1、考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (98 年 )齐次线性方程组 的系数矩阵记为 A若存在 3 阶矩阵 BO 使得ABO，则 【 】（A）2 且B0（B） 2 且B0（C） 1 且B0（D）1 且B02 (00 年 )设 1， 2， 3 是 4 元非齐次线性方程组 Ab 的 3 个解向量，且 A 的秩r(A)3， 1(1 ，2，3，4) T， 2 3(0，1，2，3)T，c 表示任意常数，则线性方程组 AXb 的通解 X 【 】（A）（B）（C）（D）3 (00 年 )设 A 为 n 阶实矩阵， AT 是 A
2、 的转置矩阵，则对于线性方程组( )：A0和()：A TA0，必有 【 】（A）() 的解是 ()的解，()的解也是()的解（B） ()的解是( )的解，但( )的解不是()的解（C） ()的解不是( )的解，( )的解也不是()的解（D）() 的解是 ()的解，但()的解不是()的解4 (01 年 )设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，且秩 秩(A)，则线性方程组 【 】（A）AX 必有无穷多解（B） AX 必有惟一解（C） 0 仅有零解（D） 0 必有非零解5 (02 年 )设 A 是 mn 矩阵， B 是 nm 矩阵，则线性方程组(AB)0 【 】（A）当 nm 时仅有零解（B）
3、当 nm 时必有非零解（C）当 mn 时仅有零解（D）当 mn 时必有非零解6 (04 年 )设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*O，若 1， 2， 3， 4 是非齐次线性方程组Ab 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 A0 的基础解系 【 】（A）不存在（B）仅含一个非零解向量（C）含有两个线性无关的解向量（D）含有三个线性无关的解向量7 (11 年 )设 A 为 43 矩阵， 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 A 的 3 个线性无关的解，k 1，k 2 为任意常数，则 A 的通解为 【 】（A） k 1(2 1)（B） k 1(2 1)（C） k 1(2 1) k2(3 1)（D）
4、k 1(2 1) k2(3 1)8 (15 年 )设矩阵 ，若集合 1，2，则线性方程组 Ab 有无穷多解的充分必要条件为 【 】（A）a ，d （B） a ，d（C） a，d （D）a，d9 (91 年 )设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征根，则 A 的伴随矩阵 A*的特征值之一是 【 】（A） -1A n（B） -1A（C） A（D）A n10 (93 年)n 阶方阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A 与对角阵相似的 【 】（A）充分必要条件（B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件（D）既非充分也非必要条件二、填空题11 (89 年) 若齐次线性方程组 只有零解，则 应
5、满足的条件是_12 (90 年) 若线性方程组 有解，则常数 1， 2， 3， 4 应满足条件_13 (96 年) 设 其中 aiaj(ij，i，j1，2，n)则线性方程组 ATXB 的解是_14 (00 年) 设 4 阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 则行列式B -1E_15 (08 年) 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，2，2，E 为 3 阶单位矩阵，则4A -1E_16 (15 年) 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，2，1，B A 2A E, ，其中 E 为 3 阶单位矩阵，则行列式B_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 (99 年) 设矩阵 A
6、 且A1，又设 A 的伴随矩阵 A*有特征值 0，属于0 的特征向量为 ( 1，1，1) T求 a，b，c 及 0 的值18 (01 年) 设矩阵 ，已知线性方程组 AX 有解但不惟一，试求 (1)a 的值； (2)正交矩阵 Q，使 QTAQ 为对角矩阵19 (02 年) 设 A 为 3 阶实对称矩阵，且满足条件 A22AO，A 的秩 r(A)2 (1)求 A 的全部特征值； (2)当志为何值时，矩阵 AkE 为正定矩阵，其中 E 为三阶单位矩阵20 (04 年) 设 n 阶矩阵 A (1)求 A 的特征值和特征向量； (2)求可逆矩阵 P，使P-1AP 为对角矩阵21 (06 年) 设 3
7、阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1(1，2，1)T， 2(0，1，1) T 是线性方程组 A0 的两个解 ()求 A 的特征值与特征向量； ( )求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 QTAQA； ()求 A 及(A E)6，其中 E 为 3 阶单位矩阵22 (07 年) 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 11， 22， 32，且1 (1，1， 1)T 是 A 的属于 1 的一个特征向量记 BA 54A 3E ，其中 E 为3 阶单位矩阵 () 验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量； ( )求矩阵 B23 (08 年) 设 A 为 3 阶矩阵，
8、1， 2 为 A 的分别属于特征值1，1 的特征向量，向量 3 满足 A3 2 3 ()证明 1， 2， 3 线性无关； ()令 P 1， 2， 3，求 P-1AP24 (10 年) 设 A ，正交矩阵 Q 使得 QTAQ 为对角矩阵若 Q 的第 1 列为(1，2，1) T，求 a，Q25 (11 年) 设 A 为 3 阶实对称矩阵， A 的秩为 2，且 ()求 A 的所有特征值与特征向量 () 求矩阵 A26 (14 年) 证明 n 阶矩阵 相似27 (15 年) 设矩阵 A 相似于矩阵 B ()求 a，b 的值； () 求可逆矩阵 P，使 P-1AP 为对角矩阵28 (16 年) 已知矩阵
9、 A () 求 A99； ()设 3 阶矩阵 B( 1， 2， 3)满足B2BA，记 B100( 1， 2， 3)，将 1， 2， 3 分别表示为 1， 2， 3 的线性组合29 (98 年) 设矩阵 A 矩阵 B(kEA) 2，其中 k 为实数，E 为单位矩阵求对角矩阵 A，使B 与 A 相似；并求七为何值时，B 为正定矩阵考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 设 B 按列分块为 B 1 2 3，则由题设条件，有 OABA 1 A2 A3 所以 Aj0(j1，2，3)，即矩阵 B
10、的每一列都是方程组 A0 的解又 BO，故 B 至少有一列非零，因而方程组 A0 存在非零解，从而有 得 1 另一方面，必有B0，否则B0，则 B 可逆，于是由给 ABO两端右乘 B-1，得 AO，这与 AO 矛盾，故必有B0 因此 C 正确【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 由于 AXb 的通解等于 AXb 的特解与 AX0 的通解之和，故只要求出 AX0 的基础解系，即得 AXb 的通解 因为 r(A)3，故 4 元齐次方程组 A0 的基础解系所含向量个数为 4r(A)1，所以 AX0 的任一非零解就是它的基础解系由于 1 及 (2 3)都是 Ab 的解故 是 AX0
11、的一个解，从而 (2，3，4，5) T 也是 AX0 的一个解，由上述分析知 是 AX0 的一个基础解系，故 AXb 的通解为 X 1c 因此 C 正确【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 若向量 X 满足方程组 AX0，两端左乘 AT，得 ATAX0，即 X 也满足方程组 ATAX0，故 AX0 的解都是 ATAX0 的解 反之，若 X 满足ATAX0，两端左乘 XT，得 XTATAX0，即(AX) T(AX)0，或AX 20，故AX0，即 X 也满足方程组 AX0，故 ATAX0 的解都是 AX0 的解 由以上两方面，说明方程组() 与( ) 是同解的，故 A 正确【知识
12、模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 方程组 0 是 1 元齐次线性方程组，由条件，其系数矩阵的秩A nn，的秩nn 1，故该 1 元齐次线性方程组必有非零解于是知 D 正确【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 由 A*O 知 A*至少有一个元素 Aij(1) i+jMij0，故 A 的余子式Mij0，而 Mij 为 A 的 n 1 阶子式，故 r(A)n1，又由 Ab 有解且不唯一知r(A)n，故 r(A)n 1，因此， A0 的基础解系所含向量个数为 nr(A)n(n1) 1，只有 B 正确【知识模块】 线性代数7 【
13、正确答案】 C【试题解析】 首先，由 A (2 3) ，知 (2 3)是 A 的一个特解；其次，由解的性质或直接验证，知 2 1 及 3 1 均为方程组 A0 的解；再次，由 1， 2， 3 线性无关，利用线性无关的定义，或由 2 1， 3 1 1， 2， 3 及矩阵 的秩为 2，知向量组 2 1， 3 1 线性无关，因此，方程组 A0 至少有 2 个线性无关的解，但它不可能有 3 个线性无关的解，于是 2 1， 3 1 可作为 A0 的基础解系，A0 的通解为 k1(2 1)k 2(3 1)，再由非齐次线性方程组解的结构定理即知只有选项 C 正确【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试
14、题解析】 对方程组的增广矩阵施行初等行变换(化成阶梯形)： 由于方程组有无穷多解，当然不能有唯一解，所以有(a1)(a2)0，即 a1 或 a2，此时系数矩阵的秩为 2，由有解判定定理知，当且仅当 a 且 d，所以选 D【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 B【试题解析】 因为 为可逆方阵 A 的特征值，故 0，且存在列向量 0，使A，用 A*左乘两端并利用 A*AAE，得A A * 两端同乘 ，得 A* A，由特征值的定义即知 A 为 A*的一个特征值且 为对应的一个特征向量，故只有 B 正确【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 B【知识模块】 线性代数二、填空题11 【正确答案】 为
15、不等于 1 的任意常数【试题解析】 方程组的系数行列式为 由于该齐次方程组只有零解甘 D0，故得 1【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 a 1a 2 a3a 40【试题解析】 对方程组的增广矩阵 作初等行变换： 可见 r(A)3，由原方程组有解，应有 r( )r(A) 3故得 a1a 2a 3a 40【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 (1，0，0) T【试题解析】 因为 a1，a 2，a n 两两不相等，故范德蒙行列式A (aia j)0，所以方程组 ATXB 的系数行列式A TA0，故方程组有唯一解，再由观察法或克莱默法则可得此唯一解为 X(1，0，0) T【知识模块】 线性代
16、数14 【正确答案】 24【试题解析】 由于相似矩阵有相同的特征值，故 B 的特征值为： 因此，B -1的特征值为：2，3，4，5 从而知 B-1E 的特征值为：1，2，3，4 由特征值的性质，得B -1E123424【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 3【试题解析】 A 12340，故 A 可逆，A -1 的特征值为 1，12，12，知 4A-1E 的特征值为 4113，41211，41 211，故 4A -1E 3113【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 21【试题解析】 因为 BA 2AEf(A) ，其中多项式 f(t)t 2t1，所以由 A 的特征值 2，2，1，得 B 的
17、特征值为 f(2)3，f( 2)7，f(1) 1 这是 3 阶矩阵 B的全部特征值，由特征值的性质得 B37121【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 由 A* 0，AA *AEE 有 AA* 0A，从而有 0A 由(1) 和(3)解得 01将 01 分别代入 (2)和(1) ，得b3，a c由A1 和 ac 有 1A a 3 故ac2因此 a2，b3，c2， 01【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 (1)对方程组的增广矩阵 作初等行变换： 由此可见 1)当a1 且 a2 时，r(A)r( )3，方程组有惟一解； 2)当 a1 时，r
18、(A)1，r() 2，方程组无解； 3)当 a2 时，r(A) r( )23，方程组有无穷多解 故 a 2 满足题设条件 (2)由(1)知 A 由E A (3)(3) 0 得 A 的特征值为 10， 23， 33 对于 10，解方程组(0EA)X0，由 得对应的特征向量为 1(1 ，1，1) T，单位化，得对应的单位特征向量为 e1 对于 23，解方程组(3EA)X0，由 得对应的特征向量为 2(1 ，0，1) T单位化，得对应的单位特征向量为 e2 对于特征值3，解方程组(3EA)X0，由 得对应的特征向量为 e3(1，2，1)t，单位化，得对应的单位特征向量为 e 故所求的正交矩阵为【知识
19、模块】 线性代数19 【正确答案】 (1)设 为 A 的一个特征值，对应的特征向量为 ，则A，0 ；A 2 2 于是(A 22A)( 22) 由条件 A22A O，推知 (22)O 又由于 O，故有 22 0 解得 2，0 因为实对称矩阵 A必可对角化，且 r(A)2，所以 因此，矩阵 A 的全部特征值为1 22， 30 (2)实对称矩阵必可用正交矩阵化为对角矩阵，故存在正交矩阵 P，使 P -1APP TAP 从而有 P-1(AkE)PP T(AkE)P 即 AkE 与矩阵 D 合同，因合同的矩阵有相同的正定性，故 AkE 为正定矩阵 D 为正定矩阵 D 的各阶顺序主子式都大于零 k2 0，
20、(k2) 20，(k2)2k0 2，因此，当 k2 时，AkE 为正定矩阵【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 (1)当 b0 时，A 的特征多项式为 EA 1(n1)b(1b) n-1， 故 A 的特征值为 11(n 1)b， 2 n1b 对于11(n 1)b，设对应的一个特征向量为 1，则 解得 1(1，1，) T，所以，属于 1 的全部特征向量为 k 1k(1，1，1) T，其中 k 为任意非零常数 对于 2 n1b，解齐次线性方程组(1b)EA 0，由 解得基础解系为 2(1，1，0， ，0) T， 3(1，0，一 1，0)T， ， n(1，0，0，1) T故属于 2 n 的全部特
21、征向量为 k22k 33k nn，其中 k2，k 3，k n 为不全为零的任意常数 当 b0 时，AE， A 的特征值为 1 2 n1，任意 n 维非零列向量均是 A 的特征向量 (2)当 b0 时，A 有 n 个线性无关的特征向量，令矩阵 P 1 2 n，则有 P -1APdiag(1 (n 1)b，1b，16) 当 b0 时，A E ，对任意 n 阶可逆矩阵 P，均有 P-1APE【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 () 由于矩阵 A 的各行元素之和均为 3所以 因为A10，A 20，即 A 10 1，A 20 2 故 1 20 是 A 的二重特征值，1， 2 为 A 的属于特征值
22、0 的两个线性无关特征向量； 33 是 A 的一个特征值，3 (1，1，1) T 为 A 的属于特征值 3 的特征向量 总之，A 的特征值为0，0，3属于特征值 0 的全体特征向量为 k11k 22(k1，k 2 不全为零)，属于特征值 3 的全体特征向量为 k33(k30) ( )对 1， 2 正交化令 1 1(1，2，1) T 2 再分别将 1， 2， 3 单位化，得 那么 Q 为正交矩阵，且 QTAQA【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 () 记矩阵 A 的属于特征值 i 的特征向量为 i(i1，2，3)，由特征值的定义与性质，有 Aki iki(i1，2，3，k1，2，)，于是有
23、 B1(A 54A 3E) 1( 154 13) 12 1 因 10，故由定义知2 为 B 的一个特征值且 1 为对应的一个特征向量类似可得 B 2( 254 231) 2 2 B3( 354 331) 3 3 因为 A 的全部特征值为 1， 2， 3，所以 B 的全部特征值为 i54 i3(i1，2，3)，即 B 的全部特征值为2，1，1 因2 为 B 的单特征值，故 B 的属于特征值2 的全部特征向量为 k11，其中 k1 是不为零的任意常数 设 (1， 2， 3)T 为 B 的属于特征值 1 的任一特征向量因为 A 是实对称矩阵，所以 B 也是实对称矩阵因为实对称矩阵属于不同特征值的特征
24、向量正交，所以有( 1， 2， 3)10，即 1 2 30 解得该方程组的基础解系为 2(1，1，0) T， 3( 1，0，1) T 故 B 的属于特征值 1 的全部特征向量为忌k22k 33，其中 k2，k 3 为不全为零的任意常数 () 由()知 1， 2， 3 为 B 的 3个线性无关的特征向量，令矩阵【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 523()设存在一组常数 k1，k 2，k 3，使得 k 11k 22k 330 用 A 左乘 式两端，并利用 A1 1，A 2 2， k 11(k 2k 3)2 k330 ，得 2k 11k 320 因为 1， 2 是 A 的属于不同特征值的特征
25、向量，所以 1， 2 线性无关，从而由 式知 k1k 30，代入 式得k22 0，又由于 20，所以 k20，故 1， 2， 3 线性无关 ()由题设条件可得 APA 1， 2， 3A 1，A 2，A 3 1， 2， 3 1， 2， 3 由()知矩阵 P 可逆，用 P*-1 左乘上式两端，得 P -1AP【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由题设，(1 ，2，1) T 为 A 的一个特征向量，于是有 A 1，即 解得 12，a1所以 A 由 A 的特征方程 得 A 的特征值为2，5，4 对于特征值 5，求齐次线性方程组(5IA)0 的基础解系，由 得通解 1 3， 2 3(3 任意) 令
26、 31，得基础解系为(1，1，1) T，将其单位化，得属于特征值 5 的一个单位特征向量为 (1，1，1) T 同理可求得属于特征值4 的一个单位特征向量为 (1，0，1) T 故 Q 为所求的正交矩阵【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 () 由于 A 的秩为 2，故 0 是 A 的一个特征值由题设可得 所以，1 是 A 的一个特征值，且属于1 的特征向量为 k1(1，0，1) T，k 1 为任意非零常数；1 也是 A 的一个特征值，且属于 1 的特征向量为 k2(1，0，1) T，k 2 为任意非零常数 设 ( 1， 2， 3)T 为 A 的属于 0 的特征向量，由于 A 为实对称矩阵
27、，A 的属于不同特征值的特征向量相互正交，则 解得上面齐次线性方程组的基础解系为(0，1，0) T，于是属于 0 的特征向量为 k3(0，1，0) T，其中 k3 为任意非零常数【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 设矩阵 因为 所以 A 与 B 有相同的特征值n，0(n1 重) 由于 A 为实对称矩阵，所以 A 相似于对角矩阵 因为r(2EB)r(B) 1，所以 B 的对应于特征值 2 0 有 n1 个线性无关的特征向量，于是由方阵相似于对角矩阵的充要条件知 B 也相似于 A再由矩阵的相似关系具有对称性和传递性知 A 与 B 也相似【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 () 由于矩阵
28、 A 与 B 相似，所以二矩阵有相同的迹(主对角线元素之和)、有相同的行列式，由此得 a3b2，2a3b 解得 a4，b5 ()由于矩阵 A 与 B 相似，所以它们有相同的特征多项式： E A EB (1) 2(5) 由此得 A 的特征值为 1 21， 35 对于 1 21，解方程组(EA) 0，有 得对应于 1 21 的线性无关特征向量 对于 35，解方程组(5EA)0，由 得对应于 5 的特征向量 3 令矩阵 P 1 2 3 则矩阵 P 可作为所求的可逆矩阵，使得 P -1AP 为对角矩阵【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 () 利用方阵 A_的相似对角化来求方阵 A 的幂，为此先来
29、求 A的特征值与特征向量，由 EA (1)(2)0 得 A 的全部特征值为 10， 21， 3 2， 对于特征值 10，解方程组 A0，得对应的特征向量 1(3，2，2) T， 对于特征值 21，解方程组(EA)0，得对应的特征向量 2(1，1，0) T， 对于特征值 32，解方程组(2EA)0，得对应的特征向量 3(1，2，0) T， 令矩阵 P( 1， 2， 3) ，则 P-1AP D， 于是得 A 99(PDP -1)PD 99P-1 ()因为 B2BA ，所以 B100 B98B2B 99AB 97B2AB 98A2BA 99【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 由E A ( 2)
30、 20 得 A 的特征值为1 22， 30 记对角矩阵 因 A 是实对称矩阵，故存在正交矩阵 P，使得 P-1APP TAPD 所以 A PDP-1 于是 B(kEA) 2(kPP -1PDP -1)2P(kED)P -12P(kE D)P -1P(kED)P -1 P(kED) 2P-1 由此可得 亦可由 A 的特征值为：2，2，0，得 kAA 的特征值为：k2，k2，k，进而得 B(kEA) 2的特征值为：(k2) 2，(k 2) 2，k 2，从而得实对称矩阵 B 相似于对角阵 A 由上面的结果立刻得到：当 k2，且 k0 时，B 的特征值均为正数，这时 B 为正定矩阵【知识模块】 线性代数
