (i，j=1，2，3，4)，则计算可得： A 11 =0，A 21 =0，A 31 =Ah，A 41 =一Af， A 12 =0，A 22 =0，A 32 =一Ag，A 42 =Ae， A 13 =Bd，A 23 =一Bb，
19、A 33 =0，A 43 =0， A 14 =一Bc，A 24 =Ba，A 34 =0，A 44 =0于是由伴随矩阵的定义(C * 的(i，j)元为 A ij )，得 其中 13.设 A，P 均为 3阶矩阵，P T 为 P的转置矩阵，且 若 P=(a 1 ，a 2 ，a 3 )，Q=(a 1 +a 2 ，a 2 ，a 3 )，则 Q T AQ为【 】 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由于 Q=a 1 +a 2 ，a 2 ，a 3 =a 1 ，a 2 ，a 3 所以 14.设 A为 3阶矩阵，将 A的第 2列加到第 1列得矩阵 B，再交换 B的第 2行与第 3行得单位矩阵记（分数
20、：2.00）A.P 1 P 2 B.P -1 1 P 2 C.P 2 P 1 D.P 2 P -1 1 解析：解析：由题设条件有 P 2 AP 1 =I，两端左乘 P -1 2 ，两端右乘 p -1 1 ，得 A=P -1 2 P -1 1 ，因 P -1 2 =P 2 ，而 -1 1 P 1 ，故只有(D)正确 本题主要考查矩阵初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的逆矩阵，类似题目已考过多次，属于很基本的教学要求内容，应熟练掌握15.设 A为 3阶矩阵，P 为 3阶可逆矩阵，且 若 P=(a 1 ，a 2 ，a 3 )，Q= (a 1 +a 2 ，a 2 ，a 3 )，则 Q -1 AQ=【
21、 】 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：解 1 其中，矩阵 ，易求出 于是，Q -1 AQ=(PM) -1 A(PM)=M -1 (P -1 AP)M 因此选(B) 解 2 已知 A(a 1 ，a 2 ，a 3 )=(a 1 ，a 2 ，a 3 ) (Aa 1 ，Aa 2 ，Aa 3 )=(a 1 ，a 2 ，2a 3 )Aa 1 =a 1 ，Aa 2 =a 2 ，Aa 3 =2a 3 =A(a 1 +a 2 )=Aa 1 +Aa 2 =a 1 +a 2 =AQ=A(a 1 +a 2 ，a 2 ，a 3 )=(A(a 1 +a 2 )，Aa 2 ，Aa 3 )=(a 1 +a 2
22、 ，a 2 ，2a 3 )=(a 1 +a 2 ，a 2 ，a 3 )两端左乘 Q -1 ，得 Q -1 ，故选(B) 解 3 由已知 A相似于对角矩阵 diag(1，1，2)，知 a 1 ，a 2 ，a 3 是 A的 3个线性无关特征向量，且依次属于特征值 1，1，2a 1 +a 2 0(否则 a 1 ，a 2 线性相关，与 a 1 ，a 2 ，a 3 线性无关矛盾)，且 A(a 1 +a 2 )一 Aa 1 +Aa 2 =a 1 +a 2 ，因此 a 1 +a 2 是 A的属于特征值 1的一个特征向量 从而知 a 1 +a 2 ，a 2 ，a 3 是 A的 3个线性无关特征向量，且依次属于
23、特征值 1，1，2，因此利用矩阵相似对角化可写出 (a 1 +a 2 ，a 2 ，a 3 ) -1 A(a 1 +a 2 ，a 2 ，a 3 )=diag(1，1，2)，即 Q -1 AQ=diag(1，1，2)因此选(B) 本题主要考查矩阵乘法、特则是矩阵乘法的按列表示的应用解 1中矩阵 M是一个第 3类初等矩阵，求其逆阵可以直接利用初等矩阵的求逆阵公式 本题中，矩阵 Q的可逆性可以根据 Q的 3个列向量线性无关而知道，也可以由 Q=(a 1 ，a 1 ， a 1 ) 二、填空题(总题数：15，分数：30.00)16.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：
24、解析：解 1 利用初等行变换法： 故 A -1 =A 解 2 利用分块求逆法：记矩阵 ，则 B -1 =B，于是有 解 3 可以看出矩阵 A满足 A 2 =E，故由逆矩阵的定义即知 A -1 =A 本题考查求逆矩阵的运算注意公式 主要用于低阶可逆矩阵求逆阵以及用于理论问题例如对于 2阶可逆方阵 由上述逆矩阵公式易得 初等变换法是求逆矩阵的一般方法分块对角矩阵可用分块求逆法，例如当方阵 P、Q 都可逆时，有 17.若 A和 B都是 n阶非零方阵，且 AB=0，则 A的秩必小于 n( )（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：“是”）解析：解析：证 1 若 r(A)=n，则 A可逆
25、，给 AB=O两端左乘 A -1 ，得 B=O，这与 BO 矛盾，故必有 r(A)n 证 2 由 AB=O知，矩阵 B的每一列都是齐次方程组 Ax=0的解，又 BO，故方程组 Ax=0有非零解，故必有A=0，即 r(A)n 本题主要考查满秩方阵(或可逆方阵)的性质注意本题中的矩阵 A为方阵如果 A为 mn矩阵(未必是方阵)且满足 AB=O，其中 B0，则类似证 2，可以得出 r(A)n 的结论，但因为 A可能不是方阵，所以对 A不能论及可逆或不可逆的问题18.设 A和 B为可逆矩阵， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：解 设 A、B 分别为 m阶、n 阶可
26、逆方阵，设 其中 X 12 ，X 21 分别为 m阶、n 阶方阵，则有 XX -1 =E m+n ，即 由分块矩阵的乘法，得 AX 21 =E m ，AX 22 =O， BX 11 =O， BX 12 =E n 因为 A、B 均为可逆矩阵，所以解得 X 21 =A -1 ，X 22 =O， X 11 =O， X 12 =B -1 于是得 本题主要考查分块矩阵的乘法和求逆阵运算求解本题可以类比 2阶同类矩阵的求逆阵运算，例如 一般地，利用分块矩阵乘法可以验证(设 A 1 ，A 2 ，A m 均为可逆方阵)： 19.设 A为 m阶方阵，B 为 n阶方阵，且A=a，B=b， （分数：2.00）填空项
27、 1:_ （正确答案：正确答案：(一 1) mn ab）解析：解析：解 1 从O A的第 m行开始，依次将O A的每一行作，z 次相邻两行的交换，把它移到B O的下边去，则经 mn次相邻两行的交换，就将O A移到了B O的下边，因此有 解 2 如知道行列式的拉普拉斯展开法则，则可将C按其前 m行展开，得 C=A(一 1) 1+2+m+(n+1)+(n+m) B=(一1) nm ab 本题主要考查行列式性质的应用及分块对角方阵行列式的计算注意，对于分块对角方阵(其中A 1 ，A 2 ，A m 都是方阵) 20.设 4阶方阵 A的秩为 2，则其伴随矩阵 A * 的秩为 1（分数：2.00）填空项
28、1:_ （正确答案：正确答案：O）解析：解析：因为 r(A 44 )=2，即 A中非零子式的最高阶数为 2，故 A的 3阶子式全为 0，即 A的每个元素的余子式全为 0，从而每个元素的代数余子式全为 0，故 A * =O，从而有，r(A * )=0 本题考查矩阵的秩及伴随矩阵等概念注意，对于 n阶方阵 A，A 的每个元素的余子式就是 A的一个 n一 1阶子式，因此，当 r(A)n 一 1时，A 的每个元素的余子式、从而代数余子式都为 0，而 A * 的元素是 A的元素的代数余子式，故此时有 A * =0，从而有 r(A * )=0一般地成立：若 r(A mn )n 一 1，则 r(A * )=
29、021.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：解 1 初等行变换法： 上面分块矩阵中右边的矩阵就是 A -1 解 2 令，n 一 1阶方阵(对角矩阵) 则 ，于是有 ，其中 22.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 A * A=AE，当A0 时，得 ，故有 (或者由 A -1 = )，而A=10，所以 23.设矩阵 A，B 满足 A * BA=2B48E，其中 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：解 1 由题设等式得 (A * 一 2E)EA=一 8E 两端左乘 A，并利用 A
30、A * =AE=一 2E，得(一2E一 2A)BA=一 8A 即 (E+A)BA=4A 两端右乘 A -1 ，得 (E+A)B=4E 故 解 2 由题设等式得 (A * 一2E)EA=一 8E 由此可知(A * 一 2E)及 A都可逆，两端左乘(A * 一 2E) -1 ，两端右乘 A -1 ，得 B=一 8(A * 一 2E) -1 A -1 =一 8A(A * 一 2E) -1 =一 8(AA * 一 2A) -1 解 3 同解 2，由题设等式可得 B=一8(A * 一 2E) -1 A -1 而 故 24.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：O）解析：解析：因为
31、25.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 3）解析：解析：因秩(A)=3，=A=(k+3)(k 一 1) 3 =0，=k=一 3或 k=1，而当 k=1时显然有秩(A)=1，故必有 k=一 3(而且当 k=一 3时，A 的左上角的 3阶子式等于一 40，故此时的确有秩(A)=3但作为单项选择题，这里可以不验证当 k=一 3时有秩(A)=3) 本题主要考查矩阵的秩的概念及简单行列式的计算注意，秩(A)=3，即 A中非零子式的最高阶数为 3，故必有A=0，由此即可确定 k的取值范围，这比用初等变换法(秩(A)=3，=由 A化成的阶梯形阵中非零行的个数为 3)来确定
32、k的值显然要简单26.设 n维向量 a=(a，0，0，a) T ，a0；E 为 n阶单位矩阵，矩阵 A=E一 aa T ，B=E+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：由 A -1 =B，得 又易验证矩阵 T O，故得 但 T =a 2 =2 2 ，代入上式，得 =一 1，或 27.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：利用矩阵乘法，容易计算得 28.设 A，B 为 3阶矩阵，且A=3，B=2，A_ -1 +B=2，则A+B -1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：由于
33、 A+B -1 =(AB+E)B -1 =A(B+A -1 )B -1 =A(A -1 +B)B -1 ， 两端取行列式，并利用ABC=ABC及B -1 =B -1 ，得A+B -1 =AA -1 +BB -1 = 29.设 A为 3阶矩阵，A=3，A * 为 A的伴随矩阵若交换 A的第 1行与第 2行得矩阵 B，则BA * = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 27）解析：解析：解 1 由于互换行列式的两行，则行列式仅变号，于是知B=一 3再利用A * =A n-1 =A 2 =9，得BA * =BA * =一 27 解 2 记交换 3阶单位矩阵的第 1行与第 2
34、行所得初等矩阵为 E 12 ，则 B=E 12 A，由于 AA * =AE=3E，得 BA * =E 12 AA * =E 12 (3E)=3E 12 ，注意E 12 =一 1，所以BA * =3E 12 =3 3 E 12 =一 27 本题综合考查行列式、伴随矩阵及矩阵初等变换等有关概念及计算伴随矩阵的知识是本题考查的重点，其中所用的几个公式，如 AA * =AE，A * =A n-1 ，都很基本且常用，应熟练掌握30.设 A=(a ij )是 3阶非零矩阵，A为 A的行列式，A ij 为 a ij 的代数余子式若 a ij +A ij =0(i，j=1，2，3)，则A= 1（分数：2.00
35、）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：由 AO，不妨设 A 11 0，由已知的 A ij =一 a ij (i，j=1，2，3)，得 三、解答题(总题数：7，分数：14.00)31.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：32.设矩阵 A、B 满足关系式 AB=A+2B，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设等式得(A 一 2E)B=A，其中 E是单位矩阵矩阵 可逆，用(A 一 2E) -1 左乘上式两端，得 )解析：解析：本题综合考查矩阵的代数运算注意，求解矩阵方程，一般需经移项、提取公因子等步骤将方程化简成下列的某种形式
36、：AX=C，XA=C,AXB=C，这时，若未知矩阵 X的系数矩阵可逆，则给两端左乘或右乘相应的可逆矩阵就可解出矩阵 X来但一定要注意矩阵乘法不满足交换律，左乘和右乘一般是不同的，因此要从 AXB=C(当 A、B 可逆时)解出 X，就需用 A -1 左秉两端，而用 B -1 右乘两端，得 X=A -1 CB -1 33.设 A是 3阶方阵，A * 是 A的伴随矩阵，A 的行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 ，所以 )解析：解析：本题主要考查逆矩阵的概念、性质及方阵行列式的概念由于一般地有P+QP+Q，所以本题将(3A) -1 一 2A * 化成一个方阵是求解关键本题亦可由 及
37、A * =A 2 ，得(3A) -1 一 2A * = 注意，对于 n阶可逆方阵 A，由 AA -1 =E两端取行列式，即得 34.已知 X=AX+B，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设等式 X=AX+B，得(EA)X=B，由于矩阵 可逆，故得 )解析：解析：本题综合考查矩阵的代数运算，其重点是求逆矩阵和矩阵乘法运算注意，由于矩阵乘法不满足交换律，所以这里从 XAx中提取右边的公因子矩阵 X时要写成(EA)X；而要从(EA)X=B 中解出矩阵 x时要用(E 一 A) -1 左乘(而不是右乘)该式两端35.已知对于 n阶方阵 A，存在自然数 k，使得 A k =0，试证明矩阵
38、 E一 A可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E为 n阶单位阵)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A k =0，有 (EA)(E+A+A k-1 )=E+A+A k-1 一 A一一 A k-1 一 A k =EA k =E，由逆矩阵的定义即知 EA可逆，且有 (E 一 A) -1 =E+A+A k-1)解析：解析：本题主要考查逆矩阵的定义及方阵多项式的乘法注意，若同阶方阵 A、B 满足 AB=E，则有A -1 =B，B -1 =A因此，要验证 B是 A的逆矩阵，只需验证 AB=E或 BA=E二者之一就够了本题中(EA) -1 的表达式是如何想到的呢?读者可以类比多项式的乘法：(1 一 x
39、)(1+x+x k-1 )=1一 x k 36.设 A为 n阶非奇异矩阵，a 为 n维列向量，b 为常数，记分块矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) 因为 AA * =A * A=AI，故 )解析：解析：本题综合考查分块矩阵的乘法、伴随矩阵的性质、方阵可逆的条件注意，两个分块矩阵，只要左边矩阵关于列的分法与右边矩阵关于行的分法是一致的，就可以相乘，相乘的法则也是“左行乘右列”，这里特别要注意相乘的小块矩阵的左右次序要与相乘的两个大矩阵的左右次序保持一致，例如，PQ的第 2行第 2列处的小块矩阵为37.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 A 3 =0两端取
40、行列式，得A 3 =0，从而得A=0，而A=a 3 ，所以 a=0 ()解 1 由已知的 X一 XA 2 一 AX+AXA 2 =E，得 X(EA 2 )一 AX(E一 A 2 )=E 即 (E 一 A)X(E一 A 2 )=E 由()知 由于 EA，E 一 A 2 均可逆，所以 X=(E 一 A) -1 (EA 2 ) -1 解 2 同解 1一样可得 (E 一 A)X(E一 A 2 )=E 所以 X=(E 一 A) -1 (E一 A 2 ) -1 =E一 A 2 )(EA) -1 =EAA 2 +A 2 -1 =EAA 2 -1 由()知 所以 )解析：解析：本题综合考查方阵的行列式、矩阵的线性运算、矩阵乘法、求逆矩阵及求解矩阵方程等基本运算注意本题()的求解利用了“方阵乘积的行列式等于方阵行列式的乘积”，不必算出 A 3 在()的求解中应注意，由矩阵方程 PXQ=E求未知矩阵 X，应两端左乘 P -1 ，两端右乘 Q -1
