1、考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 （A）(adbc) 2（B） (ad bc)2（C） a2d2b 2c2（D）b 2c2a 2d22 设 A 和 B 都是 nn 矩阵，则必有( )（A）|A+B|=|A|+|B|（B） AB=BA（C） |AB|=|BA|（D）(A+B) 1 =A1 +B13 设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为r1，则( )（A）rr 1（B） rr 1（C） r=r1（D）r 与 r1 的关系依 C 而定4 设 n 阶矩阵 A
2、 非奇异(n2)，A *是矩阵 A 的伴随矩阵，则( )（A）(A *)*=|A|n1 A（B） (A)*)*=|A|n+1A（C） (A*)*=|A|n2 A（D）(A *)*=|A|n+2A5 设 A、A 为同阶可逆矩阵，则( )（A）AB=BA （B）存在可逆矩阵 P，使 P1 AP=B（C）存在可逆矩阵 C，使 CTAC=B（D）存在可逆矩阵 P 和 Q，使 PAQ=B6 设 n(n3)阶矩阵 的秩为 n1，则 a 必为( )（A）1（B） 1(1n)（C） -1（D）1(n 1)7 设 其中 A 可逆，则 B1 等于( )（A）A 1 P1P2（B） P1A1 P2（C） P1P2A
3、 1（D）P 2A1 P18 设三阶矩阵 A= ，若 A 的伴随矩阵的秩等于 1，则必有( )（A）a=b 或 a+2b=0（B） a=b 或 a+2b0（C） ab 且 a+2b=0（D）ab 且 a+2b09 设 n 阶矩阵 A 与 B 等价，则必有( )（A）当|A|=a(a0)时，|B|=a（B）当 |A|=a(a0)时，|B|=a（C）当 |A|0 时，|B|=0 （D）当|A|=0 时，|B|=0 二、填空题10 11 12 设矩阵 A= ，则 A1 =_13 设 A 和 B 为可逆矩阵，X= 为分块矩阵，则 X1 =_14 设 A 为 m 阶方阵，B 为 n 阶方阵，且|A|=a
4、，|B|=b ，C= ，则|C|=_15 设 4 阶方阵 A 的秩为 2，则其伴随矩阵 A*的秩为_16 设 其中 ai0，i=1，2，n，则 A1 =_17 设 A= ，A *是 A 的伴随矩阵，则(A *)1 =_18 设矩阵 A，B 满足 A*BA=2BA8E，其中 A= ，E 为单位矩阵，A *为 A的伴随矩阵，则 B=_19 设 A= ，而 n2 为正整数，则 An2A n1 =_20 设矩阵 且秩(A)=3，则 k_21 设 n 维向量 =(a，0，0，a) T，a0；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵A=E= T，B=E+ T，其中 A 的逆矩阵为 B，则 a=_三、解答题解答应写出文
5、字说明、证明过程或演算步骤。22 设矩阵 A、B 满足关系式 AB=A+2B，其中 A= ，求矩阵 B23 若 A 和 B 都是 n 阶非零方阵，且 AB=O，则 A 的秩必小于 n24 设 A 是 3 阶方阵，A *是 A 的伴随矩阵，A 的行列式|A|=12，求行列式|(3A)1 2A *|的值25 已知 X=AX+B，其中 求矩阵 X26 已知对于 n 阶方阵 A，存在自然数 k，使得 Ak=O，试证明矩阵 EA 可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E 为 n 阶单位阵)27 设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵其中 A*是矩阵 A 的伴随矩阵，I 为 n
6、阶单位矩阵(1)计算并化简 PQ；(2)证明：矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 TA1 b考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 1 按第 1 列展开，得所求行列式=ad(ad bc)+bc(adbc)= (adbc) 22 先互换 D 的2、3 两行，得 再通过相邻列的互换将第 1 列移至第 3 列，得=(ad bc) 2【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 由于|AB|=|A|B|=|B|A|，及|BA|=|B|A| 即知|AB|=|BA| 总成立，故 C正确注意
7、其它备选项都未必成立【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 因为，用可逆矩阵 C 右乘矩阵 A 相当于对 A 施行若干次初等列变换，而初等变换不改变矩阵的秩，故有 r(AC)=r(A)本题主要考查 “初等变换不改变矩阵的秩(即等价的矩阵具有相同的秩)”的性质注意，用矩阵乘法表示等价矩阵的形式：A 与 B 行等价 存在可逆矩阵 P，使得 PA=B；A 与 B 列等价 存在可逆矩阵 Q，使得 AQ=B；A 与 B 等价 存在可逆矩阵 P 和 Q，使得 PAQ=B【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 由 A*=|A|A1 ，得(A *)*=|A*|(A*)1 ，又|
8、A *|=|A|n1 ，故(A *)*=|A|n1 (|A|A1 )1 =|A|n 11|A|A=|A| n2 A故 C 正确 本题综合考查 A*与 A1的关系、A *的行列式、逆矩阵的运算等知识本题亦可由 (A*)1 =1|A|A，及(A *)1 =1 |A*|(A*)*=1|A| n1 (A*)*，从而得(A *)*=|A|n2 A【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 因为，方阵 A 可逆 A 与同阶单位阵 E 行等价，即存在可逆矩阵P，使 PA=E同理，由于 B 可逆，存在可逆矩阵 M，使 MB=E故有 PA=MB，PAM1 =B，记 M1 =Q，则 P、Q 可逆，使
9、PAQ=B于是知 D 正确本题考查矩阵可逆、等价、相似、合同、可否乘法交换等概念及其相互关系注意，A 、B为同阶可逆矩阵，则 A、B 都等价于同阶单位阵，由等价的对称性和传递性立即可知 D 正确但 A、B 却未必相似，故 B 不对；也未必合同，故 C 不对这里应特别注意，A 和 B 有相同的秩，这只是 A 与 B 相似的必要条件而非充分条件，也只是 A 与 B 合同的必要条件而非充分条件至于备选项 A，可举反例如下：【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 因为 r(A)=n1n，故必有|A|=0，而=1+(n1)a(1 a)n 1 因此，或者 a=1(1 n)，或者 a=1显然
10、，当 a=1 时，有 r(A)=1n1，所以，有 a=1(1n)(而且当 a=1(1n)时，A 的左上角的 n1 阶子式等于1+(n 2)a(1a) n2 )n 20，可知此时确有 r(A)=n1)，故 B 正确【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 矩阵 B 是经 A 的列重排后所得的矩阵，由初等列变换与初等方阵的关系，有 B=AP2P1，故 B1 =P11 P21 A1 ，而 P11 =P1，P 21 =P2，故有B1 =P1P2A1 【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 对于 3 阶方阵 A，A 的伴随矩阵 A*的秩为故有 r(A*)=1 r(A)=2
11、|A|=0 且 A 中至少有一个 2 阶子式不等于零于是由=(a+2b)(ab) 2=0得a+2b=0，或 a=b若 a=b，则显然有 r(A)1，与前述条件 r(A)=2 发生矛盾故ab，且 a+2b=0，此时，A 的左上角的 2 阶子式为 =a2b 2=(2b)2b 2=3b20，( 否则 b=0， =2b=0 ， a=b，这与 ab 矛盾)，所以 r(A)=2综上可知 r(A*)=1 ab 且 a+2b=0，故只有 C 正确【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 D【试题解析】 A 与 B 等价是指 A 可经若干次初等变换化成 B如果对 A 分别施行一次第 1、2、3 种初等变换得到方阵
12、 B，则由行列式的性质知，依次有|B|=|A|，|B|=k|A|( 常数 k0)，|B|=|A|可见，经初等变换后，方阵的行列式等于零或者不等于零的事实不会改变，但在不等于零时，行列式的值可能改变因此，只有 D 正确【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 3【试题解析】 把行列式的各行都加到第 1 行，得【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 4+3+22+3+4【试题解析】 1 按第 1 列展开，得行列式为=4+3+22+3+42 首先把第 2 列的 倍加到第 1 列上去，其次把第 3 列的 2 倍加到第 1 列上去，最后把第4 列的 3 加到第 1 列上去，然后将行列式按第
13、1 列展开，得行列式为=(4+3+2 2+3+4)=4+3+22+3+4【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 1 利用初等行变换法：故 A1 =A2 利用分块求逆法：记矩阵 B= ，则 B1 =B，于是有【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 设 A、B 分别为 m 阶、n 阶可逆方阵，设 X1 其中X12，X 21 分别为 m 阶、n 阶方阵，则有 XX1 =Em+n，即由分块矩阵的乘法，得AX21=Em，AX 22=O，BX 11=O，BX 12=En 因为 A、B 均为可逆矩阵，所以解得X21=A1 ，X 22=O，X 11=O，X 12=B1 于是得
14、X1【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 (1) mnab【试题解析】 1 从O A 的第 m 行开始，依次将O A 的每一行作 n 次相邻两行的交换，把它移到B O的下边去，则经 mn 次相邻两行的交换，就将O A 移到了B O的下边，因此有|C|= =(1) mn =(1) mn=|B|A|=(1) mnab2 如知道行列式的拉普拉斯展开法则，则可将|C|按其前 m 行展开，得 |C|=|A|(1) 1+2+m+(n+1)+(n+m)|B|=( 1)mnab 本题主要考查行列式性质的应用及分块对角方阵行列式的计算注意，对于分块对角方阵(其中 A1，A 2，A m 都是方阵)有|C|=|
15、A 1|A2|A|m【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 0【试题解析】 因为 r(A44)=2，即 A 中非零子式的最高阶数为 2，故 A 的 3 阶子式全为 0，即 A 的每个元素的余子式全为 0，从而每个元素的代数余子式全为 0，故A*=O，从而有 r(A*)=0 本题考查矩阵的秩及伴随矩阵等概念注意，对于 n 阶方阵 A，A 的每个元素的余子式就是 A 的一个 n1 阶子式，因此，当 r(A)n1 时，A 的每个元素的余子式、从而代数余子式都为 0，而 A*的元素是 A 的元素的代数余子式，故此时有 A*=O，从而有 r(A*)=0一般地成立：若 r(Ann)n1，则 r(A*)=
16、0【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 【试题解析】 1 初等行变换法：上面分块矩阵中右边的矩阵就是 A1 2 令 n1 阶方阵(对角矩阵)【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 【试题解析】 由 A*A=|A|E，当|A|0 时，得 A*(1|A|A)=E，故有(A *)1 =1 |A|A(或由 A1 =1|A|A * A*=|A|A1 (A*)1 =1|A|A)，而|A|=10，所以(A*)1 本题主要考查逆矩阵、伴随矩阵的概念及它们之间的关系必须理解并牢记公式 AA*=A*A=|A|E，因为它是处理 A 的逆矩阵及伴随矩阵有关问题的一个基本公式从解答中可见，只要弄清楚 A、A 1
17、及 A*之间的关系，本题并不需要求出 A*【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 【试题解析】 1 由题设等式得(A *2E)BA=8E 两端左乘 A，并利用AA*=|A|E=2E ，得( 2E2A)BA=8A 即(E+A)BA=4A 两端右乘 A1 ，得(E+A)B=4E 故 2 由题设等式得(A *2E)BA=8E 由此可知(A *2E)及 A 都可逆，两端左乘(A *2E)1 ，两端右乘 A1 ，得 B=8(A *2E) 1 A1 =8A(A *2E) 1 =8(AA *2A)1 =8(|A|E2A) 1 =8(2E2A) 1 =8 (E+A)1 =4(E+A)1 3 同解 2，由题设
18、等式可得 B=8(A *2E) 1 A1【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 O【试题解析】 因为 A2 =2A 所以，当 n=2 时，有An2A n1 =A22A=O 当 n2 时，有 An2A n1 =An2 (A22A)=A n2 O=O 因此，总有 An2A n1 =O(n2)本题主要考查矩阵的乘法运算注意求方阵的 n 次幂，一般要先就 n=2 进行计算(有时还需再就 n=3 等进行计算 )，然后归纳其规律并得出结论(有时还需用数学归纳法加以证明)例如本题由 n=2 时为零矩阵：A22A=O ，以下结论就很明显，上式两端左乘 A，即得 n=3 时亦为零矩阵，若两端左乘 An2 ，即
19、得一般结论 An2A n1 =O【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 3【试题解析】 因秩(A)=3， |A|=(k+3)(k1) 3=0， k=3 或 k=1，而当 k=1 时显然有秩(A)=1，故必有 k=3(而且当 k=3 时，A 的左上角的 3 阶子式等于40，故此时的确有秩(A)=3但作为单项选择题，这里可以不验证当 k=3 时有秩(A)=3)本题主要考查矩阵的秩的概念及简单行列式的计算注意，秩(A)=3，即 A 中非零子式的最高阶数为 3，故必有|A|=0，由此即可确定 k 的取值范围，这比用初等变换法(秩(A)=3， 由 A 化成的阶梯形阵中非零行的个数为 3)来确定志的值显
20、然要简单【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 1【试题解析】 由 A1 =B，得 E=AB=(E T)(E+ T)=E+( 1) T (T)T=E+( T)T T)T=O 又易验证矩阵 TO，故得T=0 但 T=2=2a2，代入上式，得 12a=0 ，或(2a1)(a+1)=0 a=1，或 a=12(舍去 )，故 a=1本题主要考查逆矩阵的概念及矩阵乘法运算规律注意 T 是一个 n 阶方阵，而 T 却是一个数【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 由题设等式得(A2E)B=A，其中 E 是单位矩阵矩阵 A2E可逆，用(A2E) 1 左乘上
21、式两端，得 B=(A2E) 1 A【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 1 若 r(A)=n，则 A 可逆，给 AB=O 两端左乘 A1 ，得 B=O，这与BO 矛盾，故必有 r(A)n 2 由 AB=O 知，矩阵 B 的每一列都是齐次方程组Ax=0 的解，又 BO，故方程组 Ax=0 有非零解，故必有|A|=0，即 r(A)n【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 因为(3A) 1 =13A 1 ，A *=|A|A1 =12A 1 ，所以|(3A)1 2A *|=|13A 1 A 1 |=|23A 1 |=(23) 3|A1 |=(23)31|A|=1627【试题解析】 本题主要考查逆
22、矩阵的概念、性质及方阵行列式的概念由于一般地有|P+Q|P|+|Q|，所以本题将(3A) 1 2A *化成一个方阵是求解关键本题亦可由 A1 =1|A|A *及|A *|=|A|2，得|(3A)1 2A *|=|23A *2A *|=|43A *|=(43A 3|=(43) 3|A|2=1627 注意，对于咒阶可逆方阵 A，由 AA1 =E 两端取行列式，即得|A 1 |=1|A|；由A*=|A|A1 ，即得|A *|=|A|n|A|1 =|A|n1 ；由于用数 k 乘 A 是用 k 去乘 A 的每个元素，故有|kA|=k n|A|【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由题设等式 X=AX
23、+B，得(EA)X=B，由于矩阵可逆，故得【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由 Ak=O，有 (E A)(E+A+A k1 )=E+A+Ak1 A Ak1 A k=EA k=E，由逆矩阵的定义即知 EA 可逆，且有 (EA) 1 =E+A+Ak1【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (1)因为 AA*=A*A=|A|I，故(2)由(1)可得|PQ|=|A|2(b TA1 )而|PQ|=|P|Q|，且由 P 的定义知|P|=|A|0，故由上式得|Q|=|A|(b TA1 )由此可知|Q|0 b TA1 0，即矩阵 Q 可逆 TA1 b【试题解析】 本题综合考查分块矩阵的乘法、伴随矩阵的性质、方阵可逆的条件注意，两个分块矩阵，只要左边矩阵关于列的分法与右边矩阵关于行的分法是一致的，就可以相乘，相乘的法则也是“左行乘右列”，这里特别要注意相乘的小块矩阵的左右次序要与相乘的两个大矩阵的左右次序保持一致，例如，PQ 的第 2 行第 2 列处的小块矩阵为 TA* |A| = TA*+b|A|【知识模块】 线性代数
