1、考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (99 年 )设 n 阶矩阵 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则 【 】（A）EA E B （B） A 与 B 有相同的特征值和特征向量（C） A 和 B 都相似于一个对角矩阵（D）对任意常数 t，tEA 与 tEB 相似2 (02 年 )设 A 是 n 阶实对称矩阵， P 是 n 阶可逆矩阵已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P -1AP)T 属于特征值 的特征向量是 【 】（A）P -1（B） PT（C） P（D）(P -1)T3 (
2、05 年 )设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则 1， A(1 2)线性无关的充分必要条件是 【 】（A） 10（B） 20（C） 10（D） 204 (10 年 )设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A2AO若 A 的秩为 3，则 A 相似于 【 】（A）（B）（C）（D）5 (13 年 )矩阵 相似的充分必要条件为 【 】（A）a0， b2（B） a0，b 为任意常数（C） a2，b0（D）a2， b 为任意常数6 (16 年 )设 A，B 是可逆矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论错误的是 【 】（A）A T 与 BT 相似（B） A-1 与
3、B-1 相似（C） AA T 与 BB T 相似（D）AA -1 与 BB -1 相似7 (07 年 )设矩阵 ，则 A 与 B 【 】（A）合同，且相似（B）合同，但不相似（C）不合同，但相似（D）既不合同，也不相似8 (08 年 )设 A 则在实数域上与 A 合同的矩阵为 【 】（A）（B）（C）（D）9 (15 年 )设二次型 f(1， 2， 3)在正交变换 Py 下的标准形为 2y12y 22y 32，其中 P(e 1，e 2，e 3)若 Q(e 1，e 3，e 2)，则 f(1， 2， 3)在正交变换 Qy ，下的标准形为 【 】（A）2y 12y 22y 32（B） 2y12y 2
4、2y 32（C） 2y12y 22y 32（D）2y 12y 22y 3210 (16 年) 设二次型 f(1， 2， 3)a( 12 22 32)2 122 232 13 的正、负惯性指数分别为 1，2，则 【 】（A）a1（B） a2（C） 2a1（D）a1 或 a2二、填空题11 (04 年) 二次型 f(1， 2， 3)( 1 2)2( 2 3)2( 3 1)2 的秩为_12 (11 年) 设二次型 f(1， 2， 3) TA 的秩为 1，A 的各行元素之和为 3，则 f 在正交变换 Qy 下的标准形为_13 (14 年) 设二次型 f(1， 2， 3) 12 222a 134 23
5、的负惯性指数为 1，则 a的取值范围是_14 (07 年) 设矩阵 A ，则 A3 的秩为_15 (09 年) 设 (1，1，1) T，(1，0，k) T若矩阵 T 相似于 ，则k_16 (97 年) 若二次型 f(1， 2， 3)2 12 22 322 12t 23 是正定的，则 t 的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 (91 年) 问 取何值时，二次型 f 124 224 322 122 134 23 为正定二次型?18 (92 年) 设 A、B 分别为 m、n 阶正定矩阵，试判定分块矩阵 C 是否正定矩阵19 (93 年) 设二次型 f 12 22 32
6、2 122 232 13 经正交交换 XPY 化成fy 22 2y32，其中 X( 1， 2， 3)T 和 Y(y 1，y 2，y 3)T 是 3 维列向量，P 是 3 阶正交矩阵，试求常数 ，20 (95 年) 已知二次型 f(1， 2， 3)4 223 324 124 138 23 (1)写出二次型厂的矩阵表达式； (2)用正交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵21 (99 年) 设 A 为 mn 实矩阵， E 为 n 阶单位矩阵已知矩阵 BEA TA，试证：当 0 时，矩阵 B 为正定矩阵22 (00 年) 设有 n 元实二次型 f( 1， 2， n)( 1a 12)2(
7、 2a 23)2( n-1a n-1n)( na n1)2， 其中 a1(i1，2，n)为实数试问：当 a1，a 2，a n 满足何种条件时，二次型 f(1， 2， n)为正定二次型23 (01 年) 设 A 为 n 阶实对称矩阵，秩 (A)n，A ij 是 A(a ij)nn 中元素 aij 的代数余子式(i，j1，2，n)，二次型 f(1， 2， n) (1)记X( 1， 2， ， n)T，把 f(1， 2， n)写成矩阵形式，并证明二次型 f(X)的矩阵为 A-1 (2) 二次型 g(X) XTAX 与 f(X)的规范形是否相同 ?说明理由24 (03 年) 设二次型 f(1， 2， 3
8、)X TAXa 122 222 322b 13(b0) ，其中二次型的矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为 12 (1)求 a，b 的值； (2)利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵25 (05 年) 设 D 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为mn 矩阵 ()计算 PTDP，其中 P ； ( )利用()的结果判断矩阵 BC TA-1C 是否为正定矩阵，并证明你的结论26 (09 年) 设二次型 f(1， 2， 3)a 12a 22(a 1)322 132 23 ()求二次型 f 的矩阵的所有特征值； ()若二次型厂的规范
9、形为 y12y 22，求 a 的值27 (12 年) 已知 A ，二次型 f(1， 2， 3) T(ATA) 的秩为 2 ()求实数 a的值； () 求正交变换 Qy 将 f 化为标准形28 (13 年) 设二次型 f(1， 2， 3)2(a 12a 22a 33)2(b 11b 22b 33)2，记( )证明二次型 f 对应的矩阵为 2T T ()若 ， 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2y12y 22考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由已知条件，存在可逆
10、矩阵 P，使得 P-1APB 所以 P-1(tEA)PtEP -1APtEB 这说明 tEA 与 tEB 相似，故 D 正确【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 由条件有 ATA，A，故有 (P -1AP)T(PT)P TA(PT)-1PTP TAP T(P T) 因为 PTa0(否则 PT0，两端左乘(P T)-1，得 0，这与特征向量必为非零向量矛盾)，故由特征值与特征向量的定义，即知非零向量PT 是方阵(P TAP)T 的属于特征值 的特征向量因此，B 正确【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 由条件知 1， 2 线性无关向量组 1，A( 1 2)，即
11、向量组1， 11 22，显然等价于向量组 1， 22，当 20 时， 1， 22 线性相关，当20 时， 1， 22 线性无关，故向量组 1，A( 1 2)线性无关 向量组1， 22 线性无关 0，只有选项 D 正确【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 设 A 按列分块为 A 1 2 3 4，由 r(A)3，知 A 的列向量组的极大无关组含 3 个向量，不妨设 1， 2， 3 是 A 的列向量组的极大无关组由于A2A，即 A 1 2 3 4 1 2 3 4， 即A 1 A2 A3 A4 1 2 3 4， 得 Aj j，j2，3，4 由此可知1 是 A 的特征值值且 1， 2，
12、 3 为对应的 3 个线性无关的特征向量，故1 至少是 A 的 3 重特征值而 r(A)34，知 0 也是 A 的一个特征值于是知 A 的全部特征值为：1，1，1，0，且每个特征值对应的线性无关特征向量个数正好等于该特征值的重数，故 A 相似于对角矩阵 Ddiag(1，1，1，0)，故选项 D 正确【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 B 为对角矩阵，B 的特征值为其主对角线元素 2，6，0若 A 与 B相似，则由相似矩阵有相同的特征值，知 2 为 A 的一个特征值，从而有 由此得 a0当 a0 时，矩阵 A 的特征多项式为 由此得 A 的全部特征值为2，b，0以下可分两种情
13、形： 若 b 为任意实数，则 A 为实对称矩阵，由于实对称矩阵必相似于对角矩阵，且对角矩阵的主对角线元素为该实对称矩阵的全部特征值，所以此时 A 必相似于 B综上可知，A 与 B 相似的充分必要条件为 a0，b为任意常数所以只有选项 B 正确【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 由已知条件知，存在可逆矩阵 P，使得 P-1APB(1) 由(1)两端取转置，得 PTAT(PT)-1B T，可见 AT 与 BT 相似，因此选项 A 正确； 由(1) 两端取逆矩阵，得 P-1A-1PB -1(2)，可见 A-1 与 B-1 相似，因此选项 B 正确； 将(1)与(2)相加，得 P-
14、1(AA -1)PBB -1，可见 AA -1 与 BB -1 相似，因此选项 D 正确故只有选项 C 错误【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 由 A 的特征方程 得 A 的全部特征值为 1 23， 30，由此知 A 不相似于对角矩阵 B(因为 A 的相似对角矩阵的主对角线元素必是 A 的全部特征值 3，3，0)，但由 A 的特征值知 3 元二次型 f(1， 2， 3) TA 的秩及正惯性指数均为(二次型 f TA 经适当的正交变换可化成标准形 f3y 123y 22，再经可逆线性变换可化成规范形 fz 12z 22，而 f 的矩阵 A 与 f 的规范形的矩阵Bdiag(1
15、 ， 1，0) 是合同的)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 记(D) 中的矩阵为 D，则由 知 A 与 D 有相同的特征值 3 与1，它们又都是实对称矩阵，因此存在正交矩阵 P 与 Q，使 PTAP Q TDQ，QPTAPQTD，或(PQ T)A(PQT)D，其中 PQT 可逆，所以 A 与 D 合同【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 A【试题解析】 设二次型的矩阵为 A，则由题意知矩阵 P 的列向量 e1，e 2，e 3 是矩阵 A 的标准正交的特征向量对应的特征值依次是 2，1，1即有 Ae12e 1，Ae 22e 2，Ae 32e 3 从而有 AQa(e 1，e
16、 3，e 2)(Ae 1，Ae 3，Ae 2)(2e 1，( e 3)，e 2) (e 1，e 3，e 2) 矩阵 Q 的列向量 e1，e 3，e 2 仍是 A 的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是 2，1，1矩阵 Q 是正交矩阵，有Q-1 QT，上式两端左乘 Q-1，得 Q -1AQQ TAQ 从而知厂在正交变换Py 下的标准形为 f2y 12y 22y 32于是选 A【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 C【试题解析】 先来求二次型的矩阵 A 的特征值，由 得 A 的全部特征值为1 2a1， 3a2，由题设条件知有两个特征值小于零，有一个特征值大于零，所以 a10a2，由此得2a1
17、，故只有选项 C 正确【知识模块】 线性代数二、填空题11 【正确答案】 2【试题解析】 f 的矩阵 A 的秩为 2，所以 f 的秩为 2【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 3y 12【试题解析】 由 f 的秩为 1，知 f 的矩阵 A 只有一个不为零的特征值， A 的另外两个特征值均为零再由 A 的各行元素之和都等于 3，即 ，知 A 的全部特征值为 13， 2 30于是 f 经正交变换化成的标准形为f 1y12 2y22 3y323y 12【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 2，2【试题解析】 对 f 配方，可得 f( 1a 3)2( 22 3)2(4a 2)32 于是 f 可
18、经可逆线性变换 化成标准形 fz 12z 22(4a 2)z32 若 4a 20，则 f 的负惯性指数为 2，不合题意； 若 4a 20，则 f 的负惯性指数为 1 因此，当且仅当4a 20，即a2 时，f 的负惯性指数为 1【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 1【试题解析】 利用矩阵乘法，容易计算得 由于 A3 中非零子式的最高阶数为1，故由矩阵的秩的定义，即知 r(A3)1【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 2【试题解析】 矩阵 A T 由 A 的特征方程 得 A 的特征值为1 20， 3k 1 又由 A 与对角矩阵相似，知 A 的特征值为 3，0，0比较得 k13，所以 k2
19、【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 【试题解析】 f 的矩阵为 因为，f 正定甘 A 的顺序主子式全为正，显然 A 的1 阶和 2 阶顺序主子式都大于零，故 f 正定【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 f 的矩阵为 二次型 f 正定的充分必要条件是：A 的顺序主子式全为正而 A 的顺序主子式为： 于是，f 正定的充分必要条件是：D20，D 30 由 D24 20，可见2 2 由 D34( 1)( 2)0，可见21 可见21因此，二次型 f 正定当且仅当 2 1【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 设 mn 维列向量 其中 X、Y
20、 分别为 m、n 维列向量若ZO，则 X、Y 不同时为 0，不妨设 X0，因为 A 正定，所以 XTAX0；因为 B正定，故对任意 n 维向量 Y，有 YTBY0 于是，当 Z0 时，有 ZTCZ XTAXY TBY0 因此，C 是正定矩阵【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 变换前后二次型的矩阵分别为 由题设条件有 P -1APP TAPB 因此 EAEB 即 得 33 2(2 2 2)( )2 33 22 解得 0 为所求常数【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 (1)f 的矩阵表达式为 f( 1， 2， 3)( 1， 2， 3) (2)f 的矩阵为由 A 的特征方程 得 A 的全
21、部特征值为 11， 26， 36计算可得，对应的特征向量分别可取为 1(2，0，一 1)T， 2(1，5，2)T， 3(1，1，2) T 对应的单位特征向量为 由此可得所求的正交矩阵为 P 1 2 3 对二次型 f 作正交变换 则二次型 f 可化为如下标准形：fy 12 6y226y 32【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 因为 B T(E A TA)TEA TAB 所以 B 为 n 阶对称矩阵对于任意的实 n 维向量 ，有 TB T(EA TA) T TATA T(A) T(A) 当 0 时，有 T0，(A) T(A)0因此，当 0 时，对任意的 0，有 TB T(A) T(A)0 即
22、 B 为正定矩阵【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由题设条件知，对任意的 1， 2， ， n，有 f( 1， 2， n)0 其中等号成立当且仅当 方程组(*)仅有零解的充分必要条件是其系数行列式不为零，即 所以，当 1(1) n+1a1a2an0 时，对于任意的不全为零的1， 2， n，有 f(1， 2， n)0，即当 a1a2，a n(1) n 时，二次型 f 为正定二次型【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 (1)因为 A 为对称矩阵，所以 Aij Aji(i，j1，2，n)因此f(X)的矩阵形式为 因秩 (A)n，故 A 可逆，且 从而 (A -1)T(A T)-1A -1
23、故 A-1 也是实对称矩阵因此，二次型 f(X)的矩阵为 (2) 因为 (A -1)TAA-1(A T)-1EA -1 所以 A 与 A-1 合同，于是 g(X)X TAX 与 f(X)有相同的规范形【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 (1)二次型 f 的矩阵为 设 A 的特征值为 1， 2， 3，则由题设，有 由此解得 a1，b 2 (2) 由 A 的特征多项式 得 A 的特征值为1 22， 33 对于 1 22，解齐次线性方程组(2EA)0，由 得基础解系 1(0，1，0) T， 2(2，0，1) T 对于 33，解齐次线性方程组(3EA) 0，由 得基础解系 (1，0，2) T 1
24、， 2， 3 已是正交向量组，将它们单位化，得 e 1(0 ，1，0) T， 令矩阵 Pe 1 e2 e3 则 P 为正交矩阵，且有 P -1APP TAP 二次型 f 在正交变换 py 下的标准形为 f2y 122y 223y 32【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 ()矩阵 BC TA-1C 是正定矩阵证明如下： 由()的结果可知，矩阵 D 合同于矩阵 又 D 为正定矩阵，可知矩阵 M 为正定矩阵 因矩阵 M 为对称矩阵，故 B CTA-1C 为对称矩阵对 X 及任意的Y(y 1，y 2，y n)T0，由 M 正定，有 即 YT(BC TA)Y0故 BC TA-1C为正定矩阵【知识模
25、块】 线性代数26 【正确答案】 ()f 的矩阵为 A ，由特征方程 得 A 的特征值为1a ， 2a2， 3a 1 ( )由 f 的规范形知 f 的秩为 2，正惯性指数为 2(负惯性指数为 0)，因此，A 的特征值 2 个为正，1 个为 0 若 1a0，则220， 31，不合题意；若 2a20，则 a2， 12， 33，符合题意；若 3a10，则 a1， 110， 230，不合题意故 a2【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 () 因为 r(ATA)r(A)，对 A 施以初等行变换 可见当 a1时，r(A)2，所以 a 1 ()由于 a1，所以 ATA 矩阵 ATA 的特征多项式为 于是
26、得 ATA 的特征值为 12， 2 6， 30 对于 12，由求方程组(2EA TA)0 的一个非零解， 可得属于 12 的一个单位特征向量(1，1，0) T； 对于 26，由求方程组(6E A TA)0 的一个非零解， 可得属于 26 的一个单位特征向量 (1，1，2) T； 对于 30，由求方程组(A TA)0 的一个非零解， 可得属于 30 的一个单位特征向量 (1，1，1) T 今矩阵 Q 则厂在正交变换 Qy 下的标准形为 f2y 126y 22【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 () 记 ，由于 f( 1， 2， 3)2(a 11a 22a 33)2(b 11b 22b 33
27、)2 2( 1， 2， 3) (a1，a 2， a3) ( 1， 2， 3)(b1，b 2，b 3) 2 T(T) T(T) T(2T T)T， 又 2T T 为对称矩阵，所以二次型 f 的矩阵为 2T T ()记矩阵 A2 T T由于， 正交且为单位向量，即 T1， T1， T T0，所以 A(2 T T)2， A(2 T T)， 于是 12， 21 是矩阵 A 的特征值又 r(A)r(2 T T)r(2T)r( T)2， 所以 30 是矩阵 A 的特征值由于 f 在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为 A 的特征值，故 f 在正交变换下的标准形为 2y12y 22【知识模块】 线性代数
