1、考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (14 年 )行列式 【 】（A）(adbc) 2（B） (ad bc)2（C） a2d2b 2c2（D）b 2c2a 2d22 (89 年 )设 A 和 B 都是 nn 矩阵，则必有 【 】（A）ABAB（B） ABBA（C） AB BA（D）(AB) -1A -1B -13 (94 年 )设 A 是 mn 矩阵， C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 BAC 的秩为 r1，则 【 】（A）rr 1（B） rr 1（C） rr 1（D）r 与 r1 的关系依
2、 C 而定4 (96 年 )设 n 阶矩阵 A 非奇异 (n2)，A *是矩阵 A 的伴随矩阵，则 【 】（A）(A *)* A n-1A（B） (A*)*A n+1A（C） (A*)*A n-2A（D）(A *)* A n+2A5 (97 年 )设 A、B 为同阶可逆矩阵，则 【 】（A）ABBA（B）存在可逆矩阵 P，使 P-1APB（C）存在可逆矩阵 C，使 CTACB（D）存在可逆矩阵 P 和 Q，使 PAQB 6 (98 年 )设 n(n3)阶矩阵 A 的秩为 n1，则 a 必为 【 】（A）1（B）（C） 1（D）7 (01 年 ) 其中 A 可逆，则 B-1 等于 【 】（A）A
3、 -1P1P2（B） P1A-1P2（C） P1P2A-1（D）P 2A-1P18 (03 年 )设三阶矩阵 A ，若 A 的伴随矩阵的秩等于 1，则必有 【 】（A）ab 或 a2b0（B） ab 或 a2b0（C） ab 且 a2b0（D）ab 且 a2b09 (04 年 )设 n 阶矩阵 A 与 B 等价，则必有 【 】（A）当Aa(a0)时，Ba（B）当 Aa(a0) 时，B a （C）当 A0 时，B0（D）当A0 时，B010 (05 年) 设矩阵 A(a ij)33 满足 A*A T，其中 A*为 A 的伴随矩阵，A *为 A 的转置矩阵若 a11，a 12，a 13 为三个相等
4、的正数，则 a11 为 【 】（A）（B） 3（C）（D）11 (06 年) 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的1 倍加到第 2 列得 C，记 P ，则 【 】（A）Cp -1AP（B） CPAP -1（C） CP TAP（D）CPAP T二、填空题12 (88 年) _13 (16 年) 行列式 _14 (88 年) 设矩阵 A ，则 A-1_15 (91 年) 设 A 和 B 为可逆矩阵，X 为分块矩阵，则 X-1_16 (92 年) 设 A 为 m 阶方阵，B 为 n 阶方阵，且Aa ，Bb，C ，则C _17 (93 年) 设 4
5、 阶方阵 A 的秩为 2，则其伴随矩阵 A*的秩为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 (87 年) 设矩阵 A、B 满足关系式 ABA2B，其中 A ，求矩阵 B19 (88 年) 设 A 是 3 阶方阵， A*是 A 的伴随矩阵，A 的行列式A ，求行列式(3A) -12A *的值20 (89 年) 已知 XAXB，其中 求矩阵 X21 (90 年) 已知对于 n 阶方阵 A，存在自然数 k，使得 AkO，试证明矩阵 EA 可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E 为 n 阶单位阵)22 (97 年) 设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 其
6、中 A*是矩阵 A 的伴随矩阵，I 为 n 阶单位矩阵 (1)计算并化简 PQ； (2)证明：矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 TA-1b23 (15 年) 设矩阵 A ，且 A3O ( )求 a 的值； ()若矩阵 X 满足XXA 2AXAXA 2E，其中 E 为 3 阶单位矩阵，求 X24 (87 年) 假设 D 是矩阵 A 的 r，阶子式，且 D0，但含 D 的一切 r1 阶子式都等于 0那么矩阵 A 的一切 r1 阶子式都等于 025 (88 年) 已知向量组 1， 2， s(s2)线性无关设1 1 2， 2 2 3， s-1 s-1 s， s s 1试讨论向量组1， 2， s 的线性相
7、关性26 (89 年) 设 1(1，1，1)， 2(1，2，3)， 3(1，3，t) (1)问当 t 为何值时，向量组 1， 2， 3 线性无关? (2)问当 t 为何值时，向量组 1， 2， 3 线性相关? (3)当向量组 1， 2， 3 线性相关时，将 3 表示为 1 和 2 的线性组合27 (91 年) 试证明 n 维列向量组 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是行列式其中 iT 表示列向量 i 的转置，i1，2，n28 (95 年) 已知向量组 ()： 1， 2， 3；() 1， 2， 3， 4；()：1， 2， 3， 5如果各向量组的秩分别为 R() R()3，R() 4证明：向
8、量组( )： 1， 2， 3， 5 4 的秩为 429 (96 年) 设向量 1， 2， ， t，是齐次线性方程组 AX0 的一个基础解系，向量 不是方程组 AX0 的解，即 A0试证明：向量组 ， 1， t，线性无关30 (06 年) 设 4 维向量组 1(1 a，1，1，1) T， 2(2，2a，2，2)T， 3(3，3，3a，3) T， 4(4，4，4，4a) T，问 a 为何值时， 1， 2， 3， 4线性相关?当 1， 2， 3， 4 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出31 (11 年) 设向量组 1(1，0，1) T， 2(0 ，1，1) T
9、， 3(1，3，5) T 不能由向量组1(1 ，1，1) T， 2(1， 2，3) T， 3(3，4，a) T 线性表示 ( )求 a 的值； ()将 1， 2， 3 用 1， 2， 3 线性表示考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 按第 1 列展开，得所求行列式 D 等于 D ad(adbc)bc(adbc)(adbc) 2【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 因为，用可逆矩阵 C 右乘矩阵 A 相当于对 A 施行若干次初
10、等列变换，而初等变换不改变矩阵的秩，故有 r(AC)r(A)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 由 A*AA -1，得(A *)*A *(A *)-1，又A *A n-1，故(A*)*A n-1(AA -1)-1A n-1 AA n-2A故 C 正确【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 因为，方阵 A 可逆 A 与同阶单位阵 E 行等价，即存在可逆矩阵P，使 PAE同理，由于 B 可逆，存在可逆矩阵 M，使 MBE故有PAMB， PAM-1B，记 M-1Q，则 P、Q 可逆，使 PAQB于是知 D正确【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】
11、因为 r(A) n1n，故必有A0，而 因此，或者 a，或者 a1显然，当 a1 时，有 r(A)1n 1,所以，有 a ，而且当 a 时，A 的左上角的 n1 阶子式等于 ， 可知此时确有 r(A)n 一1，故选项 B 正确【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 矩阵 B 是经 A 的列重排后所得的矩阵，由初等列变换与初等方阵的关系，有 BAP 2P1，故 B-1P 1-1P2-1A-1，而 P1-1P 1，P 2-1P 2，故有 B-1P 1P2A-1【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 D【试题解析】 A 与 B 等价是指 A
12、可经若干次初等变换化成 B如果对 A 分别施行一次第 1、2、3 种初等变换得到方阵 B，则由行列式的性质知，依次有B A，Bk A( 常数 k0)，BA 可见，经初等变换后，方阵的行列式等于零或者不等于零的事实不会改变，但在不等于零时，行列式的值可能改变因此，只有 D 正确【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 A【试题解析】 由题设条件 A*A T，即 其中 Aij 为A 中元素 aij 的代数余子式(i，j1， 2，3)，得 aijA ij(i，j1，2，3)，故有 再从 ATA *两端取行列式，得 AA TA *A 2，即A (1A)0 由此得A1所以，有【知识模块】 线性代数11
13、【正确答案】 B【试题解析】 将单位矩阵 E 的第 2 行加到第 1 行即得初等矩阵 P，由初等变换与初等矩阵的关系，有 BPA令矩阵 则将 E 的第 1 列的1 倍加到第 2 列即得矩阵 Q，于是有 CBQ，从而有 CPAQ由于 所以，CPAQPAP -1，只有选项 B 正确【知识模块】 线性代数二、填空题12 【正确答案】 3【试题解析】 把行列式的各行都加到第 1 行，得【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 4 32 23 4【试题解析】 按第 1 列展开，得行列式为【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析】 利用初等行变换法： 故 A-1A【知识模块】 线性代数15 【
14、正确答案】 【试题解析】 设 A、B 分别为 m 阶、n 阶可逆方阵，设 其中 X12，X 21 分别为m 阶、 n 阶方阵，则有 XX-1E m+n，即 由分块矩阵的乘法，得 AX21E m，AX 220，BX 110，BX 12E n 因为 A、B 均为可逆矩阵，所以解得 X21A -1，X 220，X 110，X 12B -1 于是得【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 (1) mnab【试题解析】 从O A 的第 m 行开始，依次将O A的每一行作，z 次相邻两行的交换，把它移到B O的下边去，则经 mn 次相邻两行的交换，就将O A 移到了B O的下边，因此有【知识模块】 线性代
15、数17 【正确答案】 0【试题解析】 因为 r(A44)2，即 A 中非零子式的最高阶数为 2，故 A 的 3 阶子式全为 0，即 A 的每个元素的余子式全为 0，从而每个元素的代数余子式全为 0，故 A*O，从而有 r(A*) 0【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 由题设等式得(A2E)BA，其中 E 是单位矩阵矩阵 A2E 可逆，用(A2E) -1 左乘上式两端，得【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 因为(3A) -1 A-1，A *AA -1 A-1，所以【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 由题设等式 XAXB，得(EA
16、)XB，由于矩阵 可逆，故得【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 由 Ak0，有 (EA)(E AA k-1)E A A k-1AA k-1A kE A kE，由逆矩阵的定义即知 EA 可逆，且有 (EA) -1EA A k-1【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 (1)因为 AA*A *AAI ，故 (2)由(1)可得 PQA 2(b TA-1) 而PQP. Q，且由 P 的定义知P A0 ，故由上式得 P A(b TA-1) 由此可知Q0 b TA-10，即矩阵 Q 可逆 TA-1b【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 () 由 A3O 两端取行列式，得A 30，从而得A0，而
17、Aa 3，所以 a0 ()由已知的 XXA 2AXAXA 2E，得 X(EA 2)AX(EA 2)E 即(EA)X(EA 2)E 由()知 由于 EA，E A 2 均可逆，所以 X(E A)-1(EA 2)-1 【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 设 A(a ij)mn 满足题设条件，不失一般性，设 rmn，并设 A 的非零的 r 阶子式 D 位于 A 的左上角，即 由题设，A 的左上角的 r1 阶子式(它含 D) 故 Dr+1 的行向量组线性相关，而 Dr+1，的前 r 行线性无关，所以 Dr+1的第 r 1 行可由前 r 行线性表示因此，通过把 A 的前 r 行的适当倍数加到 A 的
18、第 r1 行，就可把 A 化成 由行列式的性质知上面化成矩阵的前 r1 行中的一切 r 1 阶子式都是 A 的相应子式因此前 r1 行中含 D 的子式都为 0，于是有ar+1，r+1 a r+1，n 0，即经上述初等变换已将 A 的第 r1 行化成了零行同理可通过初等行变换将 A 的第 r2，第 m 行都化成零行，即经若干次初等行变换可将 A 化成 由于 D0，故 B 中非零子式的最高阶数为 r，即 B 的秩为 r，故A 的秩为 r【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 假设有一组数 1， 2， s，使得 11 22 ss0 将题设的线性表示式代入上式并整理，得 ( s 1)1( 1 2)2
19、( s-1 s)s0 由于 1， 2， ， s 线性无关，故有 此方程组的系数行列式为 s 阶行列式：因此有 (1)若 s 为奇数，则 D20，故方程组(*)只有零解，即 1， 2， s必全为 0这时， 1， 2， ， s 线性无关； (2)若 s 为偶数，则 D0，故方程组(*)有非零解，即存在不全为 0 的一组数 1， 2， ， s，使11 22 ss0这时，向量组 1， 2， s 线性相关【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由于行列式 所以，当 t5 时， D0，此时向量组 1， 2， 3线性无关； 当 t 一 5 时，D0，此时向量组 1， 2， 3 线性相关 当 t 一 5 时
20、，对矩阵 1T2T 3T作初等行变换： 由此即知 3 12 2【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 记 n 阶矩阵 A1 2 n，则 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是A0另一方面，由 有A TAA TAA 2D 从而，A0 与 D0 等价由此可见， 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是 D0【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 因 R()R()3，所以 1， 2， 3 线性无关，而1， 2， 3， 4 线性相关，故存在数 1， 2， 3，使得 4 11 22 33 (*) 设有数 k1，k 2，k 3，k 4，使得 k 11k 22k 33k 4(5 4)0 将(*)式代入
21、上式并化简，得 (k 1 1k4)1(k 2 2k4)2(k 3 3k4)3k 450，由 R()一 4 知1， 2， 3， 5 线性无关，所以 得 k1k 2k 3k 40，故 1， 2， 3， 5 4线性无关，即其秩为 4【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 设有一组数 k0，k 1，k t使得 k0k 1( 1)k t( t)0 即(k 0k 1k t)k 11k tt0 (*) 用矩阵 A 左乘(*)式两端并注意Ai0(i1，t)，得 (k 0k 1k t)A0 因为 A0，所以有 k0k 1k t0 (*) 代入(*)式，得 k 11k tt0 由于向量组 1， t 是方程组 A
22、X0 的基础解系，所以 k 1k t0 因而由(*)式得 k00因此，向量组声 ， 1， t 线性无关【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 记 A( 1， 2， 3， 4)，则 于是当 a0 或 a10 时，1， 2， 3， 4 线性相关 当 a0 时， 10，且 2， 3， 4 均可由 1 线性表出，故 1 为 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组，且 22 1， 33 1， 44 1 当 a10 时，对 A 施以初等行变换，有 由于 2， 3， 4 为 1， 2， 3， 4的一个极大线性无关组，且 1 2 3 4，故 2， 3， 4 为 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组，且 1 2 3 4【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 ()4 个 3 维向量 1， 2， 3， i 线性相关(i1，2，3)，若1， 2， 3 线性无关，则 i 可由 1， 2， 3 线性表示(i1，2，3)，这与题设矛盾，于是 1， 2， 3 线性相关，从而 0 1， 2， 3 a5， 于是 a5此时， 1 不能由向量组 1， 2， 3 线性表示 () 令矩阵 A 1 2 3 1 2 3，对 A 施行初等行变换 从而，12 14 2 3， 2 22 1， 35 110 22 3【知识模块】 线性代数
