1、考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设三阶矩阵 A= ，若 A 的伴随矩阵的秩为 1，则必有( )（A）a=b 或 a+2b=0。（B） a=b 或 a+2b0。（C） ab 且 a+2b=0。（D）ab 且 a+2b0。2 设 n 阶矩阵 A 与 B 等价，则必有( )（A）当A=a(a0)时，B=a。（B）当 A=a(a0)时，B=一 a。（C）当 A0 时，B=0。（D）当A=0 时，B=0 。3 设向量 可由向量组 1， 2， m 线性表出，但不能由向量组()1， 2， m-1 线性表出，记向量组()
2、 1， 2， m-1， ，则( )（A） m 不能由 ()线性表出，也不能由()线性表出。（B） m 不能由() 线性表出，但可由()线性表出。（C） m 可由() 线性表出，也可由()线性表出。（D） m 可由 ()线性表出，但不可由()线性表出。4 设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，若 AB=C，且 B 可逆，则 ( )（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价。（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价。（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价。（D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价。5 设 a= ，其中 c1，c 2，c 3，c 4，为任意
3、常数，则下列向量组线性相关的是( )（A） 1， 2， 3。（B） 1， 2， 4。（C） 1， 3， 4。（D） 2， 3， 4。6 设 1， 2， ， s 均为 n 维向量，下列结论不正确的是( )（A）若对于任意一组不全为零的数 k1，k 2， ks，都有 k11+k22+kss0，则 1， 2， ， s 线性无关。（B）若 1， 2， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k 2，k s，都有 k11+k22+kss=0。（C） 1， 2， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s。（D） 1， 2， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关。7 设 1， 2，
4、， s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是( )（A）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2， ，A s 线性相关。（B）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2，A s 线性无关。（C）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2，A s 线性相关。（D）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2， ，A s 线性无关。8 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是( )（A） 1-2， 2-3， 3-1。（B） 1+2， 2+3， 3+1。（C） 1-22， 2-23， 3-21。（D） 1+22， 2+23， 3+21。9 设向
5、量组() ： 1， 2， ， r 可由向量组()： 1， 2， s 线性表示，下列命题正确的是( )（A）若向量组() 线性无关，则 rs。（B）若向量组()线性相关，则 rs。（C）若向量组()线性无关，则 rs。（D）若向量组() 线性相关，则 rs。10 设 1， 2， 3 均为三维向量，则对任意常数 k，l，向量组 1+k3， 2+l3 线性无关是向量组 1， 2， 3 线性无关的( )（A）必要非充分条件。（B）充分非必要条件。（C）充分必要条件。（D）既非充分也非必要条件。11 设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量。若 =r(A)，则线性方程组( )（A）Ax= 必有无穷多解
6、。（B） Ax= 必有唯一解。（C） =0 仅有零解。（D） =0 必有非零解。12 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组(AB)x=0( )（A）当 nm 时仅有零解。（B）当 nm 时必有非零解。（C）当 mn 时仅有零解。（D）当 mn 时必有非零解。13 设矩阵 A= ，若集合 =1，2，则线性方程组 Ax=b 有无穷多解的充分必要条件为( )14 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*O，若 1， 2， 3， 4 是非齐次线性方程组 Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系( )（A）不存在。（B）仅含一个非零解向量。（C）含有两个线性无
7、关的解向量。（D）含有三个线性无关的解向量。15 设 1， 2， 3 是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量，且 r(A)=3， 1=(1，2，3，4) T， 2+3=(0，1，2，3) T，c 表任意常数，则线性方程组 Ax=b的通解 x=( )16 设 A 为 43 矩阵， 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 Ax= 的三个线性无关的解，k1，k 2 为任意常数，则 Ax= 的通解为( )（A） +k1(2 一 1)。（B） +k2(2 一 1)。（C） +k1(3 一 1)+k2(2 一 1)。（D） +k1(2 一 1)+k2(3 一 1)。二、填空题17 设矩阵 A= ，则
8、A3 的秩为_。18 设三阶矩阵 A= ，三维向量 =(a，1，1) T。已知 A 与 线性相关，a=_。19 设行向量组(2，1，1，1)，(2，1，a ，a)，(3， 2，1，a) ，(4，3，2，1)线性相关，且 a1，则 a=_。20 设矩阵 A= ， 1， 2， 3 为线性无关的 3 维列向量组，则向量组A1，A 2，A 3 的秩为_ 。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 设向量组， 1=(a，2，10) T， 2=(一 2，1，5) T， 2=(一 1，1，4) T，=(1 ，b，c)T试问 a，b，c 满足什么条件时： () 可由 1， 2， 3 线性表出，且
9、表示唯一? () 不能由 1， 2， 3 线性表出? () 可由 1， 2， 3 线性表出，但表示不唯一?并求出一般表达式。22 设 1=(1， 2，0) T， 2=(1，a+2，一 3a)T， 3=(一 1，一 b 一 2，a+2b)T， =(1，3，一 3)T，试讨论当 a，b 为何值时。 () 不能由 1， 2， 3 线性表示；() 可由 1， 2， 3 唯一地线性表示，并求出表示式； () 可由 1， 2， 3 线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式。23 设向量组 1=(1，0，1) T， 2=(0，1，1) T， 3=(1，3，5) T 不能由向量组1=(1，1，1) T， 2=(
10、1，2，3) T， 3=(3，4，a) T 线性表出。 ()求 a 的值； ()将1， 2， 3 用 1， 2， 3 线性表出。24 设四维向量组 1=(1+a，1，1，1) T， 2=(2，2+a，2，2) T， 3=(3，3，3+a ，3)T， 4=(4，4，4，4+a) T，问 a 为何值时 1， 2， 3， 4 线性相关?当 1， 2， 3， 4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。25 设 A= 。( )求满足 A2=1，A 23=1 的所有向量2， 3；() 对() 中的任意向量 2， 3，证明 1， 2， 3 线性无关。考研数学三（线性代数）
11、历年真题试卷汇编 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 根据 A 与其伴随矩阵 A2 秩之间的关系知，r(A)=2，故有 =(a+2b)(a 一 b)2=0，即有 a+2b=0 或 a=b。 但当 a=b 时，显然 r(A)2，故必有 ab 且 a+2b=0。应选 C。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 因为当A=0 时，r(A) n，又 A 与 B 等价，故 r(B)n，即B =0 ，故选 D。【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 可由向量组 1， 2， m 线性表出，即存在常数k1
12、，k 2，k m 使得 =k 11+k22+kmm， (*) 不能由 1， 2， m-1 线性表出，从而知 km0(若 km=0，则 k11+k22+km-1m-1，这和 不能由1， 2， m-1 线性表出矛盾) 。 (*)可变为 k mm= 一 k11+k22+km-1m-1，上式两端同除 km m= ( 一 k11+k22+km-1m-1)， m 能由()线性表出，排除A，D。 m 不能由 1， 2， m-1 线性表出，若能，即存在常数1， 2， m-1 使得 m=11+22+ m-1m-1，代入(*)得 =k11+k22+km(11+22+ m-1m-1) =(k1+1km)1+(k2+
13、2km)2+(km-1+m-1km)m-1，这和 不能由 1， 2， m-1 线性表出矛盾，排除 C。故应选 B。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 把矩阵 A，C 列分块如下： A=( 1， 2， n)，C=(1， 2， n)，由于 AB=C，则可知得到矩阵 C 的列向量组可用矩阵 A 的列向量组线性表示。同时由于 B 可逆，即 A=CB-1。 同理可知矩阵 A 的列向量组可用矩阵 C 的列向量组线性表示，所以矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价。应该选 B。【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 方法一： 3+4= ，则( 1， 3， 4)的秩
14、小于 3，故1， 3， 4 线性相关，选 C。方法二： 1， 3， 4=0，所以 1， 3， 4 线性相关，选 C。【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 选项 A 成立。若对于任意一组不全为零的数 k1，k 2，k s，都有k11+k22+kss0，则 1， 2， s 必线性无关，因为若 1， 2， s 线性相关，则存在一组不全为零的数 k1，k 2，k s，使得 k11+k22+kss=0，两者矛盾。 选项 B 不成立。若 1， 2， s 线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数 k1， k2，k s，都有 k11+k22+kss=0。 选项 C 成立。1， 2，
15、 s 线性无关，则此向量组的秩为 s；反过来，若向量组1， 2， s 的秩为 s，则 1， 2， s 线性无关。 选项 D 成立。1， 2， s 线性无关，则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关。 综上所述，应选 B。【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A【试题解析】 记 B=(1， 2， s)，则(A 1，A 2，A s)=AB。 若向量组1， 2， s 线性相关，则 r(B)s，从而 r(AB)r(B)s ，向量组A1，A 2，A s 也线性相关，故应选 A。【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 A【试题解析】 方法一：根据线性相关的定义，若存在不全为零的数 k1，k
16、2，k 3，使得 k11+k22+k33=0 成立，则称 1， 2， 3 线性相关。因 (1-2)+(2-3)+(3-1)=0，故 1-2， 2-3， 3-1 线性相关，所以选择 A。 方法二：因为 (1+2， 2+3， 3+1)=(1， 2， 3) =(1， 2， 3)C2，且C 2=20。故 C2 是可逆矩阵，由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积，C 2 右乘( 1， 2， 3)时，等价于作若干次初等变换，初等变换不改变矩阵的秩，故有 r(1+2， 2+3， 3+1)=r(1， 2， 3)=3。所以， 1+2， 2+3， 3+1 线性无关，排除 B。 同理 1-22， 2-23， 3-
17、21 和 1+22， 2+23， 3+21 都线性无关，排除 C、D。综上知应选 A。【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 A【试题解析】 由向量组线性表出和线性相关性的性质可知，如果 1， 2， r线性无关，则有 rs。【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 A【试题解析】 若向量 1， 2， 3 线性无关，则( 1+k3， 2+l3)=(1， 2， 3)=(1， 2， 3)K，对任意的常数 k，l，矩阵 K 的秩都等于 2，所以向量1+k3， 2+l3 一定线性无关。而当 1= 时，对任意的常数 k，l，向量 1+k3， 2+l3 线性无关，但 1， 2， 3 线性相关。故选择 A。【
18、知识模块】 线性代数11 【正确答案】 D【试题解析】 由题设，A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，即 T 是一维行向量，可知 是 n+1 阶矩阵。显然有 =r(A)nn+1，即系数矩阵非列满秩，由齐次线性方程组有非零解的充要条件：系数矩阵非列或行满秩，可知齐次线性方程组 =0 必有非零解。【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 D【试题解析】 AB 为 m 阶矩阵，当 mn 时，有 r(AB)min(m，n)=nm，对应(AB)x=0 有非零解，故应该选 D。【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 D【试题解析】 线性方程组有无穷多解，只需要系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，并且都小于
19、3。下面对增广矩阵进行初等行变换。由 r(A)=r(A，b) 3，故 a=1 或 a=2，同时 d=1 或 d=2。故答案选 D。【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 B【试题解析】 因为基础解系含向量的个数为 n 一 r(A)，而且根据已知条件 A*O，于是 r(A)等于 n 或 n 一1。又 Ax=b 有互不相等的解，即解不唯一，故 r(A)=n 一 1。从而基础解系仅含一个解向量，故选 B。【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1=(1，2，3，4) T 是非齐次方程组的解向量，所以有 A1=b，故 1 是 Ax=b 的一个特解。 又 r(A)=3，n=4(
20、未知量的个数 )，故 Ax=b 的基础解系由一个非零解组成。即基础解系的个数为 1。 因为 A21 一( 2+3)=2b 一 bb=0，故 21 一( 1+2)= 是对应齐次方程组的基础解系，故 Ax=b的通解为 c2 1 一( 2+3)+1= 。【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 C【试题解析】 方法一： 1， 2， 3 是方程组 Ax= 的三个线性无关的解向量，所以可知 2 一 1， 3 一 1 是 Ax=0 的两个线性无关的解向量，即 Ax=0 的基础解系中至少含有两个线性无关的解，所以可以排除 A，B 两项。 又因为 是 Ax=0的一个解，而不是 Ax= 的解，因此可以排除 D
21、选项，所以正确答案为 C。 方法二： 1， 2， 3 是方程组 Ax= 的三个线性无关的解向量，所以可知 2 一 1， 3一 1 是 Ax=0 的两个线性无关的解向量，即 Ax=0 的基础解系中至少含有两个线性无关的解，因此 3 一 r(A)2，故 r(A)1。 根据 A0 又可以得到 r(A)1，因此可知r(A)=1，这样 Ax=0 的基础解系中正好含有两个线性无关的解向量，因此可知 2一 1， 3 一 1 是 Ax=0 的一个基础解系。所以 Ax=0 的通解为 k 1(3 一 1)+k2(2一 1)，其中 k1，k 2 为任意常数。 1， 2， 3 是方程组 Ax= 的解，所以是 Ax=
22、的一个特解，所以 Ax= 的通解为 +k1(3 一 1)+k2(2 一1)，其中 k1，k 2 为任意常数。【知识模块】 线性代数二、填空题17 【正确答案】 1【试题解析】 已知 A= ，得 r(A3)=1。【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 一 1【试题解析】 由题干可知，存在 k，使得 A=k，即可得 a=一 1，k=1，故所求 a=一1。【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 【试题解析】 由题设，有 =(a 一 1)2(2a 一 1)2=0，得 a=1，a= ，但题设 a1，故 a= 。【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 2【试题解析】 对矩阵 A 作初等行变换，即则
23、r(A)=2。 因为(A 1，A 2，A 3)=A(1， 2， 3)，且 1， 2， 3 线性无关，所以矩阵 (1， 2， 3)可逆，从而向量组 A1，A 2，A 3 的秩为 2。【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 设方程组 1x1+2x2+3x3=。 (*)对方程组的增广矩阵作初等行变换，化成阶梯形矩阵，有()当 a一 4 时，r( 1， 2， 3)=r(1， 2， 3，)=3。方程组(*)有唯一解，即 可由1， 2， 3 线性表出，且表示唯一。 ()当 a=一 4，但 c 一 3b+10 时，r(1， 2， 3)一 2r(1， 2，
24、3，)=3，方程组(*)无解， 不可由 1， 2， 3 线性表出。 ( )当 a=一 4，且 c 一 3b+1=0 时，r( 1， 2， 3)=r(1， 2， 3，)=2 ，方程组(*)有无穷多解，此时有 ( 1， 2， 3) ，得对应齐次方程组的基础解系为： 1=(1，一 2，0) T(取自由未知量 x1=1，回代得 x2=一2，x 3=0)，非齐次方程的一个特解是 =0，一(b+1)，(2b+1) T，故通解为 ，其中 k 是任意常数。故有 =k1 一(2k+b+1) 2+(2b+1)3。【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 设有数 k1，k 2，k 3，使得 k 11+k22+k33
25、=。 (*)记 A=(1， 2， 3)。对矩阵(A，)施以初等行变换，有可知r(A)r(A，)。因此方程组(*)无解， 不能由 1， 2， 3 线性表示。 ()当 a0，且 ab 时，有 此时 可由1， 2， 3 唯一地线性表示，其表示式 =(1 一 2。()当 a=b0 时，对矩阵(A，)施以初等行变换，有r(A)=r(A，)=2 ，方程组(*)有无穷多解，其全部解为 k1=1 一 +c，k 3=c，其中 c 为任意常数。 可由 1， 2， 3 线性表示，但表示式不唯一，其表示式 =(1 一 +c)2+c3。【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 () 对( 1， 2， 31， 2， 3)
26、进行初等行变换，则由于 1， 2， 3 不能由 1， 2， 3 线性表示，则 a=5，否则 1， 2， 3 能由1， 2， 3 线性表示。 ( )对( 1， 2， 31， 2， 3)进行初等行变换，则有因此可得 1=21+42-3， 2=21+22， 3=51+102-23。【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 记以 1， 2， 3， 4 为列向量的矩阵为 A，则A =a3(10+a)。于是当A=0，即 a=0 或 a=一 10 时，1， 2， 3， 4 线性相关。 0 时，显然 1 是一个极大线性无关组，且2=21， 3=31， 4=41；当 a=一 10 时，矩阵 A 如下：由于此时
27、A 有三阶非零行列式，即所以 1， 2， 3 为极大线性无关组，且1+2+3+4=0，即 4=一 1-2-3。【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 () 解方程 A2=1，r(A)=2，故有一个自由变量，令 x3=2，由 Ax=0 解得，x 2=一 1，x 1=1。 求特解，令 x1=x2=0，得 x3=1。故 2=(0，0，1) T+k1(1，一 1，2) T，其中 k1 为任意常数。解方程 A3=1， 故有两个自由变量，令 x2=1，x 3=0，由 A2x=0 得 x1=一 1。 令 x2=0，x 3=1，由 A2x=0 得x1=0。且特解 2= ，故 3=k2 ，其中 k2，k 3 为任意常数。() 方法一：由于 1， 2， 3=0，故 1， 2， 3 线性无关。 方法二：由题设可得 A1=0。设存在数 k1，k 2，k 3，使得 k11+k22+k33=0， 在等式的两端左乘 A，得 k2A2+k3A3=0，即 k21+k3A3=0， 在等式的两端再左乘 A，得 k3A3=0，即 k31=0。 由于10，所以只能是 k3=0，代入 式，得 k21=0，故 k2=0。将 k2=k3=0 代人式，可得 k1=0，从而 1， 2， 3 线性无关。【知识模块】 线性代数
