1、考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编 18 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列矩阵中，与矩阵 相似的为( )2 设矩阵 则 A 与 B( )（A）合同，且相似（B）合同，但不相似（C）不合同，但相似（D）既不合同，也不相似3 设 A= ，则在实数域上与 A 合同的矩阵为( )4 设二次型 f(x1，x 2，x 3)在正交变换 x=Py 下的标准形为 2y12+y22y 32 其中P=(e1，e 2，e 3)若 Q=(e1，e 3，e 2)，则 f(x1，x 2， x3)在正交变换 x=Qy 下的标准形为( )（A）2y 12y 22+y32（B
2、） 2y12+y22y 32（C） 2y12y 22y 32（D）2y 12+y22+y325 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=a(x12+x22+x32)+2x1x2+2x2x3+2x1x3 的正、负惯性指数分别为 1，2，则( )（A）a1（B） a2（C） 2a1（D）a=1 或 a=2二、填空题6 若二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+x22+x32+2x1x2+tx2x3 是正定的，则 t 的取值范围是_7 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2x 3)2+(x3+x1)2 的秩为_8 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 的秩为 1，
3、A 的各行元素之和为 3，则 f 在正交变换x=Qy 下的标准形为_ 9 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12x 22+2ax1x3+4x2x3 的负惯性指数为 1，则 a 的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 问 取何值时，二次型 f=x12+4x22+4x32+2x1x2 2x1x3+4x2x3 为正定二次型?11 设 A、B 分别为 m、n 阶正定矩阵，试判定分块矩阵 C= 是否正定矩阵12 设二次型 f=x12+x22+x32+2x1x2+2x2x3+2x1x3 经正交交换 X=PY 化成f=y22+2y32，其中 X=(x1，x 2，x 3)T
4、 和 Y=(y1，y 2，y 3)T 是 3 维列向量，P 是 3 阶正交矩阵，试求常数 ， 12 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=4x223x 32+4x1x24x 1x3+8x2x313 写出二次型 f 的矩阵表达式；14 用正交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵15 设 A 为 mn 实矩阵，E 为 n 阶单位矩阵已知矩阵 B=E+ATA，试证：当0 时，矩阵 B 为正定矩阵16 设有 n 元实二次型 f(x 1，x 2，x n)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+(xn1 +an1 xn)2+(xn+anx1)2， 其中 ai(i=1，2，n) 为实数
5、试问：当 a1，a 2，a n 满足何种条件时，二次型 f(x1，x 2，x n)为正定二次型16 设 A 为 n 阶实对称矩阵，秩(A)=n，A ij 是 A=(aij)nn 中元素 aij 的代数余子式(i，j=1，2，n)，二次型 f(x1，x 2，x n)= xixj17 记 X=(x1，x 2，x n)T，把 f(x1，x 2，x n)写成矩阵形式，并证明二次型 f(X)的矩阵为 A1 18 二次型 g(X)=XTAX 与 f(X)的规范形是否相同?说明理由19 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX=ax12+2x222x 32+2bx1x3(b0)，其中二次型的矩阵 A
6、的特征值之和为 1，特征值之积为12 (1)求 a，b 的值； (2)利用正交变换将二次型，化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵20 设 D= 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为 mn矩阵() 计算 PTDP，其中 ()利用()的结果判断矩阵BC TA1 C 是否为正定矩阵，并证明你的结论20 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=ax12+ax22+(a1)x32+2x1x32x 2x321 求二次型 f 的矩阵的所有特征值；22 若二次型 f 的规范形为 y12+y22，求 a 的值22 已知 A= ，二次型 f(x1，x 2，x 3)=xT(AT
7、A)x 的秩为 223 求实数 a 的值；24 求正交变换 x=Qy 将 f 化为标准形24 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记25 证明二次型 f 对应的矩阵为 2T+T26 若 ， 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2y12+y2227 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12x 22+ax32+2x1x28x 1x3+2x2x3 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 1y12+2y22，求 a 的值及一个正交矩阵 Q28 设实二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1x 2+x3)2+
8、(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中 a 是参数 (1)求 f(x1，x 2， x3)=0 的解； (2)求 f(x1，x 2，x 3)的规范形考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编 18 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 1 记矩阵 A= ，记 4 个选项中的矩阵分别为A1，A 2，A 3，A 4若矩阵 A 与矩阵 Ak 相似，则矩阵 AE 与矩阵 AkE 相似，从而矩阵 AE 与矩阵 AkE 有相同的秩，容易求出矩阵AE，A 1E，A 2E ， A3E，A 4E 的秩依次为 2，2，1，1，1，故选项B、C、D
9、都不对，只有选项 A 正确2 仍沿用解 1 的记号，则可以求出可逆矩阵 使得(AE)P=P(A1E)从而有 AP=PA1，或 P1 AP=A1，这表明矩阵 A 与矩阵 A1 相似，故选项 A 正确【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 由 A 的特征方程|EA|=(3) 2=0 得 A 的全部特征值为 1=2=3， 3=0，由此知 A 不相似于对角矩阵 B(因为 A 的相似对角矩阵的主对角线元素必是 A 的全部特征值 3，3，0)，但由 A 的特征值知 3 元二次型f(x1，x 2，x 3)=xTAx 的秩及正惯性指数均为(二次型 f=xTAx 经适当的正交变换可化成标准形 f
10、=3y12+3y22，再经可逆线性变换可化成规范形 f=z12+z22，而 f 的矩阵 A与 f 的规范形的矩阵 B=diag(1，1，0)是合同的)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 1 记 D 选项中的矩阵为 D，则由|EA| =223=( 3)(+1)，|ED| =223=( 3)(+1)知 A 与 D 有相同的特征值 3 与1，它们又都是实对称矩阵，因此存在正交矩阵 P 与 Q，使PTAP= =QTDQ， QPTAPQT=D，或(PQ T)A(PQT)=D，其中 PQT 可逆，所以 A 与 D 合同2 由于|A|=|D|=30，因此实对称矩阵 A 的两个特征值异号(
11、D亦是)，从而知二次型 xTAx 及二次型 xTDx 有相同的规范形 z12z 22，从矩阵角度讲，就是存在可逆矩阵 C1，C 2，使 C1TAC1= =C2TDC2，由此得(C 1C21 )TA(C1C21 )=D，且 C1C21 可逆，故 A 与 D 合同 3 对于二次型 f(x1，x 2)=xTAx=x12+4x1x2+x22，由于 f(1，0)=10，f(2，1)= 30，所以 A 是不定的由顺序主子式法知备选项 A、B、C 中的矩阵分别是负定的、正定的、正定的，由于合同的矩阵有相同的正(负)定性，因此备选项 A、B、C 中的矩阵都不与矩阵A 合同，只有备选项 D 正确(也易判定 D
12、中的矩阵是不定的 )【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 设二次型的矩阵为 A，则由题意知矩阵 P 的列向量 e1，e 2，e 3 是矩阵 A 的标准正交的特征向量对应的特征值依次是 2，1，1即有Ae1=2e1，Ae 2=2e2，Ae 3=2e3 从而有 AQ=A(e1，e 3，e 2)=(Ae1，Ae 3，Ae 2)=(2e1，(e 3)，e 2) 矩阵 Q 的列向量 e1，e 3，e 2 仍是A 的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是 2，1，1矩阵 Q 是正交矩阵，有 Q1 =QT，上式两端左乘 Q1 ，得 Q1 AQ=QTAQ 从而知 f 在正交变换 x=Py 下
13、的标准形为 f=2y12y 22+y32于是选 A【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 1 先来求二次型的矩阵 A 的特征值，由 /=(a2)(a+1) 2=0 得A 的全部特征值为 1=2=a1， 3=a+2，由题设条件知有两个特征值小于零，有一个特征值大于零，所以 a10a+2，由此2a1，故只有选项 C 正确2 由于二次型矩阵 A=的每行元素之和都等于 a+2，所以 1=a+2 是 A 的一个特征值，设 A 的另外两个特殊性征值是2， 3，由题设条件知一个特征值为正，两个特征值为负，因此 1230，再由特征值的性质知 因此 1=a+20，得 a2 ，于是 2， 3 都小
14、于零，由(1)得 2+3=3a 1=3a(a+2)=2a20，得 a1，综合可得2a1【知识模块】 线性代数二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 f 的矩阵为 因为，f 正定 A 的顺序主子式全为正，显然 A 的 1 阶和 2 阶顺序主子式都大于零，故 f 正定【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 f 的矩阵 的秩为 2，所以 f 的秩为2【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 3y 12【试题解析】 由 f 的秩为 1，知 f 的矩阵 A 只有一个不为零的特征值， A 的另外两个特征值均为零再由 A 的各行元素之和都等于 3，即 知 A 的全部特征值为 1=3， 2=3=0于是 f 经
15、正交变换化成的标准形为f=1y12+2y22+3y32=3y12【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 2，2【试题解析】 1 对 f 配方，可得 f=(x1+ax3)2(x 22x 3)2+(4a 2)x33 于是 f 可经可逆线性变换 化成标准形 f=z12z 22+(4a 2)z32 若 4a 20，则 f 的负惯性指数为 2，不合题意；若 4a 20，则 f 的负惯性指数为 1因此，当且仅当4a 20，即|a|2 时，f 的负惯性指数为 12 f 的矩阵为 A 的特征多项式为 =3(5+a 2)+4a 2，设 A 的特征值为1， 2， 3，则 f 经正交变换可化成标准形 f=1y12+
16、2y22+3y321， 2， 3 中为负的个数即 f 的负惯性指数，且由特征值的性质知 123=det(A)=4a 2由于 f 既可取到正值、又可取到负值，所以 1， 2， 3 中至少有一个为正的，也至少有一个为负的 123 的符号只有下列 3 种可能：(1) 123=0，此时有 3=0， 1，2 = ，即 f 的正、负惯性指数都为 1，符号题意(2) 1230，此时 1， 2， 3 中有“一个为负的，2 个为正的(不可能 3 个都为负，否则与 f 可取到正值矛盾)，符号题意(3) 1230，此时 1， 2， 3 中 3 个都为正的，或者 2 个为负的，1 个为正的，都不符号题意综上可知，当且
17、仅当 123=4a 20，即|a|=2 时，符号题意【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 f 的矩阵为 二次型 f 正定的充分必要条件是：A的顺序主子式全为正。而 A 的顺序主子式为：D 1=1，D 2= =4 2，D 3=|A|=4(1)(+2)，于是，f 正定的充分必要条件是：D20，D 30由 D2=4 20，可见22 由 D3=4(1)(+2)0，可见21 可见21因此，二次型 f 正定当且仅当 2 1【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 1 设 m+n 维列向量 其中 X、Y 分别为 m、n 维列向量若 Z0，则 X、Y 不同
18、时为 0，不妨设 X0，因为 A 正定，所以 XTAX0；因为 B 正定，故对任意 n 维向量 Y，有 YTBY0于是，当 Z0时，有 ZTCZ=XT YT =XTAX+YTBY0 因此，C 是正定矩阵 2 因为 A、B 都是正定矩阵，故 A、B 的特征为值全为正由 C 的特征方程=|EmA|E nB|=0 知 C 的全部特征值就是 A 和 B的全部特征值的并集，故 C 的特征值全大于 0，因此 C 为正定矩阵解 3 因为A、B 都是正定矩阵，故存在可逆矩阵 M、N，使得 A=MTM，B=N TN，故其中，分块矩阵可逆，故 C 为正定矩阵【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 变换前后二次型
19、的矩阵分别为 由题设条件有 P 1AP=PTAP=B 因此|EA|=|E B| 即得 33 2+(2 2 2)+() 2=33 2+2解得 =0为所求常数【试题解析】 本题主要考查用正交变换化二次型为标准形的概念及相似矩阵的性质注意，用正交变换 X=PY(P 为正交矩阵)化二次型 f=XTAX(A 为实对称矩阵)为标准形 f=YTBY(B 为对角矩阵)，其实质就是用正交矩阵 P 化实对称矩阵 A 为对角矩阵 B，即 P 为满足 P1 AP=PTAP=B 的正交矩阵【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 f 的矩阵表达式为 f(x1，x 2，x 3)【知识模块】 线性代数
20、14 【正确答案】 f 的矩阵为 由 A 的特征方程=(1)(236)=0 得 A 的全部特征值为 1=1， 2=6， 3=6计算可得。对应的特征向量分别可取为 1=(2，0，1) T， 2=(1，5，2) T， 3=(1，1，2) T 对应的单位特征向量为 由此可得所求的正交矩阵为 P=1 2 3 对二次型 f 作正交变换 则二次型 f 可化为如下标准形：f=y 12+6y226y 32【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 1 因为 BT=(E+ATA)T=E+ATA=B 所以 B 为 n 阶对称矩阵对于任意的实 n 维向量 x，有 xTBx=XT(E+ATA)x=Tx+xTATAx=x
21、Tx+(Ax)T(Ax)当 x0时，有 xTx0，(Ax) T(Ax)0因此，当 0 时，对任意的 x0，有xTBx=xTx+(Ax)T(Ax)0 即 B 为正定矩阵2 B=E+A TA 为实对称矩阵，要证明B 为正定矩阵，只要证明 B 的特征值均大于零设 为 B 的任一特征值，x 为对应的特征向量，则 Bx=x，即(E+A TA)x=x或 x+ATAx=x两端左乘 xT，得xTx+(Ax)T(Ax)=xTx 或 x2+Ax2=x2 因为 x0有x0，Ax0，所以当 0时，有 可知 B 的特征值全大于零，故 B 正定【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 由题设条件知，对任意的 x1，x 2
22、，x n，有 f(x1，x 2，x n)0其中等号成立当且仅当方程组(*)仅有零解的充分必要条件是其系数行列式不为零，即 =1+(1)n+1a1a2an0所以，当 1+(1) n+1a1a2an0时，对于任意的不全为零的x1，x 2，x n，有 f(x1，x 2，x n)0，即当 a1，a 2，a n(1) n 时，二次型 f为正定二次型【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 因为 A 为对称矩阵，所以 Aij=Aji(i，j=1 ，2，n)因此 f(X)的矩阵形式为 因秩(A)=n，故 A 可逆，且 A1 =1|A|A *从而(A 1 )T=(AT)1 =A1 故 A
23、1 也是实对称矩阵因此二次型f(X)的矩阵为 =1|A|A *=A1【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 1 因为 (A 1 )TAA1 =(AT)1 E=A 1 所以 A 与 A1 合同，于是 g(X)=XTAX 与 f(X)有相同的规范形 2 对二次型 g(X)=XTAX 作可逆线性变换X=A1 Y，其中 y=(y1，y 2，y n)T，则 g(X)=XTAX=(A1 Y)TA(A1 Y)=YT(A1 )TAA1 Y=YTA1 y，由此得知 A 与 A1 合同，于是 f(X)与 g(X)必有相同的规范形 解 3 设 A 的全部特征值为 1， 2， n，则 A1 的全部特征值为1 1，1
24、 2，1 n 可见 A 与 A1 的特征值中为正及为负的个数分别相同，因而二次型 g(X)=XTAX 与二次型 f(X)=XTA1 X 的标准形中系数为正和系数为负的项数分别相同，从而知 g(X)与 f(X)有相同的规范形【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 1 (1)二次型 f 的矩阵为 设 A 的特征值为1， 2， 3，则由题设，有 由此解得a=1，b=2(2)由 A 的特征多项式 =(2) 2(+3)得 A的特征值为 1=2=2， 3=3对于 1=2=2，解齐次线性方程组(2E A)x=0，由得基础解系 1=(0，1，0) T， 2=(2，0，1) T对于 3=3，解齐次线性方程组(
25、3EA)x 一 0，由得基础解系 3=(1，0，2) T 1， 2， 3 已是正交向量组，将它们单位化，得二次型 f 在正交变换 x=py 下的标准形为 f=2y12+2y223y 322 (1)f 的矩阵为 A 的特征多项式为 =(2) 2(a2)(2a+b 2)设 A 的特征值为 1， 2， 3，则 1=2， 2+3=a2， 23=(2a+b 2)，由题设得解之得 a=1，b=2(2)由(1)可得 A 的特征值为1=2=2， 3=3以下同解 1【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 () 因 PT 有 PTDP()矩阵 BC TA1 C 是正定矩阵证明如下：由()的结果可知，矩阵 D 合
26、同于矩阵又 D 为正定矩阵，可知矩阵 M 为正定矩阵因矩阵 M 为对称矩阵，故 BC TA1 C 为对称矩阵对 X= 及任意的Y=(y1，y 2，y n)T0，由 M 正定，有 即YT(BC TA1 C)Y0故 BC TA1 C 为正定矩阵【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 f 的矩阵为 A= ，由特征方程=(a)(a)2+(a)2=( a)(a+2)( a1)=0，得 A 的特征值为1=a， 2=a 2， 3=a+1【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由 f 的规范形知 f 的秩为 2，正惯性指数为 2(负惯性指数为 0)，因此，A 的特征值 2 个为正，1
27、 个为 0若 1=a=0，则 2=20， 3=1，不合题意；若 2=a2=0，则 a=2， 1=2， 3=3，符合题意；若 3=a+1=0，则a=1， 1=10， 2= 30，不合题意故 a=2【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 1 因为 r(ATA)=r(A)，对 A 施以初等行变换可见当 a=1 时，r(A)=2，所以 a=12 若直接由矩阵 ATA 的秩为 2 来确定 a，对 ATA 施以初等行变换：A TA可见当且仅当 a=1 时，r(A TA)=2，所以 a=1【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由于 a=1，所以 ATA 矩阵 ATA 的特征多项式
28、为|E ATA| =(2)( 26)=(2)(6)，于是得 ATA 的特征值为 1=2， 2=6， 3=0对于 1=2，由求方程组(2E A TA)x=0 的一个非零解，可得属于 1=2 的一个单位特征向量 (1，1，0) T；对于 2=6，由求方程组(6EA TA)x=0 的一个非零解，可得属于 2=6 的一个单位特征向量 (1，1，2) T；对于 3=0，由求方程组(A TA)X=0 的一个非零解，可得属于 3=0 的一个单位特征向量 (1，1，1) T令矩阵 则 f 在正交变换 X=Qy 下的标准形为 f=2y12+6y22【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数25 【正确答案】
29、记 x= ，由于 f(x1，x 2，x 3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2 =2xT(T)x+xT(T)x=xT (2T+T)xT，2 T+T 为对称矩阵，所以二次型 f 的矩阵为2T+T【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 记矩阵 A=2T+T由于 ， 正交且为单位向量，即T=1， T=1， T=T=0，所以 A=(2 T+T)=2， =(2 T+T)=， 于是1=2， 2=1 是矩阵 A 的特征值又 r(A)=r(2 T+T)r(2T)+r(T)2， 所以 3=0是矩阵 A 的特征值由于 f 在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为 A 的
30、特征值，故 f 在正交变换下的标准形为 2y12+y22【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 二次型 f(x1，x 2，x 3)的矩阵为 由题设知Q1 AQ=QTAQ A 的一个特征值为零，所以有故得a=2由 A 的特征方程=(6)(+3)=0得 A 的全部特征值，不妨设 1=6， 2=3， 3=0，对于 1=6，解方程组(6IA)x=0，对应的单位特征向量可取为 1= (1，0，1) T；对于 2=3，解方程组( 3IA)x=0，对应的单位特征向量可取为 2= (1，1，1) T；对于 3=0，解方程组 Ax=0，对应的单位特征向量可取为 3= (1，2，1) T因此，所求的正交矩阵可取
31、为 Q=(1， 2， 3)【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 (1)f(x 1， x2，x 3)=0 对上面这个齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换： 可见当 a20，即a2时，该方程组只有零解 x=0，即方程 f=0 只有零解 x=0；当 a=2 时，由得方程组的通解、即方程 f(x1，x 2，x 3)=0 的解为(2)由(1) 知当 a2时，f 是正定的，因此 f 的规范形是f=y12+y22+y32；当 a=2 时，对 f 配方得 f=2(x1 x3)2+ (x2+x3)2，可见 f 的秩为 2，f 的正惯性指数也是 2，所以 f 的规范形是 f=y12+y22【知识模块】 线性代数
